ОГЭ по математике: Задание 13 с нуля (Неравенства и их системы)

Представьте, что вы едете по трассе, и видите знак ограничения скорости: «60». Это означает, что ваша скорость может быть 40 км/ч, 50 км/ч или ровно 60 км/ч, но никак не 61 км/ч. В математике такие жизненные ситуации описываются с помощью неравенств. В отличие от уравнений, где мы ищем одно конкретное число (например, $x = 5$), решением неравенства почти всегда является целое множество чисел — целый диапазон допустимых значений.

Задание 13 из ОГЭ по математике проверяет ваше умение работать с этими диапазонами. Чтобы успешно с ним справляться, необходимо начать с самого фундамента: разобраться, какими бывают неравенства, как их правильно изображать и по каким законам они работают.

Виды неравенств и их знаки

Все числовые неравенства делятся на две большие группы в зависимости от строгости условия.

Строгие неравенства показывают, что одно число категорически больше или меньше другого. Равенство исключено.

• Знак $<$ (меньше). Пример: $x < 5$. Читается как «икс строго меньше пяти». Число 4.99 подходит, а вот 5 — уже нет.
• Знак $>$ (больше). Пример: $y > 10$. Читается как «игрек строго больше десяти».

Нестрогие неравенства допускают, что величины могут быть равны друг другу. Это тот самый случай со знаком ограничения скорости.

• Знак $\leq$ (меньше или равно). Пример: $a \leq 60$. Читается как «а меньше либо равно шестидесяти».
• Знак $\geq$ (больше или равно). Пример: $b \geq 0$. Читается как «бэ больше либо равно нулю».

Координатная прямая: рисуем ответы

Поскольку ответом в неравенстве является бесконечное множество чисел, мы не можем перечислить их все через запятую. Для визуализации ответов используется координатная прямая — горизонтальная линия, на которой числа располагаются по возрастанию слева направо.

В задании 13 ОГЭ вам часто предстоит выбирать правильный рисунок координатной прямой. Здесь работают три важнейших правила оформления, которые зависят от строгости знака.

1. Точки (выколотые и закрашенные)

Точка на прямой показывает границу нашего множества.

• Если неравенство строгое ($<$, $>$), граница не входит в ответ. Точка рисуется пустой внутри (её называют выколотой). Она похожа на бублик.
• Если неравенство нестрогое ($\leq$, $\geq$), граница является частью ответа. Точка рисуется сплошной, закрашенной.

2. Штриховка

Штриховка (наклонные линии над прямой) показывает, где именно живут подходящие нам числа.

• Если $x > 5$ или $x \geq 5$, мы штрихуем прямую вправо от числа 5, потому что там находятся числа 6, 7, 100 и так далее до плюс бесконечности ($+\infty$).
• Если $x < 5$ или $x \leq 5$, мы штрихуем прямую влево от числа 5, уходя в минус бесконечность ($-\infty$).

3. Скобки в записи ответа

После того как мы нарисовали штриховку, ответ нужно записать в виде числового промежутка. Здесь тоже есть свои правила:

• Круглые скобки $()$ используются для строгих знаков (выколотых точек). Они показывают, что число не берется в расчет.
• Квадратные скобки $[]$ используются для нестрогих знаков (закрашенных точек). Они как бы «захватывают» число внутрь ответа.
• Возле знаков бесконечности ($-\infty$ и $+\infty$) скобка всегда круглая, потому что бесконечность нельзя достичь и включить в ответ.

Важное правило для самопроверки: ответ всегда читается и записывается слева направо, точно так же, как мы читаем текст. От меньшего числа к большему.

Сведем все правила визуализации в удобную таблицу:

Тип неравенства	Знаки	Вид точки на прямой	Тип скобок	Пример записи ответа
Строгое	$<$, $>$	Выколотая (пустая)	Круглые $()$	$x \in (5; +\infty)$
Нестрогое	$\leq$, $\geq$	Закрашенная (сплошная)	Квадратные $[]$	$x \in (-\infty; 7]$

Свойства числовых неравенств

Чтобы решить неравенство, его нужно упрощать, пока с одной стороны не останется одинокий $x$, а с другой — конкретное число. Процесс очень похож на решение обычных уравнений, но есть одно критически важное отличие.

Представьте неравенство как чашечные весы, которые находятся в неравновесии: одна чаша тяжелее другой. Наша задача — совершать математические действия так, чтобы не нарушить это соотношение.

