Математика 9-11 класс: систематизация и углубление

Алгебра и функции: уравнения, неравенства, свойства функций

Представьте, что вы открыли бизнес по продаже лимонада. Вы знаете: если поставить цену 100 руб. за стакан — купят 50 человек, а если снизить на каждый рубль — придёт ещё один покупатель. При какой цене выручка будет максимальной? Это задача на квадратичную функцию — и именно такие задачи решает алгебра 9–11 классов. Не абстрактные упражнения из учебника, а реальные инструменты для анализа зависимостей.

Квадратное уравнение и его дискриминант

Квадратное уравнение , где , решается через дискриминант . Если — два корня, — один корень, — корней нет (в вещественных числах). Корни находятся по формуле .

Микропример: уравнение имеет , значит, корни , . Проверка: и — всё сходится.

Но формула — это полдела. Гораздо важнее формулы Виета: для уравнения сумма корней равна , а произведение — . Это позволяет находить корни без вычисления дискриминанта, если видно подходящую пару чисел. Например, для нужно два числа с суммой 7 и произведением 12 — это 3 и 4.

Системы уравнений

Система из двух уравнений с двумя неизвестными решается тремя основными способами: подстановка (выразить одну переменную и подставить), сложение (умножить уравнения на коэффициенты, чтобы одна переменная сократилась) и графический (найти точку пересечения кривых).

Микропример: система решается сложением за пять секунд: , значит , . Но если вместо линейных уравнений стоят квадратные — подстановка становится единственным надёжным методом.

Неравенства и метод интервалов

Линейные неравенства тривиальны, но рациональные неравенства вида требуют метода интервалов. Суть: разложить числитель и знаменатель на множители, найти критические точки (корни числителя и нули знаменателя), разметить числовую ось и определить знак выражения на каждом интервале.

Важный нюанс: нули знаменателя — это особые точки, они всегда исключаются из области определения, даже если неравенство нестрогое. А нули числителя включаются в ответ только при неравенствах с или .

Микропример: . Критические точки: (корень числителя) и (корень знаменателя). На интервале дробь положительна, на — отрицательна, на — положительна. Ответ: . Обратите внимание: включён (неравенство нестрогое, числитель обращается в ноль), а исключён (знаменатель обращается в ноль).

Свойства функций

Функция — это правило, каждому значению сопоставляющее единственное значение . Но чтобы по-настоящему понять функцию, нужно знать пять ключевых свойств.

Область определения — множество допустимых . Для дробных — знаменатель , для корневых — выражение под корнем , для логарифмических — аргумент .

Чётность и нечётность: — чётная (график симметричен относительно оси ), — нечётная (симметрия относительно начала координат). Микропример: — чётная, — нечётная, — ни то, ни другое.

Монотонность: функция возрастает, если при выполняется . Убывает — наоборот. Монотонность может меняться на разных участках: убывает на и возрастает на .

Периодичность: для некоторого . Тригонометрические функции — классический пример: имеет период .

Экстремумы — точки максимума и минимума. Точкой максимума называется , если в некоторой окрестности . Аналогично для минимума. Локальный экстремум — не обязательно глобальный: имеет минимум в и максимум в , но при функция растёт без ограничения.

Разбор задачи: исследование кубической функции

Рассмотрим . Исследуем её по шагам.

Шаг 1. Область определения. Функция — многочлен, значит .

Шаг 2. Нахождение экстремумов. Вычислим производную: . Приравняем к нулю: и . Проверяем знак производной: на — положительна (функция возрастает), на — отрицательна (убывает), на — положительна (возрастает). Значит, — точка максимума, — точка минимума. Вычислим значения: , .

Шаг 3. Пересечение с осями. С осью : . С осью : решаем . Подбором находим, что корней среди целых чисел нет (проверяем ). График пересекает ось один раз — на участке, где функция убывает от 5 до 1, корня нет, а при функция стремится к , значит, корень есть на .

