Основы тригонометрии: определения и свойства функций

Радианная мера угла и поворот точки вокруг начала координат

Добро пожаловать на курс «Основы тригонометрии: определения и свойства функций». Мы начинаем наше погружение в мир углов, вращений и периодических процессов. Тригонометрия — это не просто раздел геометрии о треугольниках. Это язык, на котором говорят волны, колебания, переменный ток и небесная механика.

В этой первой статье мы заложим фундамент для всего дальнейшего обучения. Мы разберемся, как измерять углы «по-взрослому» (используя радианы), научимся вращать точку на координатной плоскости и дадим строгие определения основным тригонометрическим функциям: синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу.

Градусы и радианы: два языка измерения углов

Большинство из нас со школьной скамьи привыкло измерять углы в градусах. Мы знаем, что прямой угол — это $90^\circ$, а полный оборот — это $360^\circ$. Градусная мера имеет древние вавилонские корни и удобна в быту, но в высшей математике и физике она часто оказывается громоздкой. Здесь на сцену выходит радианная мера.

Что такое радиан?

Представьте себе окружность любого радиуса $R$. Возьмем нитку длиной ровно $R$ (то есть длиной, равной радиусу этой окружности) и аккуратно уложим её на дугу окружности. Угол, который будет опираться на эту дугу, и есть угол в 1 радиан.

Определение: Углом в один радиан ($1$ рад) называют центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Почему это удобно? Потому что радианная мера связывает угол и длину дуги напрямую, без искусственного числа 360. Длина окружности вычисляется по формуле:

$$C = 2\pi R$$

где $C$ — длина окружности, $\pi$ — математическая константа (примерно $3.14159$), а $R$ — радиус.

Если длина дуги полного оборота равна $2\pi R$, а 1 радиан соответствует дуге длиной $R$, то полный оборот в радианах равен:

$$\alpha_{full} = \frac{2\pi R}{R} = 2\pi$$

где $\alpha_{full}$ — угол полного оборота в радианах.

Таким образом, мы получаем фундаментальное соотношение между градусами и радианами:

$$360^\circ = 2\pi \text{ радиан}$$

Или, сократив на 2:

$$180^\circ = \pi \text{ радиан}$$

Перевод из градусов в радианы и обратно

Используя равенство $180^\circ = \pi$, мы можем вывести простые формулы перехода.

1. Перевод из градусов в радианы: Чтобы перевести угол из градусов в радианы, нужно умножить число градусов на $\frac{\pi}{180}$.

$$\alpha_{rad} = \alpha_{deg} \cdot \frac{\pi}{180}$$

где $\alpha_{rad}$ — угол в радианах, а $\alpha_{deg}$ — угол в градусах.

Пример: Переведем $60^\circ$ в радианы.

$$60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$$

2. Перевод из радиан в градусы: Чтобы перевести угол из радиан в градусы, нужно умножить число радиан на $\frac{180}{\pi}$.

$$\alpha_{deg} = \alpha_{rad} \cdot \frac{180}{\pi}$$

где $\alpha_{deg}$ — угол в градусах, а $\alpha_{rad}$ — угол в радианах.

Пример: Переведем $\frac{\pi}{4}$ радиан в градусы.

$$\frac{\pi}{4} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{180}{4} = 45^\circ$$

Часто слово «радиан» опускают. Если вы видите запись «угол равен $\frac{\pi}{2}$» или «синус 2», подразумевается именно радианная мера. Градусы всегда обозначаются значком $^\circ$.

Поворот точки вокруг начала координат

Тригонометрия изучает функции, зависящие от угла. Чтобы определить эти функции строго, нам нужна координатная плоскость и понятие поворота.

Рассмотрим декартову систему координат $xOy$. Начало координат — точка $O(0;0)$. Возьмем точку $P_0$ с координатами $(1; 0)$. Эта точка лежит на оси $x$ справа от начала координат. Будем называть её начальной точкой.

Единичная окружность

Если мы будем вращать точку $P_0(1; 0)$ вокруг начала координат, она будет описывать окружность радиуса $1$. Такая окружность называется единичной окружностью (или тригонометрическим кругом). Уравнение такой окружности:

$$x^2 + y^2 = 1$$

где $x$ и $y$ — координаты любой точки на окружности.

