ЕГЭ Математика Профиль: Задания 11 и 12 (Графики и Производная)

Введение в курс. Задание 11: Чтение графиков

Добро пожаловать в курс подготовки к профильному ЕГЭ по математике, посвященный заданиям 11 и 12. Мы начинаем с задания №11. Это задание проверяет ваше умение работать с графиками элементарных функций. Ваша цель — научиться восстанавливать формулу функции по её рисунку и находить значения в заданных точках.

В этой статье мы разберем три фундаментальных типа функций, которые встречаются чаще всего: линейную, квадратичную и функцию квадратного корня.

Линейная функция: Прямая

Графиком линейной функции является прямая линия. Это самый простой, но важный элемент анализа.

Общий вид уравнения

Уравнение прямой в общем виде записывается так:

$$y = kx + b$$

Где:

• $y$ — значение функции (координата по вертикальной оси);
• $x$ — аргумент функции (координата по горизонтальной оси);
• $k$ — угловой коэффициент, отвечающий за наклон прямой;
• $b$ — свободный член, отвечающий за сдвиг прямой вверх или вниз.

Как найти коэффициент $k$?

Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси $Ox$. На практике, чтобы найти $k$, нужно:

1. Найти на прямой две «хорошие» точки, которые попадают ровно в узлы клеток.
2. Достроить прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это отрезок нашей прямой между выбранными точками.
3. Разделить длину вертикального катета на длину горизонтального катета.

Формула для вычисления:

$$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Где:

• $k$ — искомый угловой коэффициент;
• $\Delta y$ — изменение функции (высота треугольника);
• $\Delta x$ — изменение аргумента (основание треугольника);
• $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ — координаты двух выбранных точек.

Важно: Если прямая «растет» (идет вверх слева направо), то $k > 0$. Если прямая «падает» (идет вниз слева направо), то $k < 0$. Не забывайте ставить минус!

Как найти коэффициент $b$?

Коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$. Посмотрите, где график пересекает вертикальную ось. Если это происходит ровно в узле клетки, например, в точке $(0; 3)$, то $b = 3$.

Если точка пересечения нечеткая, вычислите $b$ аналитически. Зная $k$ и координаты любой точки $(x; y)$ на прямой, подставьте их в уравнение $y = kx + b$ и найдите $b$.

Квадратичная функция: Парабола

Графиком квадратичной функции является парабола. В заданиях ЕГЭ параболы могут быть сдвинуты, растянуты или перевернуты.

Стандартный вид

Классическое уравнение параболы:

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

Где:

• $f(x)$ — значение функции;
• $a$ — коэффициент, отвечающий за направление ветвей и их «крутизну» (растяжение);
• $b$ — коэффициент, влияющий на положение вершины параболы по горизонтали;
• $c$ — свободный член, показывающий точку пересечения с осью $Oy$.

Свойства коэффициентов

1. Коэффициент $a$:

   • Если $a > 0$, ветви направлены вверх.
   • Если $a < 0$, ветви направлены вниз.
   • По модулю $|a|$ определяет ширину параболы. Стандартная парабола $y=x^2$ проходит через точки $(1; 1)$ относительно вершины. Если парабола проходит через $(1; 2)$ относительно вершины, значит $a=2$ (она уже). Если через $(1; 0.5)$, то $a=0.5$ (она шире).

2. Коэффициент $c$:

   • Это значение функции при $x=0$. То есть $f(0) = c$. Просто посмотрите, где парабола пересекает ось $Y$.

Вершина параболы

Это самая важная точка. Координата $x$ вершины ($x_0$) вычисляется по формуле:

$$x_0 = -\frac{b}{2a}$$

Где:

• $x_0$ — абсцисса вершины параболы;
• $b$ — второй коэффициент квадратного трехчлена;
• $a$ — старший коэффициент.

Альтернативный способ: Уравнение через вершину

Часто в ЕГЭ удобнее использовать уравнение параболы через координаты вершины $(x_0; y_0)$:

$$f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0$$

Где:

• $a$ — коэффициент растяжения (тот же, что и в стандартном виде);
• $x_0$ — координата вершины по оси $X$;
• $y_0$ — координата вершины по оси $Y$.