Шаг 4. Поведение на бесконечности. При : . При : (старшая степень нечётная, коэффициент положительный).

Применение: задача про лимонад

Вернёмся к задаче из начала. Цена руб., количество покупателей . Выручка . Это парабола с ветвями вниз, максимум при руб. Максимальная выручка: руб. При цене 100 руб. выручка была бы руб. — меньше на 625 руб.

Типичная ошибка: считать, что чем выше цена — тем больше прибыль. Функция выручки — квадратичная, и у неё есть чёткий максимум. Умение находить такие точки — ключевой навык алгебры.

Если из этой главы запомнить три вещи — это формулы Виета для быстрого нахождения корней, метод интервалов для рациональных неравенств и связь знака производной с монотонностью функции.

Геометрия и тригонометрия: планиметрия, стереометрия, тригонометрические тождества

Когда инженеры проектируют мост, они решают задачу, которая сводится к теореме Пифагора и тригонометрии. Расстояние между опорами, угол наклона троса, площадь сечения балки — всё это геометрия. Но школьная геометрия 9–11 классов — это не только формулы, а умение видеть пространственные связи и доказывать утверждения логически.

Планиметрия: ключевые теоремы

Планиметрия — геометрия на плоскости. Её фундамент — аксиомы (утверждения, принимаемые без доказательств) и теоремы (утверждения, доказываемые на основе аксиом).

Теорема Пифагора — центральный результат планиметрии. В прямоугольном треугольнике с катетами , и гипотенузой выполняется . Эта теорема не просто вычисляет сторону — она связывает геометрию с алгеброй.

Микропример: треугольник со сторонами 5, 12, 13 — прямоугольный, потому что . А треугольник 7, 8, 9 — нет: .

Теорема синусов связывает стороны и противолежащие углы: , где — радиус описанной окружности. Она незаменима, когда известны два угла и одна сторона.

Теорема косинусов — обобщение теоремы Пифагора на произвольный треугольник: . Если , то и формула превращается в теорему Пифагора. Если , то и — треугольник тупоугольный.

Площадь треугольника можно вычислить несколькими способами: (через сторону и высоту), (через две стороны и угол между ними), (формула Герона, где — полупериметр). Формула Герона особенно полезна, когда высоту найти сложно.

Окружность и вписанные фигуры

Окружность — множество точек, равноудалённых от центра. Но её свойства порождают целый пласт задач.

Вписанный угол — угол с вершиной на окружности. Он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Микропример: если дуга составляет , то любой вписанный угол, опирающийся на неё, равен .

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания. Из этого следует теорема о длине касательной: если из точки проведены две касательные к окружности, их длины равны. Это свойство часто используется в олимпиадных задачах.

Стереометрия: переход в пространство

Стереометрия — геометрия в трёхмерном пространстве. Главная сложность — нужно мыслить объёмно, а не только на плоскости.

Многогранники — фигуры, ограниченные плоскостями. Объём параллелепипеда — произведение площади основания на высоту: . Для параллелепипеда (в частности, куба) это тривиально, но для наклонного параллелепипеда высоту нужно уметь находить через перпендикуляр к плоскости основания.

Объём пирамиды — треть от произведения площади основания на высоту: . Микропример: пирамида с квадратным основанием со стороной 6 и высотой 10 имеет объём .

Объём шара: , площадь поверхности: . Эти формулы нужно знать наизусть — они встречаются в каждой второй задаче по стереометрии.

Теорема о трёх перпендикулярах — ключевой инструмент стереометрии: если прямая перпендикулярна прямой (проекции прямой на плоскость), то перпендикулярна и самой . И наоборот: если , то . Эта теорема позволяет «переносить» перпендикулярность из плоскости в пространство.

Тригонометрические тождества

Тригонометрия — мост между геометрией и алгеброй. Основа — единичная окружность: — абсцисса точки, — ордината. Отсюда вытекает основное тригонометрическое тождество: .