Свойство 1: Прибавление и вычитание

К обеим частям неравенства можно прибавить (или вычесть) одно и то же число. Знак неравенства при этом не меняется.

Если ваш старший брат сейчас старше вас ($15 > 10$), то через 5 лет он всё равно будет старше ($15 + 5 > 10 + 5$, то есть $20 > 15$).

В алгебре это позволяет нам переносить слагаемые из одной части в другую, меняя их знак на противоположный (как в уравнениях): $x - 3 > 7$ $x > 7 + 3$ $x > 10$

Свойство 2: Умножение и деление на положительное число

Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число. Знак неравенства сохраняется.

Возьмем верное утверждение: $10 > 6$. Разделим обе части на 2. Получим $5 > 3$. Это по-прежнему правда.

Свойство 3: Золотое правило неравенств (Деление на отрицательное число)

Это самое важное правило, на котором теряют баллы большинство учеников на ОГЭ.

Если обе части неравенства умножить или разделить на отрицательное число, знак самого неравенства необходимо перевернуть на противоположный (с $<$ на $>$, с $\geq$ на $\leq$).

Давайте проверим это на числах. Мы знаем, что $5 > 2$. Попробуем умножить обе части на $-1$ и не менять знак. Получится $-5 > -2$. Но это ложь! Долг в 5 рублей хуже, чем долг в 2 рубля, поэтому $-5$ меньше, чем $-2$. Правильное действие: при умножении на $-1$ переворачиваем знак. Получаем $-5 < -2$. Теперь всё верно.

Алгоритм решения базового линейного неравенства

Теперь соберем все знания в единый пошаговый алгоритм и решим типичную задачу, которая может встретиться в первой части ОГЭ.

Задача: Решите неравенство $3x - 7 \geq 5x + 1$ и укажите правильный вариант ответа на координатной прямой.

Шаг 1: Группировка. Перенесем все слагаемые с неизвестным ($x$) в левую часть, а обычные числа — в правую. При переносе через знак неравенства меняем знаки самих слагаемых (Свойство 1). $3x - 5x \geq 1 + 7$

Шаг 2: Приведение подобных слагаемых. Считаем то, что получилось. $-2x \geq 8$

Шаг 3: Избавление от коэффициента перед $x$. Нам нужно получить чистый $x$. Для этого делим обе части на $-2$. Внимание: мы делим на отрицательное число! Срабатывает Золотое правило (Свойство 3) — знак неравенства переворачивается. $x \leq 8 / (-2)$ $x \leq -4$

Шаг 4: Визуализация на координатной прямой. Смотрим на наш результат: $x \leq -4$.

1. Знак нестрогий ($\leq$), значит, точка над числом $-4$ будет закрашенной.
2. Знак показывает «меньше», значит, штриховка пойдет влево от точки $-4$.
3. В виде промежутка это запишется как $x \in (-\infty; -4]$. Скобка возле минус бесконечности круглая, а возле минус четырех — квадратная.

На экзамене вам предложат четыре картинки. Вы должны будете выбрать ту, где точка $-4$ закрашена, а линия заштрихована в левую сторону.

Понимание этих базовых свойств — это фундамент. В следующих статьях мы разберем, что делать, если неравенств становится несколько (системы неравенств), и как справляться с квадратичными функциями, где правила штриховки становятся немного сложнее.

В прошлой статье мы разобрались, как работают базовые законы числовых неравенств и научились изображать ответы на координатной прямой. Мы выяснили, что решение неравенства — это почти всегда не одно число, а целый диапазон, бесконечное множество подходящих вариантов.

Теперь пришло время применить эти знания на практике. В задании 13 из ОГЭ по математике чаще всего встречаются линейные неравенства. Слово «линейное» означает, что неизвестная переменная (обычно это $x$) находится в первой степени. Здесь нет квадратов ($x^2$), кубов или иксов в знаменателе дроби.

Решение линейного неравенства очень похоже на распутывание клубка: мы шаг за шагом избавляемся от лишних элементов вокруг $x$, пока переменная не останется в гордом одиночестве с одной стороны от знака неравенства.

Универсальный алгоритм решения

Чтобы не запутаться даже в самом длинном и страшном на вид примере, математики используют строгий пошаговый алгоритм. Представьте, что вы наводите порядок в комнате: сначала убираете крупный мусор, затем сортируете вещи по местам, и в конце протираете пыль. В алгебре мы действуем так же.