Алгоритм решения для параболы:

1. Определите координаты вершины $(x_0; y_0)$ по графику.
2. Определите $a$ (обычно $a=1$ или $a=-1$, но проверьте по соседней точке: если от вершины шагаем на 1 вправо и поднимаемся на 1 вверх, то $a=1$).
3. Запишите уравнение и найдите то, что требует задача.

Функция квадратного корня

График функции корня похож на «половину параболы», которая лежит на боку.

Общий вид

Базовое уравнение со сдвигами:

$$f(x) = k\sqrt{x + p} + q$$

Где:

• $k$ — коэффициент растяжения по вертикали;
• $p$ — сдвиг графика влево/вправо (обратите внимание на знак);
• $q$ — сдвиг графика вверх/вниз.

Чаще всего в ЕГЭ встречается вид:

$$f(x) = a\sqrt{x}$$

Или более общий вид, где начало ветви корня находится не в $(0;0)$.

Как работать с корнем?

1. Найдите начало: Точка, откуда «растет» график, — это ключевой ориентир. Если график начинается в точке $(-2; -3)$, значит под корнем выражение обнуляется при $x=-2$, а свободный член равен $-3$. Уравнение примет вид $f(x) = k\sqrt{x - (-2)} + (-3) = k\sqrt{x+2} - 3$.
2. Найдите $k$: Возьмите любую другую точку на графике, координаты которой четко видны (целые числа). Подставьте $x$ и $y$ в ваше уравнение и найдите $k$.

Универсальный алгоритм решения Задания 11

Независимо от того, какая функция перед вами, придерживайтесь следующего плана:

1. Идентификация: Определите вид функции (прямая, парабола, корень).
2. Поиск точек: Найдите на графике узловые точки (пересечения линий сетки), координаты которых — целые числа.
3. Составление системы:
   • Если неизвестных коэффициентов 2 (например, $k$ и $b$ у прямой), вам нужно 2 точки.
   • Если неизвестных 3 (например, $a, b, c$ у параболы), нужно 3 точки (или вершина и 1 точка).
4. Вычисление: Подставьте координаты точек в уравнение функции и решите полученную систему уравнений относительно коэффициентов.
5. Ответ на вопрос: Внимательно прочитайте условие. Вас могут попросить найти значение функции в точке $x=10$ (то есть найти $y$) или найти $x$, при котором $f(x) = 100$.

Пример рассуждения

Допустим, дана прямая, проходящая через точки $(0; -1)$ и $(2; 3)$.

1. Видим $b = -1$ (пересечение с $Oy$).
2. Уравнение: $y = kx - 1$.
3. Берем точку $(2; 3)$. Подставляем: $3 = k \cdot 2 - 1$.
4. Решаем: $2k = 4 \Rightarrow k = 2$.
5. Итоговая формула: $y = 2x - 1$.

В следующих статьях мы разберем более сложные функции, такие как гипербола, логарифмическая и показательная функции, а также перейдем к понятию производной. Но база, заложенная сегодня — умение видеть коэффициенты на рисунке — пригодится вам везде.

Задание 11. Обратная пропорциональность, показательные, логарифмические функции и преобразования графиков

В предыдущей статье мы разобрали фундамент задания №11: прямые, параболы и корни. Сегодня мы переходим к «высшему пилотажу» — функциям, которые вызывают больше всего вопросов у школьников. Мы научимся читать графики гипербол, показательных и логарифмических функций, а также освоим универсальный метод преобразований, который позволит решать задачи буквально за секунды.

Обратная пропорциональность: Гипербола

Графиком обратной пропорциональности является гипербола. Она состоит из двух ветвей, которые никогда не пересекают определенные линии — асимптоты.

Общий вид уравнения

В заданиях ЕГЭ чаще всего встречается следующий вид:

$$f(x) = \frac{k}{x + a} + b$$

Где:

• $f(x)$ — значение функции;
• $k$ — коэффициент, отвечающий за «растяжение» гиперболы и то, в каких четвертях она находится;
• $a$ — коэффициент, отвечающий за смещение графика влево или вправо;
• $b$ — коэффициент, отвечающий за смещение графика вверх или вниз.

Секрет асимптот

Самый быстрый способ определить коэффициенты $a$ и $b$ — посмотреть на асимптоты (пунктирные линии, к которым график стремится, но не касается).