Формулы приведения позволяют выразить тригонометрическую функцию любого угла через функцию острого угла. Правило: если угол записан как или , функция меняется (, ); если как или — функция сохраняется. Знак определяется по квадранту.

Микропример: . А (знак минус, потому что 150° во втором квадранте, где косинус отрицателен).

Формулы сложения: , . Из них выводятся формулы двойного угла: , .

Разбор задачи: площадь четырёхугольника

Дана окружность радиуса 5. Хорда имеет длину 8. Найдите расстояние от центра до хорды.

Шаг 1. Проведём радиусы и . Получаем равнобедренный треугольник с основанием и боковыми сторонами .

Шаг 2. Опустим перпендикуляр из центра на хordу. Он является медианой: .

Шаг 3. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике : .

Ответ: расстояние равно 3. Казалось бы, простая задача, но в ней задействованы три ключевых инструмента: свойство перпендикуляра к хорде, равнобедренный треугольник и теорема Пифагора.

Типичная ошибка: смешение планиметрии и стереометрии

Часто ученики применяют планиметрические свойства в пространстве, где они не работают. Например, «две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны» — это верно на плоскости, но в пространстве они могут быть скрещивающимися. Всегда проверяйте: лежат ли все объекты в одной плоскости, прежде чем применять планиметрическую теорему.

Если из этой главы запомнить три вещи — это теорема косинусов как обобщение Пифагора, формулы приведения с определением знака по квадранту и теорему о трёх перпендикулярах как главный инструмент стереометрии.

Математический анализ и производные: пределы, производные, применение к исследованию функций

В 1684 году Готфрид Лейбниц опубликовал первую печатную работу по математическому анализу. С тех пор прошло более трёхсот лет, но суть не изменилась: анализ — это наука о том, как величины меняются. Скорость автомобиля, ускорение ракеты, оптимальная цена товара — всё это описывается производными. Без этого инструмента невозможно понять ни физику, ни экономику, ни инженерию.

Предел последовательности

Прежде чем говорить о производных, нужно понять предел — фундаментальное понятие анализа. Интуитивно: предел последовательности — это число , к которому члены последовательности приближаются при неограниченном росте . Обозначается .

Микропример: последовательность имеет предел 0, потому что , , — члены неограниченно приближаются к нулю, но никогда его не достигают.

Строгое определение (предел по Коши): число является пределом последовательности , если для любого существует такой номер , что при всех выполняется . Говоря проще: какую бы точность мы ни выбрали, начиная с некоторого момента все члены последовательности будут отличаться от меньше, чем на .

Важные свойства пределов: предел суммы равен сумме пределов, предел произведения — произведению пределов, предел частного — частному пределов (если предел знаменателя не равен нулю). Эти свойства позволяют вычислять сложные пределы, разбивая их на простые компоненты.

Предел функции

Предел функции при — это число , к которому значения приближаются, когда стремится к . Обозначается .

Ключевой нюанс: функция не обязательно принимает значение в точке — и может быть там даже не определена. Например, , хотя при выражение не определено (деление на ноль). Этот предел — один из фундаментальных в математическом анализе.

Микропример: рассмотрим . При знаменатель обращается в ноль. Но , значит при . Предел при равен 2. Функция имеет «пробел» в точке , но предел существует.

Производная: определение и геометрический смысл

Производная функции в точке — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

Геометрически производная — это тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке. Если , касательная направлена вверх (функция возрастает), если — вниз (убывает), если — касательная горизонтальна (возможен экстремум).

Микропример: для производная . В точке производная равна 6 — график поднимается с наклоном, тангенс которого равен 6. В точке производная равна 0 — это вершина параболы.

Таблица производных и правила дифференцирования

Базовые производные нужно знать наизусть:

| Функция | Производная | |---------|-------------| | (константа) | | | | | | | | | | | | | | | | |

Правила дифференцирования:

Микропример: найдём производную . По правилу произведения: .

Исследование функции с помощью производных

Производная — это инструмент полного исследования функции. Алгоритм включает несколько шагов.