Шаг 1: Раскрытие скобок

Если в неравенстве есть скобки, от них нужно избавиться в первую очередь. Для этого мы используем распределительное свойство умножения: число перед скобкой умножается на каждое слагаемое внутри скобки.

Важно: если перед скобкой стоит знак минус, при раскрытии скобок знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные.

Шаг 2: Сортировка (группировка)

На этом этапе наша задача — разнести «яблоки» и «апельсины» по разным корзинам. Все слагаемые, содержащие букву $x$, мы собираем в левой части неравенства. Все обычные числа без букв отправляем в правую часть.

Здесь работает главное правило переноса: при переходе через знак неравенства слагаемое меняет свой знак на противоположный. Был плюс — стал минус. Был минус — стал плюс.

Шаг 3: Приведение подобных слагаемых

Теперь мы наводим порядок в каждой «корзине». Складываем и вычитаем иксы слева, складываем и вычитаем числа справа. В результате у вас должно получиться максимально простое выражение вида $ax > b$ (знак может быть любым: $<$, $\\leq$, $\\geq$).

Шаг 4: Избавление от коэффициента

Это финальный аккорд. Нам нужен чистый $x$, а перед ним стоит какое-то число (коэффициент). Чтобы от него избавиться, мы делим обе части неравенства на это число.

Именно здесь кроется главная ловушка ОГЭ, на которой теряют баллы тысячи школьников. Вспоминаем Золотое правило неравенств из прошлой статьи:

• Если мы делим на положительное число, знак неравенства остается на месте.
• Если мы делим на отрицательное число, знак самого неравенства переворачивается (с $>$ на $<$, с $\\leq$ на $\\geq$).

Разбор типовых задач ОГЭ

Давайте посмотрим, как этот алгоритм работает на реальных примерах из экзамена. Мы разберем задачи разного уровня сложности.

Пример 1: Базовое неравенство

Задача: Решите неравенство $5x - 3 \\geq 2x + 9$.

1. Скобок здесь нет, поэтому первый шаг пропускаем.
2. Выполняем сортировку. Переносим $2x$ влево (знак поменяется на минус), а $-3$ переносим вправо (знак поменяется на плюс): $5x - 2x \\geq 9 + 3$
3. Приводим подобные слагаемые. Считаем левую и правую части: $3x \\geq 12$
4. Избавляемся от коэффициента. Делим обе части на $3$. Число $3$ — положительное, поэтому знак неравенства не трогаем: $x \\geq 4$

Ответ: $x \\in [4; +\\infty)$. На координатной прямой это закрашенная точка $4$ со штриховкой вправо.

Пример 2: Неравенство со скобками и ловушкой

Задача: Укажите решение неравенства $4 - 2(x + 3) < 5x - 9$.

1. Раскрываем скобки. Внимание на минус перед двойкой! Умножаем $-2$ на $x$ и $-2$ на $3$: $4 - 2x - 6 < 5x - 9$
2. Для удобства сначала немного упростим левую часть ($4 - 6 = -2$): $-2 - 2x < 5x - 9$
3. Сортируем. Иксы влево, числа вправо: $-2x - 5x < -9 + 2$
4. Приводим подобные: $-7x < -7$
5. Финальный шаг. Нам нужно разделить обе части на $-7$. Так как мы делим на отрицательное число, срабатывает Золотое правило — знак неравенства переворачивается с $<$ на $>$: $x > -7 / (-7)$ $x > 1$

Ответ: $x \\in (1; +\\infty)$. На прямой это выколотая точка $1$ со штриховкой вправо.

Особые случаи: когда $x$ исчезает

В базе заданий ОГЭ (типы 17 и 18) встречаются хитрые неравенства, которые ставят в тупик многих учеников. Что делать, если в процессе решения переменная $x$ полностью сокращается?

Представьте, что вы решаете неравенство и дошли до этапа: $3x - 3x > 5$

Слева получается ноль. Выражение принимает вид: $0 > 5$

В этот момент нужно остановиться и задать себе один простой вопрос: «Это утверждение истинно или ложно?»

Ноль не может быть больше пяти. Это абсолютная ложь. Раз математическое утверждение неверно, значит, не существует ни одного значения $x$, которое могло бы сделать его верным.

• Вывод: У такого неравенства нет решений.