Направление поворота

В тригонометрии направление вращения имеет принципиальное значение. Мы договариваемся о следующих правилах:

1. Положительное направление: Вращение против часовой стрелки. Если мы поворачиваем точку $P_0$ против часовой стрелки на угол $\alpha$, мы получаем угол $+\alpha$.
2. Отрицательное направление: Вращение по часовой стрелке. Если мы поворачиваем точку $P_0$ по часовой стрелке, мы получаем угол $-\alpha$.

Пример: Поворот на $90^\circ$ (rac{\pi}{2}) переместит точку $(1; 0)$ в точку $(0; 1)$. Поворот на $-90^\circ$ ($-\frac{\pi}{2}$) переместит точку $(1; 0)$ в точку $(0; -1)$.

Углы больше $360^\circ$

В геометрии треугольников углы не могут превышать $180^\circ$ (сумма углов треугольника). В тригонометрии угол рассматривается как мера поворота, поэтому он может быть сколь угодно большим.

Представьте, что точка сделала полный оборот ($360^\circ$ или $2\pi$) и продолжила движение. Она вернется на второй круг.

Например, угол $390^\circ$ — это полный оборот $360^\circ$ плюс еще $30^\circ$. Геометрически точка на окружности, соответствующая углу $390^\circ$, совпадает с точкой, соответствующей углу $30^\circ$.

В общем виде, если мы повернем точку на угол $\alpha$, а затем сделаем любое целое количество полных оборотов ($k$), мы окажемся в той же самой точке. Это записывается так:

$$\alpha + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

где $\alpha$ — исходный угол, $2\pi$ — полный оборот в радианах, $k$ — целое число (количество оборотов), $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел.

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Теперь мы готовы дать строгие определения. Забудьте на минуту о «противолежащих катетах» и «гипотенузах». Эти определения из геометрии работают только для острых углов в прямоугольном треугольнике. Нам же нужны определения, работающие для любых углов: $0$, $120^\circ$, $-45^\circ$ или $1000^\circ$.

Пусть при повороте начальной точки $P_0(1; 0)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$ мы получили точку $P_\alpha$ с координатами $(x; y)$.

Синус и Косинус

Это самые фундаментальные определения тригонометрии.

Определение косинуса: Косинусом угла $\alpha$ называется абсцисса (координата $x$) точки $P_\alpha$, полученной поворотом точки $(1; 0)$ на угол $\alpha$.

$$\cos \alpha = x$$

где $\cos \alpha$ — косинус угла, а $x$ — координата точки на оси абсцисс.

Определение синуса: Синусом угла $\alpha$ называется ордината (координата $y$) точки $P_\alpha$, полученной поворотом точки $(1; 0)$ на угол $\alpha$.

$$\sin \alpha = y$$

где $\sin \alpha$ — синус угла, а $y$ — координата точки на оси ординат.

Важные следствия из определений:

1. Так как точка лежит на единичной окружности, ее координаты не могут выходить за пределы от -1 до 1. Следовательно:

   $$-1 \le \sin \alpha \le 1; \quad -1 \le \cos \alpha \le 1$$

2. Подставив $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$ в уравнение единичной окружности ($x^2 + y^2 = 1$), мы получаем основное тригонометрическое тождество:

   $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

   где $\sin^2 \alpha$ — квадрат синуса угла, $\cos^2 \alpha$ — квадрат косинуса угла.

Тангенс и Котангенс

Эти функции определяются через отношение синуса и косинуса (или координат $y$ и $x$).

Определение тангенса: Тангенсом угла $\alpha$ называется отношение синуса этого угла к его косинусу.

$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{y}{x}$$

где $\tan \alpha$ — тангенс угла, $y$ — ордината точки, $x$ — абсцисса точки.

Важно: Тангенс определен только тогда, когда знаменатель не равен нулю, то есть $\cos \alpha \neq 0$ ($x \neq 0$). Это значит, что тангенс не существует для углов $\frac{\pi}{2} + \pi k$ (90 градусов, 270 градусов и т.д.), так как в этих точках точка находится на вертикальной оси, и ее абсцисса равна нулю.

Определение котангенса: Котангенсом угла $\alpha$ называется отношение косинуса этого угла к его синусу.

$$\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{x}{y}$$

где $\cot \alpha$ — котангенс угла, $x$ — абсцисса точки, $y$ — ордината точки.