1. Вертикальная асимптота: Проходит через точку $x = -a$. Если вы видите, что график бесконечно приближается к вертикальной прямой $x = 2$, значит знаменатель обращается в ноль при $x = 2$. Следовательно, $x + a = 0 \Rightarrow 2 + a = 0 \Rightarrow a = -2$.
2. Горизонтальная асимптота: Проходит через точку $y = b$. Если график прижимается к линии $y = 3$, значит $b = 3$.

Поиск коэффициента $k$

После того как вы нашли $a$ и $b$ по асимптотам, уравнение принимает вид:

$$f(x) = \frac{k}{x - 2} + 3$$

Где:

• $x$ и $f(x)$ — переменные;
• $k$ — пока неизвестный коэффициент;
• $-2$ и $3$ — найденные параметры сдвига.

Чтобы найти $k$, выберите любую «хорошую» точку на графике (целочисленную), через которую проходит гипербола. Подставьте её координаты $(x_0; y_0)$ в уравнение и решите его относительно $k$.

Важно: Если ветви гиперболы расположены в I и III четвертях (относительно новых асимптот), то $k > 0$. Если во II и IV — то $k < 0$.

Показательная функция

Показательная функция описывает процессы быстрого роста или затухания. График всегда проходит выше оси $Ox$ (если нет сдвига вниз) и резко уходит вверх или прижимается к оси.

Общий вид

$$f(x) = a^x + b$$

Где:

• $a$ — основание степени ($a > 0, a \neq 1$);
• $b$ — сдвиг по вертикали (горизонтальная асимптота);
• $x$ — показатель степени.

Алгоритм решения

1. Найдите горизонтальную асимптоту. Посмотрите, к какой горизонтальной линии график прижимается на бесконечности. Это и есть значение $b$. Например, если «хвост» графика лежит на линии $y = -1$, то $b = -1$.
2. Найдите основание $a$. Возьмите точку с целыми координатами. Желательно не ту, где $x=0$ (так как $a^0 = 1$ для любого $a$, это может дать мало информации, если $b$ уже известно, но лучше брать точки с $x=1$ или $x=2$).

Пример: График проходит через $(2; 5)$ и имеет асимптоту $y = 1$. Уравнение: $y = a^x + 1$. Подставляем точку: $5 = a^2 + 1 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = 2$ (так как $a > 0$). Ответ: $f(x) = 2^x + 1$.

Логарифмическая функция

Логарифм — это функция, обратная показательной. Если вы наклоните голову на 90 градусов вправо, график логарифма будет напоминать показательную функцию.

Общий вид

$$f(x) = b + \log_a x$$

Где:

• $a$ — основание логарифма ($a > 0, a \neq 1$);
• $b$ — сдвиг вверх/вниз;
• $x$ — аргумент логарифма (должен быть положительным).

Иногда встречается вид со сдвигом по $x$:

$$f(x) = \log_a (x + c)$$

Где:

• $c$ — сдвиг влево/вправо (определяется по вертикальной асимптоте).

Ключевая точка

Помните свойство логарифма: $\log_a 1 = 0$. Это значит, что классический график всегда проходит через точку $(1; 0)$. Если график смещен, следите за этой точкой.

Алгоритм:

1. Определите вертикальную асимптоту. Если график не заходит левее оси $Oy$, значит аргумент — просто $x$. Если не заходит левее $x = -2$, значит аргумент $(x + 2)$.
2. Найдите «хорошую» точку. Подставьте её координаты в уравнение и найдите $a$ и $b$.

Преобразования графиков: Универсальный метод

Вместо того чтобы заучивать свойства каждой функции отдельно, можно запомнить общие правила преобразований. Пусть у нас есть базовая функция $y = f(x)$ (например, $x^2$, $\sqrt{x}$, $\frac{1}{x}$, $2^x$).

1. Сдвиг вдоль оси $Oy$ (Вверх/Вниз)

$$y = f(x) + A$$

Где:

• $A$ — величина сдвига.

• Если $A > 0$, график поднимается вверх на $A$ единиц.

• Если $A < 0$, график опускается вниз на $|A|$ единиц.

Как узнать: Изменяется ли область значений? Поднялась ли асимптота или вершина?

2. Сдвиг вдоль оси $Ox$ (Влево/Вправо)

$$y = f(x + A)$$

Где:

• $A$ — величина сдвига внутри аргумента.