А теперь рассмотрим другую ситуацию. Допустим, после упрощения у вас получилось: $0 < 5$

Ноль действительно меньше пяти. Это чистая правда, причем эта правда не зависит от того, какое число мы изначально подставили вместо $x$. Хоть миллион, хоть минус сто — результат всегда будет верным.

• Вывод: Решением такого неравенства является любое число (или $x \\in (-\\infty; +\\infty)$).

Пример 3: Анализ особых случаев

Задача: Укажите неравенство, которое не имеет решений.

1. $x^2 + 4 > 0$
2. $5x - 2 < 5x + 3$
3. $2x + 7 > 2x + 10$

Давайте проанализируем варианты:

• В первом варианте число в квадрате всегда положительное (или ноль). Если к нему прибавить 4, результат точно будет больше нуля. Это верно для любого $x$.
• Во втором варианте перенесем иксы влево: $5x - 5x < 3 + 2$, получаем $0 < 5$. Это правда. Решение — любое число.
• В третьем варианте переносим иксы: $2x - 2x > 10 - 7$, получаем $0 > 3$. А вот это ложь! Ноль не больше трех.

Следовательно, именно третье неравенство не имеет решений.

Освоив этот простой четырехшаговый алгоритм и запомнив правило переворота знака при делении на минус, вы сможете щелкать базовые линейные неравенства как орешки.

Представьте, что вы проходите кастинг для съемок в кино. Режиссер ищет актера, который должен соответствовать двум строгим условиям: его рост должен быть больше 170 см, а возраст — меньше 25 лет. Если вам 20 лет, но ваш рост 165 см — вы не подходите. Если ваш рост 180 см, но вам 30 лет — вы тоже не подходите. Чтобы получить роль, вы должны выполнить оба условия одновременно.

В алгебре роль такого строгого кастинг-директора выполняет система неравенств. Она объединяет несколько условий с помощью фигурной скобки $\{$. Эта скобка — математический синоним союза «И». Она означает, что нам нужно найти такие значения неизвестной переменной $x$, которые сделают верными все неравенства в системе одновременно.

В задании 13 из ОГЭ по математике системы линейных неравенств встречаются очень часто. Хорошая новость заключается в том, что вам не придется учить новые сложные формулы. Если вы умеете решать одиночные линейные неравенства (о чем мы говорили в прошлой статье), то вы уже на 90% готовы к решению систем.

Универсальный алгоритм решения систем

Решение любой системы линейных неравенств сводится к четырем простым шагам.

Шаг 1: Решаем первое неравенство Временно забываем про вторую строчку. Берем первое неравенство и решаем его по стандартному алгоритму: раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые и делим на коэффициент перед $x$.

Шаг 2: Решаем второе неравенство Теперь забываем про первую строчку и точно так же, шаг за шагом, доводим до конца второе неравенство.

Шаг 3: Рисуем общую картину Это самый важный этап. Мы чертим одну координатную прямую и отмечаем на ней точки, полученные в первом и втором шагах. Помним про правила: строгие знаки ($<$, $>$) — точки выколотые, нестрогие ($\leq$, $\geq$) — точки закрашенные.

Далее мы наносим штриховку. Чтобы не запутаться, математики используют простое правило: штриховку для первого неравенства рисуем над прямой (крыша), а для второго — под прямой (подвал).

Шаг 4: Ищем пересечение Ответом на систему неравенств будет тот участок координатной прямой, где штриховки наложились друг на друга (где есть и «крыша», и «подвал»). Это и есть те самые числа, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно.

Разбор типовой задачи из ОГЭ

Давайте применим алгоритм на практике.

Задача: Решите систему неравенств:

$$\begin{cases} 2x - 6 \geq 0 \\ 5x - 20 < 0 \end{cases}$$

Решение:

1. Берем первое неравенство: $2x - 6 \geq 0$. Переносим число вправо: $2x \geq 6$. Делим на 2 (число положительное, знак не меняем). Получаем: $x \geq 3$.
2. Берем второе неравенство: $5x - 20 < 0$. Переносим число: $5x < 20$. Делим на 5. Получаем: $x < 4$.
3. Теперь наша система выглядит максимально просто:

$$\begin{cases} x \geq 3 \\ x < 4 \end{cases}$$

4. Чертим координатную прямую. Отмечаем закрашенную точку $3$ и выколотую точку $4$. Для $x \geq 3$ рисуем штриховку от тройки вправо (сверху прямой). Для $x < 4$ рисуем штриховку от четверки влево (снизу прямой).