Важно: Котангенс определен только тогда, когда $\sin \alpha \neq 0$ ($y \neq 0$). Котангенс не существует для углов $\pi k$ (0, 180 градусов, 360 градусов и т.д.), так как в этих точках ордината равна нулю.

Линии тангенсов и котангенсов

Для наглядности часто используют вспомогательные линии:

• Линия тангенсов: Касательная к единичной окружности, проведенная через точку $(1; 0)$ параллельно оси $y$. Значение тангенса угла $\alpha$ можно найти геометрически, продлив луч угла до пересечения с этой линией.
• Линия котангенсов: Касательная к единичной окружности, проведенная через точку $(0; 1)$ параллельно оси $x$.

Примеры значений для основных углов

Давайте применим наши определения для нескольких ключевых точек на окружности.

1. Угол $0$ радиан ($0^\circ$): Точка находится в положении $(1; 0)$.

   • $x = 1, y = 0$.
   • $\cos 0 = 1$
   • $\sin 0 = 0$
   • $\tan 0 = \frac{0}{1} = 0$
   • $\cot 0$ — не существует (деление на 0).

2. Угол $\frac{\pi}{2}$ радиан ($90^\circ$): Точка повернулась на четверть круга против часовой стрелки и попала в $(0; 1)$.

   • $x = 0, y = 1$.
   • $\cos \frac{\pi}{2} = 0$
   • $\sin \frac{\pi}{2} = 1$
   • $\tan \frac{\pi}{2}$ — не существует.
   • $\cot \frac{\pi}{2} = \frac{0}{1} = 0$

3. Угол $\pi$ радиан ($180^\circ$): Точка находится в $(-1; 0)$.

   • $x = -1, y = 0$.
   • $\cos \pi = -1$
   • $\sin \pi = 0$

Заключение

Сегодня мы сделали первый и самый важный шаг в изучении тригонометрии. Мы отказались от ограничений прямоугольного треугольника и вышли на просторы координатной плоскости.

Краткие итоги:

• Углы измеряются в радианах: $180^\circ = \pi$ рад.
• Положительный поворот — против часовой стрелки.
• На единичной окружности: косинус — это координата $x$, синус — это координата $y$.
• Тангенс — это $y/x$, котангенс — это $x/y$.

В следующей статье мы подробно разберем, как меняются знаки этих функций в зависимости от того, в какой четверти координатной плоскости находится точка, и узнаем, как синус, косинус, тангенс и котангенс связаны друг с другом.

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла

В предыдущей статье мы познакомились с радианной мерой угла и единичной окружностью. Мы узнали, что тригонометрия выходит далеко за рамки прямоугольных треугольников. Теперь мы можем вращать точку вокруг начала координат на любой угол: хоть на $1000^\circ$, хоть на $-\frac{\pi}{4}$ радиан.

В этой статье мы углубим наше понимание тригонометрических функций. Мы детально разберем, как ведут себя синус, косинус, тангенс и котангенс в различных областях координатной плоскости, научимся определять их знаки без зазубривания и выведем формулы, связывающие эти функции между собой.

Координатные четверти

Прежде чем говорить о знаках функций, нам нужно сориентироваться на местности. Декартова система координат делит плоскость двумя перпендикулярными осями (осью $x$ и осью $y$) на четыре части. Эти части называются координатными четвертями (или квадрантами).

Нумерация четвертей производится против часовой стрелки, начиная с правой верхней части, где обе координаты положительны. Это совпадает с положительным направлением вращения угла.

Давайте определим границы каждой четверти для угла $\alpha$ в пределах одного оборота (от $0$ до $2\pi$):

1. I четверть: Угол от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). Здесь $x > 0$ и $y > 0$.
2. II четверть: Угол от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$). Здесь $x < 0$ и $y > 0$.
3. III четверть: Угол от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$ ($180^\circ < \alpha < 270^\circ$). Здесь $x < 0$ и $y < 0$.
4. IV четверть: Угол от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ ($270^\circ < \alpha < 360^\circ$). Здесь $x > 0$ и $y < 0$.

Если угол больше $360^\circ$ или отрицательный, мы определяем четверть по положению точки после всех полных оборотов.

Знаки тригонометрических функций

Вспомним определения, которые мы дали ранее. Для точки $P(x; y)$ на единичной окружности:

• $\cos \alpha = x$
• $\sin \alpha = y$

Зная, в какой четверти находится точка, мы можем мгновенно определить знаки синуса и косинуса, просто посмотрев на знаки координат $x$ и $y$.