Внимание, здесь всё наоборот!

• Если $A > 0$ (например, $(x+2)^2$), график сдвигается влево.
• Если $A < 0$ (например, $(x-3)^2$), график сдвигается вправо.

Почему так? Чтобы получить то же значение $y$, которое раньше было в точке $x=0$, теперь нам нужно взять $x=-A$. То есть «событие» происходит раньше (левее) или позже (правее).

3. Растяжение и сжатие

$$y = k \cdot f(x)$$

Где:

• $k$ — коэффициент растяжения.

• Если $|k| > 1$, график вытягивается вдоль оси $Oy$ (становится круче).

• Если $0 < |k| < 1$, график сплющивается к оси $Ox$.

• Если $k < 0$, график переворачивается (отражается зеркально относительно оси $Ox$).

Практический пример комбинированной задачи

Дано: На рисунке изображен график функции $f(x) = \frac{k}{x+a} + b$. Найдите $f(12)$, если вертикальная асимптота $x=2$, горизонтальная асимптота $y=1$, и график проходит через точку $(3; 3)$.

Решение:

1. Анализ асимптот: Вертикальная асимптота $x=2$ означает, что знаменатель равен нулю при $x=2$. Значит, $x+a = x-2$, то есть $a = -2$. Горизонтальная асимптота $y=1$ означает, что дробь поднята на 1. Значит, $b = 1$. Промежуточный вид формулы:

   $$f(x) = \frac{k}{x-2} + 1$$

   Где $f(x)$ — функция, $x$ — аргумент, $k$ — коэффициент.

2. Поиск $k$: Используем точку $(3; 3)$. Подставляем $x=3, f(x)=3$:

   $$3 = \frac{k}{3-2} + 1$$

   $$3 = \frac{k}{1} + 1$$

   $$3 = k + 1 \Rightarrow k = 2$$

3. Итоговая формула:

   $$f(x) = \frac{2}{x-2} + 1$$

4. Ответ на вопрос: Нужно найти $f(12)$. Подставляем $x=12$:

   $$f(12) = \frac{2}{12-2} + 1 = \frac{2}{10} + 1 = 0,2 + 1 = 1,2$$

Ответ: 1,2.

Заключение

Мы разобрали основные типы функций для задания №11. Главный навык здесь — не просто помнить формулы, а видеть, как коэффициенты влияют на картинку. Сдвиги, растяжения и асимптоты — ваши главные подсказки.

В следующей части курса мы перейдем к заданию №12 и начнем изучение производной — мощнейшего инструмента для исследования функций без построения их графиков.

Задание 12. Техника дифференцирования: таблица производных и правила вычисления сложных функций

В предыдущих статьях мы научились «читать» графики функций, определять их свойства и находить коэффициенты по рисунку. Теперь мы переходим к заданию №12 профильного ЕГЭ. Здесь вам предстоит исследовать функции аналитически — без построения графика. Главный инструмент для этого — производная.

Чтобы найти точки максимума, минимума или наибольшее значение функции, нужно уметь быстро и безошибочно находить производную. В этой статье мы соберем полный «арсенал» формул и правил, необходимых для успешного решения этого задания.

Что такое производная?

Если говорить простым языком, производная показывает скорость изменения функции. Если график функции — это гора, то производная в каждой точке показывает крутизну склона.

Обозначается производная штрихом: $f'(x)$ или $y'$.

Таблица производных элементарных функций

Это база, которую нужно выучить наизусть. Без знания этой таблицы решить задание 12 невозможно.

1. Константа и степенная функция

Самые частые гости в уравнениях.

$$C' = 0$$

Где:

• $C$ — любое постоянное число (константа).
• $0$ — результат дифференцирования.

Пример: $(5)' = 0$, $(\pi)' = 0$, $(-100)' = 0$. Скорость изменения постоянного числа равна нулю.

$$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$$

Где:

• $x$ — переменная;
• $n$ — показатель степени (любое действительное число).

Примеры:

• $(x^5)' = 5x^4$
• $(x)' = 1$ (так как $x^1 \to 1 \cdot x^0 = 1$)

2. Корень и обратная пропорциональность

Эти формулы можно вывести из предыдущей (представив корень как степень $1/2$, а дробь как степень $-1$), но для скорости лучше помнить их отдельно.

$$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Где:

• $\sqrt{x}$ — квадратный корень из аргумента;
• $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ — его производная.

$$\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$$

Где:

• $\frac{1}{x}$ — функция обратной пропорциональности;
• $-\frac{1}{x^2}$ — её производная.