Где штриховки пересеклись? Они наложились друг на друга на отрезке от 3 до 4.

Ответ: $x \in [3; 4)$.

Особые случаи: ловушки на экзамене

Иногда при поиске пересечений получаются нестандартные ситуации. В ОГЭ (типы заданий 6, 7 и 8) составители обожают проверять, понимаете ли вы логику этих особых случаев.

Сценарий 1: Развод мостов (Нет решений)

Представьте систему:

$$\begin{cases} x < 2 \\ x > 5 \end{cases}$$

Если мы нарисуем это на прямой, то увидим, что от точки 2 штриховка уходит бесконечно влево, а от точки 5 — бесконечно вправо. Они разъезжаются в разные стороны, как разведенный мост.

Штриховки нигде не пересекаются. Не существует в природе числа, которое было бы одновременно меньше двух и больше пяти.

• Вывод: У такой системы нет решений.

Сценарий 2: Эффект матрешки (Одно поглощает другое)

Рассмотрим другую систему:

$$\begin{cases} x > 2 \\ x > 5 \end{cases}$$

Наносим на прямую. От точки 2 штриховка идет вправо. От точки 5 штриховка тоже идет вправо.

Где они пересекаются? Двойная штриховка начинается только после пятерки. Условие $x > 5$ оказалось более строгим, и оно «поглотило» более мягкое условие $x > 2$. (Возвращаясь к аналогии с кастингом: если режиссер ищет актера старше 25 лет и старше 20 лет, то достаточно просто искать старше 25).

• Вывод: Решением будет $x \in (5; +\infty)$.

Пример сложной задачи с подвохом

Задача: Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} -3x > 9 \\ x + 5 \geq 0 \end{cases}$$

Решение:

1. Первое неравенство: $-3x > 9$. Нам нужно разделить обе части на $-3$. Вспоминаем Золотое правило из прошлых уроков: при делении на отрицательное число знак неравенства переворачивается! Получаем: $x < -3$.
2. Второе неравенство: $x + 5 \geq 0$. Переносим пятерку: $x \geq -5$.
3. Упрощенная система:

$$\begin{cases} x < -3 \\ x \geq -5 \end{cases}$$

4. Рисуем прямую. Закрашенная точка $-5$, штриховка вправо. Выколотая точка $-3$, штриховка влево.

Пересечение находится между этими числами.

Ответ: $x \in [-5; -3)$.

Системы неравенств — это не новый сложный материал, а просто два обычных неравенства, упакованных в одну задачу. Главный секрет успеха здесь — аккуратность. Решайте каждую строчку отдельно, не забывайте переворачивать знак при делении на минус, и всегда рисуйте координатную прямую. Визуализация — ваш лучший друг на ОГЭ.

Решение квадратных неравенств

В предыдущих статьях мы научились справляться с линейными неравенствами и их системами. Там всё было интуитивно понятно: иксы переносим влево, числа — вправо. Но в задании 13 из ОГЭ по математике вас поджидает более серьёзный противник — квадратные неравенства.

Квадратное неравенство легко узнать: в нём переменная $x$ возведена во вторую степень. Оно выглядит так: $ax^2 + bx + c > 0$ (знак может быть любым: $<$, $\leq$, $\geq$).

Главная ошибка новичков — пытаться решать квадратное неравенство как линейное. Если вы увидели выражение $x^2 > 9$ и просто извлекли корень, написав $x > 3$, вы потеряли половину правильного ответа и получили ноль баллов за задание. Квадратные неравенства требуют совершенно иного подхода. Самый наглядный и надежный способ их решения — метод параболы.

Геометрический смысл: при чём тут парабола?

Вспомним алгебру: выражение $y = ax^2 + bx + c$ задаёт квадратичную функцию, график которой называется параболой.

Когда мы решаем неравенство $ax^2 + bx + c > 0$, мы фактически задаём себе геометрический вопрос: «На каких участках оси X наша парабола летит выше земли (выше оси X)?». А если неравенство со знаком $< 0$, мы ищем, где парабола «проваливается под землю».

Чтобы ответить на этот вопрос, нам не нужно строить идеальный график по точкам. Нам нужен лишь схематичный набросок. Для этого достаточно знать две вещи:

1. Куда смотрят ветви параболы (вверх или вниз).
2. В каких точках парабола пересекает ось X (эти точки называются нулями функции).