Знаки синуса

Так как $\sin \alpha = y$, знак синуса совпадает со знаком ординаты (координаты $y$) точки.

• Положительный синус ($+$): Там, где $y > 0$. Это верхняя полуплоскость (I и II четверти).
• Отрицательный синус ($-$): Там, где $y < 0$. Это нижняя полуплоскость (III и IV четверти).

Знаки косинуса

Так как $\cos \alpha = x$, знак косинуса совпадает со знаком абсциссы (координаты $x$) точки.

• Положительный косинус ($+$): Там, где $x > 0$. Это правая полуплоскость (I и IV четверти).
• Отрицательный косинус ($-$): Там, где $x < 0$. Это левая полуплоскость (II и III четверти).

Знаки тангенса и котангенса

С тангенсом и котангенсом все немного интереснее, так как они являются отношениями координат:

$$\tan \alpha = \frac{y}{x}, \quad \cot \alpha = \frac{x}{y}$$

где $\tan \alpha$ — тангенс угла, $\cot \alpha$ — котангенс угла, $y$ — ордината, $x$ — абсцисса.

Правило деления знаков простое: «плюс на плюс» дает плюс, «минус на минус» тоже дает плюс. А вот если знаки разные, результат будет отрицательным.

1. I четверть: $x > 0, y > 0$. Плюс на плюс $\rightarrow$ Плюс.
2. II четверть: $x < 0, y > 0$. Плюс на минус $\rightarrow$ Минус.
3. III четверть: $x < 0, y < 0$. Минус на минус $\rightarrow$ Плюс.
4. IV четверть: $x > 0, y < 0$. Минус на плюс $\rightarrow$ Минус.

Легко запомнить: Тангенс и котангенс положительны в тех четвертях, через которые проходит прямая $y=x$ (первая и третья), то есть «по диагонали».

Сводная таблица знаков

Четверть	Угол (радианы)	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$\tan \alpha$	$\cot \alpha$
I	$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$	$+$	$+$	$+$	$+$
II	$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$	$+$	$-$	$-$	$-$
III	$\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$	$-$	$-$	$+$	$+$
IV	$\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$	$-$	$+$	$-$	$-$

Зависимость между функциями одного угла

Тригонометрические функции не существуют изолированно. Если мы знаем значение одной из них (и четверть угла), мы можем найти значения всех остальных. Это возможно благодаря жестким математическим связям между координатами точки на окружности.

Основное тригонометрическое тождество

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом единичной окружности, опущенным перпендикуляром на ось $x$ и отрезком оси $x$.

Гипотенуза этого треугольника равна радиусу, то есть $1$. Катеты равны модулям координат $|x|$ и $|y|$. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$$|x|^2 + |y|^2 = 1^2$$

где $|x|$ — длина катета по оси абсцисс, $|y|$ — длина катета по оси ординат, $1$ — длина гипотенузы (радиуса).

Так как квадрат числа всегда неотрицателен ($x^2 = |x|^2$), мы можем убрать модули. Вспомнив, что $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$, получаем самую главную формулу тригонометрии:

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

где $\sin^2 \alpha$ — квадрат синуса угла $\alpha$, $\cos^2 \alpha$ — квадрат косинуса угла $\alpha$, $1$ — единица.

Что это нам дает? Зная синус, мы можем найти косинус (с точностью до знака), и наоборот:

$$\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$$

где $\pm$ означает, что знак выбирается в зависимости от того, в какой четверти находится угол.

Связь тангенса и котангенса

Из определений тангенса и котангенса следует их взаимно обратная связь. Перемножим их:

$$\tan \alpha \cdot \cot \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = 1$$

где $\tan \alpha$ — тангенс, $\cot \alpha$ — котангенс, $\sin \alpha$ — синус, $\cos \alpha$ — косинус.

Отсюда следует важное тождество (справедливое для углов, где обе функции существуют):

$$\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$$

Это значит, что если $\tan \alpha = 5$, то $\cot \alpha = \frac{1}{5}$.

Связь тангенса с косинусом и котангенса с синусом

Существуют еще две полезные формулы, которые связывают «основные» функции с производными. Разделим основное тригонометрическое тождество ($\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$) на $\cos^2 \alpha$ (при условии, что $\cos \alpha \neq 0$):

$$\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

Так как $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$, получаем:

$$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

где $\tan^2 \alpha$ — квадрат тангенса, $\cos^2 \alpha$ — квадрат косинуса.