3. Показательная и логарифмическая функции

Здесь важно не путать степенную функцию ($x^n$, где $x$ в основании) и показательную ($a^x$, где $x$ в показателе).

$$(e^x)' = e^x$$

Где:

• $e$ — число Эйлера (основание натурального логарифма);
• $e^x$ — единственная функция, производная которой равна самой функции.

$$(a^x)' = a^x \cdot \ln a$$

Где:

• $a$ — основание степени (число);
• $\ln a$ — натуральный логарифм числа $a$.

$$(\ln x)' = \frac{1}{x}$$

Где:

• $\ln x$ — натуральный логарифм;
• $\frac{1}{x}$ — его производная.

$$(\log_a x)' = \frac{1}{x \cdot \ln a}$$

Где:

• $\log_a x$ — логарифм по основанию $a$;
• $\ln a$ — натуральный логарифм основания (появляется в знаменателе).

4. Тригонометрические функции

В ЕГЭ чаще всего встречаются синус, косинус и тангенс.

$$(\sin x)' = \cos x$$

Где:

• $\sin x$ — синус угла;
• $\cos x$ — косинус угла.

$$(\cos x)' = -\sin x$$

Где:

• $\cos x$ — косинус угла;
• $-\sin x$ — синус угла со знаком минус. Важно не забыть минус!

$$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$$

Где:

• $\tan x$ — тангенс угла;
• $\cos^2 x$ — квадрат косинуса.

Правила дифференцирования

Функции редко встречаются в чистом виде. Обычно они складываются, умножаются или делятся. Для таких случаев есть четкие правила.

1. Линейность (Сумма и вынесение константы)

Производная суммы равна сумме производных. Постоянный множитель можно (и нужно) выносить за знак производной.

$$(C \cdot u + v)' = C \cdot u' + v'$$

Где:

• $C$ — числовой коэффициент;
• $u$ и $v$ — функции от $x$.

Пример: Найти производную $y = 3x^2 - 4x + 7$. $y' = (3x^2)' - (4x)' + (7)' = 3 \cdot (2x) - 4 \cdot 1 + 0 = 6x - 4$.

2. Производная произведения

Если функции умножаются, просто перемножить их производные нельзя.

$$(u \cdot v)' = u'v + uv'$$

Где:

• $u$ — первая функция;
• $v$ — вторая функция;
• $u'$ и $v'$ — их производные.

Мнемоническое правило: «Производная первого на второе плюс первое на производную второго».

Пример: $y = x \cdot e^x$ Пусть $u = x$, $v = e^x$. Тогда $u' = 1$, $v' = e^x$. $y' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1 + x)$.

3. Производная частного (дроби)

Самая громоздкая формула, но необходимая для рациональных функций.

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

Где:

• $u$ — функция в числителе;
• $v$ — функция в знаменателе;
• $v^2$ — квадрат знаменателя (в знаменателе ответа).

Важно: В числителе стоит знак минус. Порядок важен: сначала штрих у числителя!

Производная сложной функции

Это «король» ошибок в задании 12. Сложная функция — это функция вида $y = f(g(x))$, или «матрешка»: одна функция вложена в другую.

Правило цепной дроби

Чтобы найти производную сложной функции, нужно умножить производную внешней функции на производную внутренней.

$$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Где:

• $f$ — внешняя функция;
• $g(x)$ — внутренняя функция (аргумент внешней);
• $f'(g(x))$ — производная внешней функции, в которую вместо аргумента подставлена внутренняя функция без изменений;
• $g'(x)$ — производная внутренней функции.

Алгоритм действий

1. Определите внешнюю функцию. Это действие, которое выполняется последним. (Например, в $(2x+3)^5$ последнее действие — возведение в степень 5).
2. Определите внутреннюю функцию. Это то, что стоит внутри. (В примере выше это $2x+3$).
3. Возьмите производную внешней функции, оставив «начинку» нетронутой.
4. Умножьте результат на производную «начинки».