Универсальный алгоритм: Метод параболы

Решение любого квадратного неравенства сводится к пяти последовательным шагам.

Шаг 1: Приравниваем к нулю Временно забываем про знак неравенства и записываем обычное квадратное уравнение: $ax^2 + bx + c = 0$.

Шаг 2: Находим корни уравнения Решаем уравнение любым удобным способом: через дискриминант, по теореме Виета или вынесением общего множителя (если уравнение неполное). Найденные корни — это те самые места, где парабола протыкает ось X.

Шаг 3: Отмечаем точки на оси Чертим координатную прямую X. Отмечаем на ней найденные корни. Здесь работает старое правило из линейных неравенств:

• Если знак строгий ($>$, $<$) — точки выколотые (пустые внутри).
• Если знак нестрогий ($\geq$, $\leq$) — точки закрашенные.

Шаг 4: Рисуем эскиз параболы Смотрим на старший коэффициент $a$ (число перед $x^2$):

• Если $a > 0$ (положительное), ветви параболы направлены вверх.
• Если $a < 0$ (отрицательное), ветви направлены вниз. Проводим плавную дугу через наши точки.

Шаг 5: Выбираем нужный интервал Смотрим на исходный знак неравенства:

• Если нужно $> 0$ или $\geq 0$, заштриховываем те участки оси X, над которыми парабола нарисована сверху (плюс).
• Если нужно $< 0$ или $\leq 0$, заштриховываем участок, где парабола оказалась снизу (минус).

Разбор типовых задач из ОГЭ

Давайте применим алгоритм на практике, начав с классического полного квадратного неравенства.

Пример 1: Полное квадратное неравенство

Задача: Укажите решение неравенства $x^2 - 2x - 3 \leq 0$.

Решение:

1. Приравниваем к нулю: $x^2 - 2x - 3 = 0$.
2. Ищем корни. По теореме Виета сумма корней равна $2$, а произведение $-3$. Это числа $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
3. Чертим ось X. Знак неравенства нестрогий ($\leq$), поэтому отмечаем закрашенные точки $-1$ и $3$.
4. Перед $x^2$ стоит невидимая единица (число положительное), значит, ветви параболы направлены вверх. Рисуем «улыбающуюся» параболу, проходящую через точки $-1$ и $3$.
5. Нас просят найти, где выражение $\leq 0$. Это значит, нам нужен участок оси X, где парабола ушла «под землю». На нашем рисунке этот провал находится ровно между корнями.

Ответ: $x \in [-1; 3]$.

Пример 2: Неполное квадратное неравенство (частая ловушка)

Задача: Решите неравенство $25 - x^2 > 0$.

Решение:

1. Приравниваем к нулю: $25 - x^2 = 0$.
2. Переносим икс: $x^2 = 25$. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$. (Не забудьте про минус пять!).
3. Чертим ось X. Знак строгий ($>$), поэтому точки $-5$ и $5$ — выколотые.
4. Внимание на коэффициент перед $x^2$! Там стоит минус ($-1$). Значит, ветви параболы направлены вниз. Рисуем «грустную» параболу.
5. Нам нужно $> 0$, то есть участок, где парабола возвышается над осью X (образует «гору»). Это происходит между точками $-5$ и $5$.

Ответ: $x \in (-5; 5)$.

Особые случаи: когда дискриминант отрицательный

В заданиях 17-19 из ОГЭ часто встречаются неравенства, которые ставят школьников в тупик. Что делать, если при решении уравнения дискриминант оказался меньше нуля, и корней нет?

Отсутствие корней означает лишь одно: парабола не пересекает ось X. Она либо целиком висит над ней, либо целиком спрятана под ней.

Рассмотрим две ситуации.

Ситуация А: Решением является любое число

Задача: Укажите решение неравенства $x^2 + 9 > 0$.

Решение: Пытаемся решить уравнение $x^2 + 9 = 0$. Получаем $x^2 = -9$. Квадрат числа не может быть отрицательным, значит, корней нет.

Рисуем эскиз. Ветви направлены вверх (перед $x^2$ стоит плюс). Раз корней нет, парабола не касается оси X. Значит, она целиком летит высоко в небе, над осью.

Нас спрашивают: при каких $x$ парабола находится выше нуля ($> 0$)? Да при любых! Она всегда там находится.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$ (или «любое число»).

Ситуация Б: Нет решений

Задача: Укажите решение неравенства $x^2 + 9 \leq 0$.