Аналогично, если разделить основное тождество на $\sin^2 \alpha$, мы получим связь котангенса и синуса:

$$1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$$

где $\cot^2 \alpha$ — квадрат котангенса, $\sin^2 \alpha$ — квадрат синуса.

Пример решения задачи

Давайте применим полученные знания на практике.

Задача: Известно, что $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$ и угол $\alpha$ находится в III четверти. Найдите $\cos \alpha$, $\tan \alpha$ и $\cot \alpha$.

Решение:

1. Ищем косинус. Используем основное тождество:

   $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$$

   где $\cos^2 \alpha$ — искомый квадрат косинуса, $\sin^2 \alpha$ — известный квадрат синуса.

   Подставим значение:

   $$\cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$

   Теперь извлекаем корень: $\cos \alpha = \pm \frac{4}{5}$. Какой знак выбрать? Смотрим на условие: угол в III четверти. В третьей четверти абсцисса ($x$) отрицательная, значит, косинус отрицательный. Ответ: $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$.

2. Ищем тангенс. Используем определение:

   $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$

   Подставляем найденные значения:

   $$\tan \alpha = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$$

   Знак «плюс» верен, так как в III четверти тангенс положительный.

3. Ищем котангенс. Это обратная величина тангенсу:

   $$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{4}{3}$$

Заключение

Мы разобрали, как определять знаки тригонометрических функций в зависимости от четверти и как эти функции связаны друг с другом. Теперь вы знаете, что:

• Синус отвечает за координату $y$, косинус — за $x$.
• Знаки функций строго привязаны к координатным четвертям.
• Зная одну функцию и четверть, можно найти все остальные через тождества.

В следующей статье мы перейдем к изучению периодичности функций и формулам приведения, которые позволят нам сводить работу с любыми большими углами к работе с углами первой четверти.

Знаки тригонометрических функций по четвертям числовой окружности

Приветствую вас на третьем уроке курса «Основы тригонометрии». В предыдущих статьях мы научились измерять углы в радианах и дали определения синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу через координаты точки на единичной окружности. Мы выяснили, что тригонометрия — это наука о вращении, где угол может быть любым числом.

Однако, в отличие от геометрии прямоугольного треугольника, где все стороны положительны, в координатной плоскости координаты $x$ и $y$ могут быть отрицательными. Это означает, что и наши тригонометрические функции могут принимать отрицательные значения. Ошибка в знаке — самая частая причина неверных решений в тригонометрии.

В этой статье мы раз и навсегда разберемся, как определять знаки функций в любой четверти, и изучим фундаментальные связи между ними, которые позволят нам находить все функции угла, зная лишь одну из них.

Геометрия знаков: связь координат и функций

Напомним ключевой принцип, который мы вывели ранее: если мы берем точку на единичной окружности, соответствующую углу $\alpha$, то:

• Косинус ($\\cos \\alpha$) — это абсцисса точки (координата $x$).
• Синус ($\\sin \\alpha$) — это ордината точки (координата $y$).

Это всё, что нужно помнить. Знаки функций — это не магия, это просто знаки координат $x$ и $y$ в декартовой системе.

Знаки синуса и косинуса

Давайте пройдемся по каждой четверти, двигаясь против часовой стрелки от $0$ радиан.

I Четверть ($0 < \\alpha < \\frac{\\pi}{2}$) Здесь точка находится в правом верхнем углу. И $x$, и $y$ положительны.

• $\cos \alpha > 0$
• $\sin \alpha > 0$

II Четверть ($\frac{\\pi}{2} < \\alpha < \\pi$) Точка перешла в левый верхний угол. Мы находимся слева от оси $y$ (значит $x$ отрицательный), но всё еще выше оси $x$ (значит $y$ положительный).

• $\cos \alpha < 0$
• $\sin \alpha > 0$

III Четверть ($\pi < \\alpha < \\frac{3\\pi}{2}$) Точка в левом нижнем углу. Здесь «царство минусов»: мы слева и снизу.

• $\cos \alpha < 0$
• $\sin \alpha < 0$

IV Четверть ($\frac{3\\pi}{2} < \\alpha < 2\\pi$) Точка в правом нижнем углу. Мы вернулись в правую полуплоскость ($x$ стал положительным), но остаемся в нижней ($y$ отрицательный).