Шаг 1. Область определения. Определяем, при каких функция имеет смысл.

Шаг 2. Промежутки монотонности. Находим , приравниваем к нулю, получаем критические точки. Знак производной на интервалах между ними определяет: — возрастание, — убывание.

Шаг 3. Экстремумы. В точках, где производная меняет знак, находятся локальные экстремумы. Если меняет знак с плюса на минус — максимум, с минуса на плюс — минимум.

Шаг 4. Выпуклость и точки перегиба. Вторая производная определяет выпуклость: — график выпукл вниз (как чашка), — выпукл вверх. Точка, где меняет знак, — точка перегиба.

Разбор задачи: полное исследование функции

Исследуем .

Шаг 1. (многочлен).

Шаг 2. . Критические точки: и . Знаки : на — положительна, на — отрицательна, на — положительна. Функция возрастает на и , убывает на .

Шаг 3. — максимум (), — минимум ().

Шаг 4. . При : (выпукла вверх), при : (выпукла вниз). Точка перегиба: , .

Шаг 5. График: возрастает до , убывает до , затем снова возрастает. Перегиб в .

Применение: задача на оптимизацию

Фермер огораживает прямоугольный участок у стены сарая (стена — одна сторона). На забор есть 60 м материала. Какую максимальную площадь можно огородить?

Пусть — длина стороны, параллельной стене, — длина перпендикулярных сторон. Ограничение: , значит . Площадь: . Производная: . При : , . Максимальная площадь: м². Вторая производная — действительно максимум.

Если из этой главы запомнить три вещи — это геометрический смысл производной как тангенса угла наклона касательной, связь знака производной с монотонностью и алгоритм полного исследования функции через первую и вторую производные.

Комбинаторика, вероятность и статистика: перестановки, сочетания, распределения, анализ данных

В комнате сидит 23 человека. Какова вероятность того, что у двоих из них совпадёт день рождения? Интуиция подсказывает: мизерная — всего 23 на 365 дней. Но точный расчёт даёт более 50%. Этот парадокс дней рождения — один из самых ярких примеров того, как комбинаторика и вероятность ломают повседневную интуицию. Чтобы понять, почему так происходит, нужно разобраться в базовых принципах подсчёта и случайных событиях.

Принципы подсчёта

Комбинаторика — наука о способах подсчёта объектов без непосредственного перебора. Её три кита: правило суммы, правило произведения и размещения с повторениями.

Правило суммы: если объект можно выбрать способом или способом , и эти способы не пересекается, то общее число вариантов равно . Микропример: в кафе 4 вида чая и 6 видов кофе — всего напитков.

Правило произведения: если выбор состоит из двух последовательных этапов, на первом вариантов, на втором — , то общее число комбинаций . Микропример: 5 рубашек и 3 пары брюк дают комплектов одежды.

Размещения с повторениями: если из типов объектов нужно выбрать (с повторениями, порядок важен), число способов равно . Именно поэтому пароль из 4 цифр имеет вариантов — каждая позиция независимо выбирается из 10 цифр.

Перестановки, размещения, сочетания

Три основные комбинаторные схемы различаются по двум признакам: важен ли порядок и возможны ли повторения.

Перестановки — число способов упорядочить различных объектов. Формула: (факториал). Микропример: 5 книг на полке можно расставить способами. Факториал растёт стремительно: .

Размещения без повторений — число способов выбрать объектов из с учётом порядка. Формула: . Микропример: из 8 кандидатов выбрать президента и вице-президента — способов (порядок важен: кто президент, а кто заместитель).

Сочетания — число способов выбрать объектов из без учёта порядка. Формула: . Именно это число записывается как — биномиальный коэффициент. Микропример: из 8 кандидатов выбрать 2 в комитет — способов (порядок не важен: {Иванов, Петров} и {Петров, Иванов} — это один и тот же комитет).

| Схема | Порядок важен | Повторения | Формула | |-------|--------------|------------|---------| | Перестановки | Да | Нет | | | Размещения | Да | Нет | | | Сочетания | Нет | Нет | | | Размещения с повторениями | Да | Да | |

Основы вероятности

Вероятность события — это отношение числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов: , где — пространство элементарных исходов.