Разбор примеров для ЕГЭ

Пример 1: Степенная сложная

$$y = (4x - 7)^5$$

1. Внешняя: $(\dots)^5$. Её производная $5(\dots)^4$.
2. Внутренняя: $4x - 7$. Её производная $4$.
3. Собираем: $y' = 5(4x - 7)^4 \cdot 4 = 20(4x - 7)^4$.

Пример 2: Показательная сложная

$$y = e^{2x - 3}$$

1. Внешняя: $e^{\dots}$. Производная $e^{\dots}$.
2. Внутренняя: $2x - 3$. Производная $2$.
3. Собираем: $y' = e^{2x - 3} \cdot 2 = 2e^{2x - 3}$.

Пример 3: Корень

$$y = \sqrt{5 - x}$$

1. Внешняя: $\sqrt{\dots}$. Производная $\frac{1}{2\sqrt{\dots}}$.
2. Внутренняя: $5 - x$. Производная $-1$ (обратите внимание на минус перед иксом!).
3. Собираем: $y' = \frac{1}{2\sqrt{5 - x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{5 - x}}$.

Лайфхак для задания 12

В задании 12 часто встречается функция вида:

$$y = (x - 2)^2(x + 5)$$

Многие бросаются раскрывать скобки, получая кубическое уравнение, или применяют правило произведения со сложной функцией. Оба пути верны, но есть нюанс.

Если применить правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $u = (x-2)^2 \Rightarrow u' = 2(x-2) \cdot 1$ $v = x+5 \Rightarrow v' = 1$

$$y' = 2(x-2)(x+5) + (x-2)^2 \cdot 1$$

Теперь не раскрывайте скобки сразу! Вынесите общий множитель $(x-2)$ за скобку:

$$y' = (x-2) \cdot [2(x+5) + (x-2)] = (x-2)(2x + 10 + x - 2) = (x-2)(3x + 8)$$

В таком разложенном на множители виде гораздо проще искать нули производной, что нам и потребуется для нахождения точек экстремума.

Заключение

Мы разобрали техническую часть — как находить производные. Это фундамент. В следующей статье мы применим эти навыки для решения конкретных задач: будем искать точки максимума и минимума, исследовать функцию на монотонность и находить её наибольшие и наименьшие значения на отрезке.

Задание 12. Физический и геометрический смысл производной, исследование точек экстремума

В предыдущей статье мы вооружились мощным инструментом — таблицей производных и правилами дифференцирования. Мы научились вычислять производные для любых, даже самых сложных функций. Но уметь считать — это полдела. Главный вопрос: зачем мы это делаем?

В задании №12 профильного ЕГЭ от вас требуется исследовать функцию: найти её точки максимума или минимума, либо определить наибольшее или наименьшее значение на отрезке. Чтобы делать это осознанно, а не механически, нужно понимать физический и геометрический смысл производной.

Геометрический смысл производной

Представьте график любой плавной кривой. Если мы возьмем точку на этом графике и проведем через неё касательную (прямую, которая лишь касается графика в этой точке, но не пересекает его резко), то производная расскажет нам о наклоне этой касательной.

Ключевая формула

Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

$$f'(x_0) = k = \tan \alpha$$

Где:

• $f'(x_0)$ — значение производной в конкретной точке $x_0$;
• $k$ — угловой коэффициент касательной (из уравнения прямой $y = kx + b$);
• $\tan \alpha$ — тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси $Ox$;
• $\alpha$ — сам угол наклона.

Что это значит на практике?

1. Если $f'(x) > 0$: Касательная смотрит вверх (угол острый). Это значит, что сама функция в этой точке возрастает.
2. Если $f'(x) < 0$: Касательная смотрит вниз (угол тупой). Это значит, что функция убывает.
3. Если $f'(x) = 0$: Касательная горизонтальна (параллельна оси $Ox$). Это значит, что функция находится в состоянии покоя — на вершине «горы» или на дне «ямы». Это и есть точки экстремума.

Физический смысл производной

Хотя в 12-м задании физика встречается редко (чаще в задании 7), понимание этого аспекта помогает лучше чувствовать суть процесса.

Если $x(t)$ — это закон движения (координата тела в зависимости от времени), то производная показывает, как быстро меняется эта координата.

$$v(t) = x'(t)$$

Где:

• $v(t)$ — мгновенная скорость тела в момент времени $t$;
• $x'(t)$ — производная от функции пути/координаты.