• $\cos \alpha > 0$
• $\sin \alpha < 0$

Мнемоническое правило: Чтобы запомнить знаки синуса, представьте, что синус — это поплавок. Если он выше «воды» (оси $x$), он положительный. Если утонул — отрицательный. Косинус — это движение вправо-влево. Вправо (в будущее) — плюс, влево (в прошлое) — минус.

Знаки тангенса и котангенса

Тангенс и котангенс определяются через деление:

$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$

где $\tan \alpha$ — тангенс, $\cot \alpha$ — котангенс, $\sin \alpha$ — синус, $\cos \alpha$ — косинус.

Правило знаков при делении простое: если знаки числителя и знаменателя совпадают, результат положительный. Если разные — отрицательный.

1. I четверть: Плюс делим на плюс $\rightarrow$ Плюс.
2. II четверть: Плюс и минус (разные знаки) $\rightarrow$ Минус.
3. III четверть: Минус делим на минус (одинаковые знаки) $\rightarrow$ Плюс.
4. IV четверть: Минус и плюс (разные знаки) $\rightarrow$ Минус.

Обратите внимание на «диагональную» симметрию: тангенс и котангенс положительны в I и III четвертях, а отрицательны во II и IV.

Зависимость между функциями одного угла

В тригонометрии все функции жестко связаны друг с другом. Невозможно изменить синус угла, не изменив его косинус (с точностью до знака). Эти связи выражаются через тригонометрические тождества.

1. Основное тригонометрическое тождество

Это аналог теоремы Пифагора для тригонометрии. Для любого угла $\alpha$ справедливо равенство:

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

где $\sin^2 \alpha$ — квадрат синуса угла, $\cos^2 \alpha$ — квадрат косинуса угла, $1$ — радиус единичной окружности в квадрате.

Физический смысл: Сумма квадратов координат точки на единичной окружности всегда равна единице. Это тождество позволяет найти $\cos \alpha$, если известен $\sin \alpha$, и наоборот.

$$\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$$

где $\pm$ указывает на то, что знак выбирается в зависимости от четверти, в которой находится угол.

2. Связь тангенса и котангенса

Так как тангенс — это $\frac{y}{x}$, а котангенс — это $\frac{x}{y}$, то они являются взаимно обратными числами:

$$\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$$

где $\tan \alpha$ — тангенс угла, $\cot \alpha$ — котангенс угла.

Это тождество верно для всех углов, где обе функции существуют (то есть $\sin \alpha \neq 0$ и $\cos \alpha \neq 0$).

3. Связь между тангенсом и косинусом

Если разделить основное тригонометрическое тождество на $\cos^2 \alpha$, мы получим формулу, связывающую тангенс и косинус:

$$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

где $\tan^2 \alpha$ — квадрат тангенса, $\cos^2 \alpha$ — квадрат косинуса.

Эта формула незаменима, когда нам дан тангенс, а нужно найти косинус (или наоборот), минуя поиск синуса.

4. Связь между котангенсом и синусом

Аналогично, разделив основное тождество на $\sin^2 \alpha$, получаем:

$$1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$$

где $\cot^2 \alpha$ — квадрат котангенса, $\sin^2 \alpha$ — квадрат синуса.

Алгоритм вычисления значений функций

Теперь у нас есть полный арсенал для решения задач типа: «Дана одна функция, найдите остальные». Давайте сформулируем универсальный алгоритм.

Задача: Дано $\sin \alpha = 0.6$, угол $\alpha$ находится во II четверти ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$). Найти $\cos \alpha$, $\tan \alpha$, $\cot \alpha$.

Шаг 1: Определяем знаки искомых функций. Мы во II четверти.

• Косинус ($x$) здесь отрицательный ($-$).
• Тангенс и котангенс (разные знаки у синуса и косинуса) — отрицательные ($-$). Запишем это сразу, чтобы не забыть в конце!

Шаг 2: Находим косинус через основное тождество. Используем формулу $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.

$$\cos^2 \alpha = 1 - 0.6^2 = 1 - 0.36 = 0.64$$

Теперь извлекаем корень. Математически $\sqrt{0.64} = 0.8$. Но мы помним про Шаг 1: косинус должен быть отрицательным.

$$\cos \alpha = -0.8$$

Шаг 3: Находим тангенс. Делим синус на косинус:

$$\tan \alpha = \frac{0.6}{-0.8} = -\frac{6}{8} = -0.75$$

Знак минус подтверждает наши ожидания из Шага 1.