Вернёмся к парадоксу дней рождения. Чтобы ни у кого не совпал день рождения, нужно, чтобы все 23 даты были различны. Число способов распределить 23 различные даты по 365: . Общее число распределений (с возможными совпадениями): . Вероятность того, что все даты различны: . Значит, вероятность хотя бы одного совпадения: — чуть больше половины.

Формулы сложения и умножения вероятностей. Для несовместных событий . Для независимых . Если события не независимы, используется условная вероятность: .

Микропример: в урне 3 белых и 7 чёрных шаров. Извлекают два шара без возвращения. Вероятность, что оба белые: . Здесь второе событие зависит от первого — после первого извлечения в урне стало на один белый шар меньше.

Биномиальное распределение

Если проводится независимых испытаний с двумя исходами (успех с вероятностью , неудача с вероятностью ), то вероятность ровно успехов задаёт биномиальное распределение:

Микропример: монету бросают 5 раз. Вероятность ровно 3 орлов: .

Математическое ожидание биномиального распределения: . Дисперсия: . Эти формулы позволяют предсказывать средний результат и его разброс. Микропример: при бросков монеты , , стандартное отклонение . Значит, в большинстве экспериментов число орлов будет в диапазоне .

Статистика: анализ данных

Статистика — это инструмент извлечения выводов из данных. Три ключевые характеристики выборки:

Среднее арифметическое — «центр тяжести» данных. Чувствительно к выбросам: если в группе из 10 человек с зарплатой 50 тыс. руб. появится один с зарплатой 500 тыс., среднее «уплывёт» с 50 до 90,9 тыс.

Медиана — средний элемент упорядоченной выборки (при чётном — среднее двух центральных). Устойчива к выбросам. В примере выше медиана останется 50 тыс.

Мода — наиболее часто встречающееся значение. В выборке мода равна 5.

Микропример: оценки учеников на экзамене: . Среднее: . Медиана: (среднее 5-го и 6-го элементов). Мода: . Три числа дают три разных «среза» одних и тех же данных.

Стандартное отклонение измеряет разброс данных относительно среднего. Малое — данные кучны, большое — разбросаны.

Разбор задачи: вероятность в карточной игре

Из стандартной колоды в 36 карт вытягивают 5 карт. Какова вероятность получить ровно 2 туза?

Шаг 1. Общее число способов выбрать 5 карт из 36: .

Шаг 2. Благоприятные исходы: выбрать 2 туза из 4 и 3 нетуза из 32: .

Шаг 3. Вероятность: , то есть около 7,9%.

Задача решена за три шага, но в ней заложены два ключевых навыка: правильный подсчёт общего числа исходов (сочетания, а не перестановки — порядок карт в руке не важен) и разбиение благоприятных исходов на независимые компоненты (тузы и нетузы выбираются отдельно).

Типичная ошибка: перепутать перестановки и сочетания

Частая ошибка — считать порядок, когда он не важен. Например, «сколько способов выбрать 3 человека из 10 в команду?» — это сочетания , а не размещения . Разница в 6 раз. Критерий простой: если {Иванов, Петров, Сидоров} и {Сидоров, Иванов, Петров} — это одно и то же, порядок не важен, используйте сочетания.

Другая ошибка — забывать про взаимоисключающие события при сложении вероятностей. Формула работает только если и не могут произойти одновременно. В общем случае: .

Если из этой главы запомнить три вещи — это различие между перестановками, размещениями и сочетаниями по признаку порядка, формула вероятности как отношения числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных и биномиальное распределение с математическим ожиданием .