Решение: Уравнение то же самое, корней нет. Парабола всё так же висит целиком над осью X.

Но теперь нас спрашивают: при каких $x$ эта парабола опускается ниже нуля или равна ему ($\leq 0$)? Мы смотрим на рисунок и видим, что под осью X вообще ничего нет. Парабола туда никогда не опускается.

Ответ: Нет решений.

Запомните правило: если квадратное уравнение не имеет корней, это не значит, что неравенство не имеет решений. Это значит, что парабола не пересекает ось. Обязательно нарисуйте эскиз, чтобы увидеть, где она находится — всегда в плюсе или всегда в минусе.

Квадратные неравенства — это тот случай, когда один быстрый рисунок спасает от десятка вычислительных ошибок. Всегда рисуйте ось, всегда отмечайте точки и набрасывайте дугу параболы. Этот визуальный метод гарантированно приведет вас к правильному ответу на ОГЭ.

Алгоритмы решения типовых задач ОГЭ

Задание 13 в ОГЭ по математике проверяет умение работать с неравенствами. Главная сложность этого задания заключается в том, что в одном билете вам может попасться простое линейное неравенство, в другом — система, а в третьем — коварное квадратное неравенство.

Успешное решение начинается с правильной классификации задачи. Как только вы определили тип выражения, вам остаётся лишь применить соответствующий чёткий алгоритм.

Разберём универсальные алгоритмы для каждого из трёх типов задач, которые встречаются в банке ФИПИ.

Тип 1: Линейные неравенства

Как узнать: Переменная $x$ стоит в первой степени. Нет никаких квадратов, кубов или деления на $x$.

Алгоритм решения:

1. Раскрыть скобки, если они есть.
2. Перенести все слагаемые с $x$ в левую часть, а все числа — в правую. При переносе через знак неравенства обязательно меняем знак слагаемого на противоположный.
3. Привести подобные слагаемые (посчитать иксы с иксами, числа с числами).
4. Разделить обе части на коэффициент перед $x$.

Золотое правило неравенств: Если вы делите или умножаете обе части неравенства на отрицательное число, знак самого неравенства переворачивается (с $>$ на $<$, с $\leq$ на $\geq$).

Пример решения линейного неравенства

Задача: Укажите решение неравенства $5x - 2(2x - 8) < -5$.

Шаг 1: Раскрываем скобки. Умножаем $-2$ на каждое слагаемое внутри скобок. Будьте внимательны со знаками: минус на минус даёт плюс. $5x - 4x + 16 < -5$

Шаг 2: Группировка. Оставляем иксы слева, а число $16$ переносим вправо, поменяв его знак на минус. $5x - 4x < -5 - 16$

Шаг 3: Приведение подобных. Считаем левую и правую части. $x < -21$

Шаг 4: Анализ ответа. Коэффициент перед $x$ равен единице, делить ни на что не нужно. Знак строгий ($<$), значит, на координатной прямой точка $-21$ будет выколотой, а штриховка пойдёт влево (в сторону минус бесконечности).

Ответ: $x \in (-\infty; -21)$.

Тип 2: Системы линейных неравенств

Как узнать: Два (или более) неравенства объединены фигурной скобкой. Система означает логическое условие «И» — оба неравенства должны выполняться одновременно.

Алгоритм решения:

1. Решить первое неравенство отдельно, доведя его до вида $x > a$ или $x < a$.
2. Решить второе неравенство отдельно.
3. Начертить одну общую координатную прямую.
4. Нанести на неё решение первого неравенства (например, штриховкой сверху).
5. Нанести решение второго неравенства (штриховкой снизу).
6. Найти пересечение — участок оси, где есть обе штриховки («ёлочка»).

Пример решения системы

Задача: Решите систему неравенств:

$$\begin{cases} 3 - 2x \geq -1 \\ x + 4 > 0 \end{cases}$$

Шаг 1: Решаем первое неравенство. $3 - 2x \geq -1$ Переносим тройку вправо со знаком минус: $-2x \geq -1 - 3$ $-2x \geq -4$ Теперь делим обе части на $-2$. Вспоминаем Золотое правило: при делении на отрицательное число знак неравенства переворачивается! $x \leq 2$

Шаг 2: Решаем второе неравенство. $x + 4 > 0$ Переносим четвёрку вправо: $x > -4$

Шаг 3 и 4: Наносим на ось и ищем пересечение. У нас получилась упрощённая система:

$$\begin{cases} x \leq 2 \\ x > -4 \end{cases}$$

Чертим ось X. Отмечаем выколотую точку $-4$ и закрашенную точку $2$.