Шаг 4: Находим котангенс. Используем свойство взаимной обратности:

$$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{-0.75} = -\frac{4}{3}$$

Ответ: $\cos \alpha = -0.8$, $\tan \alpha = -0.75$, $\cot \alpha = -1.333...$

Работа с отрицательными углами

Что делать, если угол отрицательный, например $\sin(-30^\circ)$? Мы можем использовать свойства четности и нечетности функций, которые вытекают из симметрии окружности.

Посмотрите на окружность: поворот на $+\alpha$ (вверх) и на $-\alpha$ (вниз) дает точки с одинаковой абсциссой ($x$), но противоположной ординатой ($y$).

Отсюда следуют правила:

1. Косинус — четная функция: Он «съедает» знак минус.

   $$\cos(-\alpha) = \cos \alpha$$

2. Синус, тангенс и котангенс — нечетные функции: Они «выплевывают» знак минус наружу.

   $$\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$$

   $$\tan(-\alpha) = -\tan \alpha$$

   $$\cot(-\alpha) = -\cot \alpha$$

Пример: $\cos(-60^\circ) = \cos(60^\circ) = 0.5$. А $\sin(-30^\circ) = -\sin(30^\circ) = -0.5$.

Заключение

Сегодня мы научились ориентироваться в координатных четвертях тригонометрического круга. Мы поняли, что знак функции зависит исключительно от положения точки на окружности, и вывели формулы, связывающие все четыре функции воедино.

Главное, что нужно вынести из этого урока:

1. Всегда начинайте решение с определения четверти и знака.
2. $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ — это база.
3. Косинус «съедает» минус, остальные функции выносят его вперед.

В следующей статье мы перейдем к одной из самых мощных техник в тригонометрии — формулам приведения, которые позволят нам сводить работу с любыми сложными углами к простым углам первой четверти.

Основные тригонометрические тождества и зависимость между функциями одного угла

Добро пожаловать на очередной урок курса «Основы тригонометрии». В предыдущих статьях мы проделали большую работу: ввели понятие радиана, построили единичную окружность и научились определять знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в зависимости от того, в какой четверти находится угол.

Теперь пришло время собрать эти знания воедино. Представьте, что тригонометрические функции — это детали одного механизма. Они не вращаются сами по себе, они жестко сцеплены друг с другом шестеренками математических законов. Если вы повернете «шестеренку» синуса, «шестеренка» косинуса неизбежно придет в движение.

В этой статье мы изучим эти законы сцепления, которые называются тригонометрическими тождествами. Мы научимся находить значение любой тригонометрической функции, зная лишь одну из них и четверть, в которой находится угол.

Основное тригонометрическое тождество

Это фундамент всей тригонометрии. Если вас разбудят ночью и спросят формулу, вы должны назвать именно её. Давайте выведем её, чтобы не заучивать механически.

Вспомним определение синуса и косинуса на единичной окружности. Пусть точка $P$ на окружности соответствует углу $\alpha$. Ее координаты: $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, перпендикуляром к оси $x$ и отрезком оси $x$.

1. Длина горизонтального катета равна модулю абсциссы: $|x| = |\cos \alpha|$.
2. Длина вертикального катета равна модулю ординаты: $|y| = |\sin \alpha|$.
3. Гипотенуза — это радиус единичной окружности, то есть $1$.

По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$$|\sin \alpha|^2 + |\cos \alpha|^2 = 1^2$$

Так как возведение в квадрат делает любое число неотрицательным ($x^2 = |x|^2$), модули можно опустить. Мы получаем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

где:

• $\sin^2 \alpha$ — квадрат синуса угла $\alpha$;
• $\cos^2 \alpha$ — квадрат косинуса угла $\alpha$;
• $1$ — единица (квадрат радиуса окружности).

Следствия из основного тождества

Эта формула позволяет выразить синус через косинус и наоборот. Это ключевой навык для решения задач.

1. Выражаем синус через косинус:

$$\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$$

где:

• $\sin \alpha$ — искомый синус;
• $\cos^2 \alpha$ — известный квадрат косинуса;
• $\pm$ — знак, который выбирается в зависимости от четверти, в которой находится угол $\alpha$.