Подготовка к олимпиадам и решение сложных задач: нестандартные приёмы и комбинирование тем

Задача: на доске написано 100 чисел. За один ход можно выбрать любые два числа, стереть их и записать их разность. Через 99 ходов останется одно число. Может ли оно быть чётным, если изначально на доске было 50 чётных и 50 нечётных чисел? Решение занимает три строки и не требует никаких формул — только наблюдение за инвариантом. Именно такие приёмы отличают олимпиадное мышление от стандартного: не применять алгоритм, а видеть структуру.

Инвариант: неизменная величина

Инвариант — это свойство или величина, которая не меняется при допустимых преобразованиях. Если удаётся найти инвариант, задача часто решается за минуту: достаточно проверить, совпадает ли инвариант в начальном и конечном состояниях.

Разберём задачу из начала. Заметим, что при замене двух чисел и на чётность суммы всех чисел на доске сохраняется. Почему? Если оба числа чётные: чётное минус чётное — чётное, сумма не меняется по чётности. Если оба нечётные: нечётное минус нечётное — чётное, сумма уменьшается на — чётное число, чётность сохраняется. Если одно чётное, другое нечётное: разность нечётная, а сумма двух исходных чисел нечётная — подстановка нечётного вместо нечётной суммы сохраняет чётность.

Изначальная сумма: 50 чётных (сумма чётная) плюс 50 нечётных (сумма чётная, так как чётное количество нечётных даёт чётную сумму). Итого сумма чётна. Значит, последнее оставшееся число тоже должно быть чётным. Ответ: да, может.

Микропример для закрепления: на доске числа 1, 2, 3. Заменим 1 и 3 на . Остались 2 и . Заменим на . Результат — чётное число, хотя изначально были и чётные, и нечётные.

Принцип крайнего элемента

Принцип крайнего элемента (или экстремальный принцип) — приём, основанный на рассмотрении объекта с максимальным или минимальным значением некоторого свойства. Если среди конечного множества объектов существует наибольший (или наименьший), его особые свойства часто дают ключ к решению.

Классическая задача: человек на вечеринке, каждый пожал руки с разным числом людей (от 0 до ). Возможно ли это? Нет. Почему: если кто-то пожал 0 рук, значит, он ни с кем не здоровался. Но тогда никто не мог пожать рук (потому что этот человек не здоровался с «нулевиком»). Значит, одновременно 0 и невозможны, а человек с различным числом рукопожатий из множества требуют как раз все значений.

Микропример: 4 человека. Если один пожал 0 рук, то максимум рукопожатий у любого другого — 2 (не считая «нулевика»). Значит, значения невозможны одновременно.

Аргумент чётности

Аргумент чётности — приём, основанный на делении объектов на чётные и нечётные классы. Часто достаточно показать, что некоторое количество должно быть одновременно чётным и нечётным — и это противоречие завершает доказательство.

Задача: на шахматной доске удалены две диагонально противоположные клетки. Можно ли покрыть оставшиеся 62 клетки 31 костяшкой домино (каждая покрывает ровно две соседние клетки)?

Шахматная доска раскрашена в шахматном порядке: 32 белых и 32 чёрных клетки. Диагонально противоположные клетки одного цвета — обе белые или обе чёрные. После удаления остаётся 30 клеток одного цвета и 32 другого. Но каждое домино покрывает ровно одну белую и одну чёрную клетку. Значит, 31 домино покроет 31 белую и 31 чёрную клетку — а у нас 30 и 32. Противоречие. Ответ: невозможно.

Метод подстановки и эквивалентные преобразования

Олимпиадные задачи часто требуют нестандартной подстановки — введения новой переменной, которая упрощает структуру. Ключевое правило: подстановка должна быть обратимой (биективной), иначе можно потерять или приобрести лишние решения.

Задача: найти все целочисленные решения уравнения .

Первый шаг — анализ по модулю. Если , , — целые, рассмотрим уравнение по модулю 2. Левая часть: (поскольку ). Правая часть: . Значит, чётно.