• Для $x \leq 2$ рисуем штриховку от двойки влево.
• Для $x > -4$ рисуем штриховку от минус четвёрки вправо.

Обе штриховки накладываются друг на друга на отрезке между этими числами.

Ответ: $x \in (-4; 2]$.

Специфические случаи в системах

Иногда при нанесении штриховок на ось вы можете столкнуться с нестандартными ситуациями:

• Штриховки расходятся в разные стороны. Например, $x < 1$ и $x > 5$. Пересечений нет. В таком случае ответ: Нет решений.
• Одна штриховка поглощает другую. Например, $x > 2$ и $x > 5$. Обе штриховки идут вправо, но двойная штриховка начинается только от пятёрки. Ответ: $x \in (5; +\infty)$.

Тип 3: Квадратные неравенства

Как узнать: В выражении присутствует $x^2$.

Алгоритм решения (Метод параболы):

1. Приравнять выражение к нулю и решить полученное квадратное уравнение (найти корни $x_1$ и $x_2$).
2. Начертить ось X и отметить на ней найденные корни (выколотые или закрашенные в зависимости от строгости знака).
3. Определить направление ветвей параболы. Если перед $x^2$ стоит положительное число — ветви вверх, если отрицательное — вниз.
4. Схематично нарисовать параболу через отмеченные точки.
5. Выбрать нужный интервал. Если неравенство $> 0$, заштриховать ту часть оси, над которой парабола образует «холм». Если $< 0$ — ту часть, где парабола образует «яму».

Пример решения квадратного неравенства

Задача: Укажите решение неравенства $x^2 - 4x - 5 \leq 0$.

Шаг 1: Ищем корни. Приравниваем к нулю: $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = 5$, $x_2 = -1$.

Шаг 2: Отмечаем точки. Знак $\leq$ (нестрогий), поэтому точки $-1$ и $5$ будут закрашенными.

Шаг 3 и 4: Рисуем параболу. Перед $x^2$ стоит невидимая единица (число положительное). Ветви направлены вверх. Рисуем дугу, проходящую через $-1$ и $5$.

Шаг 5: Выбираем интервал. Нам нужно $\leq 0$, то есть участок оси X, где график уходит в минус (под землю). На нашем рисунке этот провал находится ровно между корнями.

Ответ: $x \in [-1; 5]$.

Главная ловушка ОГЭ: Неполные квадратные неравенства

В задании 13 часто дают выражения вида $36 - x^2 > 0$.

Типичная ошибка школьника: перенести икс вправо ($36 > x^2$), извлечь корень и написать $6 > x$. Это грубейшая математическая ошибка, которая приводит к потере баллов.

Правильное решение всегда идёт через метод параболы:

1. Приравниваем к нулю: $36 - x^2 = 0$.
2. Находим два корня: $x^2 = 36$, значит $x_1 = 6$, $x_2 = -6$.
3. Отмечаем выколотые точки $-6$ и $6$ на оси.
4. Смотрим на знак перед $x^2$. Там стоит минус! Значит, ветви параболы направлены вниз.
5. Нам нужно $> 0$ (плюс). Парабола с ветвями вниз образует «холм» над осью X как раз между корнями.

Ответ: $x \in (-6; 6)$.

Как работать с вариантами ответов в ОГЭ

В бланке ОГЭ вам редко предложат просто вписать интервал. Обычно задание выглядит как тест с четырьмя вариантами графиков или числовых промежутков.

Чтобы не ошибиться на финальном этапе:

1. Не смотрите на варианты ответов до того, как решите задачу. Они составлены так, чтобы запутать вас, предлагая результаты самых частых ошибок (например, забытый минус или неправильно перевёрнутый знак).
2. Сверяйте тип скобок и точек. Если ваш знак был строгим ($<$), а в варианте ответа нарисованы квадратные скобки или закрашенные точки — смело вычёркивайте этот вариант.
3. Проверяйте себя подстановкой. Если вы сомневаетесь между двумя интервалами, возьмите любое удобное число из вашего ответа (например, $0$) и подставьте в исходное неравенство. Если получилось верное утверждение (например, $5 > 2$) — вы выбрали правильный интервал.