2. Выражаем косинус через синус:

$$\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$$

где:

• $\cos \alpha$ — искомый косинус;
• $\sin^2 \alpha$ — известный квадрат синуса;
• $\pm$ — знак, зависящий от четверти.

Важно: Самая частая ошибка студентов — потеря знака $\pm$ перед корнем. Математика уравнения $x^2 = a$ дает два корня. Физика процесса (положение точки в конкретной четверти) говорит нам, какой именно корень выбрать.

Соотношения между тангенсом и котангенсом

Вспомним определения этих функций:

$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}; \quad \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$

Если мы перемножим эти две дроби, то числители и знаменатели сократятся:

$$\tan \alpha \cdot \cot \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = 1$$

Отсюда получаем второе важнейшее тождество:

$$\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$$

где:

• $\tan \alpha$ — тангенс угла;
• $\cot \alpha$ — котангенс угла.

Это тождество справедливо для всех углов $\alpha$, кроме тех, где одна из функций не определена (то есть $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k$ — целое число).

Следствия: Функции тангенс и котангенс являются взаимно обратными. Зная одну, мы мгновенно находим другую без всяких корней и квадратов.

$$\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha}$$

$$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$$

Пример: Если $\tan \alpha = 5$, то $\cot \alpha = \frac{1}{5} = 0.2$. Знаки у них всегда совпадают.

Связь тангенса с косинусом и котангенса с синусом

Иногда в задаче дан тангенс, а нужно найти косинус. Можно, конечно, составить систему уравнений, но проще использовать готовые формулы, которые выводятся из основного тождества.

1. Тангенс и косинус

Возьмем основное тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и разделим обе части равенства на $\cos^2 \alpha$ (при условии, что $\cos \alpha \neq 0$).

$$\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

Так как $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$, получаем:

$$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

где:

• $\tan^2 \alpha$ — квадрат тангенса;
• $\cos^2 \alpha$ — квадрат косинуса.

Эта формула позволяет найти $\cos \alpha$, зная $\tan \alpha$, не вычисляя предварительно $\sin \alpha$.

2. Котангенс и синус

Аналогично, разделим основное тождество на $\sin^2 \alpha$ (при условии, что $\sin \alpha \neq 0$).

$$\frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$$

Так как $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha$, получаем:

$$1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$$

где:

• $\cot^2 \alpha$ — квадрат котангенса;
• $\sin^2 \alpha$ — квадрат синуса.

Практический алгоритм: как найти все функции по одной

Давайте разберем универсальный алгоритм решения задач на зависимость функций. Это «кулинарный рецепт», который работает всегда.

Задача: Дано: $\cos \alpha = -0.6$. Угол $\alpha$ находится в III четверти ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$). Найти $\sin \alpha$, $\tan \alpha$, $\cot \alpha$.

Шаг 1: Анализ четверти и знаков. Прежде чем считать цифры, определим знаки искомых функций.

• Мы в III четверти.
• Синус ($y$) здесь отрицательный.
• Тангенс и котангенс (отношение двух отрицательных чисел) — положительные.

Шаг 2: Находим синус через основное тождество. Используем формулу $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

$$\sin^2 \alpha = 1 - (-0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64$$

Теперь извлекаем корень: $\sqrt{0.64} = 0.8$. Вспоминаем Шаг 1: синус должен быть отрицательным.

Результат: $\sin \alpha = -0.8$.

Шаг 3: Находим тангенс. Используем определение $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

$$\tan \alpha = \frac{-0.8}{-0.6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$

Знак получился положительным, что совпадает с нашим прогнозом.

Результат: $\tan \alpha = \frac{4}{3}$ (или $1.33...$).

Шаг 4: Находим котангенс. Используем свойство взаимной обратности $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$.

$$\cot \alpha = \frac{3}{4} = 0.75$$

Итоговый ответ: $\sin \alpha = -0.8$, $\tan \alpha = \frac{4}{3}$, $\cot \alpha = 0.75$.

Резюме урока

Сегодня мы вооружились мощным инструментарием. Теперь вы не зависите от того, какую именно функцию вам дали в условии задачи.

Список формул, которые нужно знать наизусть:

1. $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ (Основное тождество)
2. $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
3. $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$
4. $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$
5. $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$
6. $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

В следующей статье мы перейдем к формулам приведения. Вы узнаете, как упрощать выражения с большими углами, например, сводить $\sin(210^\circ)$ к функции от простого угла $30^\circ$.