Теперь покажем, что — единственное решение. Предположим, что существует нетривиальное решение. Пусть — наименьшее по модулю ненулевое число. Тогда . Правая часть делится на (и на ), значит делится на . Но по определению, и при получаем противоречие (квадрат меньшего числа не может делиться на большее, если оба ненулевые). Значит, . Подставляя: , то есть . Целое решение: . Итак, .

Комбинирование тем: когда одна задача требует нескольких разделов

Настоящая сложность олимпиадных задач — не в глубине одного раздела, а в необходимости соединить алгебру, геометрию, теорию чисел и комбинаторику в одном решении.

Задача: доказать, что среди любых 51 целого числа из множества найдутся два, одно из которых делится на другое.

Решение использует принцип Дирихле (принцип голубят): если объектов разместить в контейнерах при , то хотя бы в одном контейнере окажется не менее двух объектов.

Запишем каждое число в виде , где — нечётное. Нечётная часть принимает значения из множества — ровно 50 различных значений. Если среди 51 числа два имеют одинаковую нечётную часть , то одно из них равно , другое — с , и первое делит второе. По принципу Дирихле: 51 число, 50 «контейнеров» (значений ) — значит, в каком-то контейнере не менее двух чисел.

Здесь соединились теория чисел (разложение на чётную и нечётную части), комбинаторика (принцип Дирихле) и логическое рассуждение (следствие из совпадения нечётных частей).

Метод математической индукции в олимпиадных задачах

Математическая индукция — метод доказательства утверждений для всех натуральных . Схема: (1) база — проверить для ; (2) индукционный переход — показать, что если утверждение верно для , то оно верно для .

На олимпиадах индукция применяется нестандартно. Например, сильная индукция: предполагаем истинность для всех , а не только для .

Задача: доказать, что любое натуральное число можно представить в виде суммы различных степеней двойки. База: . Переход: пусть для всех утверждение верно. Если — степень двойки, всё очевидно. Если нет, возьмём наибольшую степень двойки . Тогда (по выбору ), и по предположению индукции раскладывается в сумму степеней двойки, все меньше . Значит, — сумма различных степеней двойки.

Разбор олимпиадной задачи

Задача: точек расположены на окружности, все соединены хордами. Хорды не пересекаются более чем в одной точке. Сколько точек пересечения хорд внутри окружности?

Шаг 1. Заметим, что каждая точка пересечения внутри окружности определяется ровно двумя хордами, а каждая хорда определяется двумя точками на окружности.

Шаг 2. Две хорды пересекаются внутри окружности тогда и только тогда, когда их четыре конца чередуются на окружности. Иными словами, нужно выбрать 4 точки из — и ровно одна диагональ образованного четырёхугольника является парой пересекающихся хорд.

Шаг 3. Число способов выбрать 4 точки из : . Каждая четвёрка даёт ровно одну точку пересечения.

Ответ: . Для : точек пересечения.

Здесь соединились комбинаторика (сочетания), геометрия (свойства хорд и вписанных четырёхугольников) и биекция (установление взаимно-однозначного соответствия между точками пересечения и четвёрками точек).

Типичная ошибка: пытаться решить олимпиадную задачу стандартным алгоритмом

Главная ловушка — применять к олимпиадной задаче школьный алгоритм. Если задача про числа — не обязательно решать уравнение; возможно, нужен анализ по модулю или инвариант. Если задача про точки — не обязательно вычислять координаты; возможно, нужен принцип Дирихле или инвариант.

Олимпиадное мышление — это умение задать правильный вопрос: «Что остаётся неизменным?», «Что будет, если рассмотреть крайний случай?», «Можно ли переформулировать задачу так, чтобы она стала очевидной?»

Если из этой главы запомнить три вещи — это инвариант как инструмент отсечения невозможных состояний, экстремальный принцип для нахождения ключевого объекта и умение соединять алгебру, геометрию и комбинаторику в одном решении через биекцию или принцип Дирихле.