Если взять производную еще раз, мы узнаем, как быстро меняется скорость:

$$a(t) = v'(t) = x''(t)$$

Где:

• $a(t)$ — ускорение тела;
• $v'(t)$ — производная от скорости;
• $x''(t)$ — вторая производная от координаты.

Вывод: Производная — это скорость изменения функции. Если производная большая и положительная — функция стремительно растет. Если равна нулю — функция замерла.

Исследование функции с помощью производной

Теперь перейдем непосредственно к алгоритмам решения задания №12. Все задачи этого типа делятся на две большие группы:

1. Нахождение точек экстремума (точек максимума или минимума).
2. Нахождение наибольшего/наименьшего значения функции на отрезке.

Разберем их по порядку.

Часть 1. Точки экстремума

Точка экстремума — это значение аргумента ($x$), при котором функция меняет характер монотонности (перестает расти и начинает падать, или наоборот).

• Точка максимума ($x_{max}$): «Вершина горы». Функция росла, достигла пика и начала убывать.
• Точка минимума ($x_{min}$): «Дно впадины». Функция убывала, достигла дна и начала расти.

Необходимое условие экстремума: В точках экстремума производная равна нулю или не существует.

$$f'(x) = 0$$

Где:

• $f'(x)$ — производная функции;
• $0$ — условие горизонтальности касательной.

Такие точки называют стационарными или критическими.

Достаточное условие экстремума (Правило смены знаков): Чтобы понять, нашли мы максимум, минимум или просто точку перегиба, нужно посмотреть на знаки производной слева и справа от найденной точки.

1. Максимум: Знак меняется с «+» на «-». (Функция шла вверх, потом вниз).
2. Минимум: Знак меняется с «-» на «+». (Функция шла вниз, потом вверх).

Алгоритм поиска точек экстремума

Пусть дана функция $y = f(x)$. Нужно найти точку максимума/минимума.

1. Найдите область определения функции. (Особенно важно для логарифмов $\ln x$, где $x>0$, и дробей).
2. Найдите производную $f'(x)$.
3. Приравняйте производную к нулю: $f'(x) = 0$. Решите полученное уравнение и найдите корни.
4. Нарисуйте числовую ось и отметьте на ней найденные корни (и точки разрыва, если они есть).
5. Определите знаки производной на каждом интервале. Для этого подставьте любое число из интервала в формулу производной (не функции!).
6. Расставьте стрелки: где «+» — стрелка вверх $\nearrow$, где «-» — стрелка вниз $\searrow$.
7. Сделайте вывод: выберите нужную точку ($x$) в соответствии с вопросом задачи.

Пример: Найти точку минимума функции $y = x^3 - 3x^2 + 2$.

1. $D(y) = R$ (все числа).
2. $y' = 3x^2 - 6x$.
3. $3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) = 0$. Корни: $x = 0$ и $x = 2$.
4. Рисуем ось, отмечаем 0 и 2.
5. Знаки $y'$: Берем $x=3$ (правее 2): $3\cdot 9 - 18 > 0$ («+»). Берем $x=1$ (между 0 и 2): $3 - 6 < 0$ («-»). Берем $x=-1$ (левее 0): $3 + 6 > 0$ («+»). Получили знаки: $(+) \dots 0 \dots (-) \dots 2 \dots (+)$.
6. Поведение: Возрастает $\to$ Убывает $\to$ Возрастает.
7. В точке $x=2$ функция переходит от убывания к возрастанию (яма). Значит, $x_{min} = 2$.

Часть 2. Наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Здесь вопрос звучит иначе: «Найдите наибольшее значение функции на отрезке $[a; b]$». Это значит, нужно найти $y$, а не $x$.

Наибольшее значение может достигаться либо в точке экстремума (на вершине горы внутри отрезка), либо на одном из концов отрезка (если гора продолжается за пределами нашего участка).

Алгоритм поиска значения на отрезке

1. Найдите производную $f'(x)$.
2. Найдите корни уравнения $f'(x) = 0$.
3. Отберите корни, которые принадлежат заданному отрезку $[a; b]$. Корни, не попавшие в отрезок, вычеркиваем — они нас не интересуют.
4. Вычислите значение исходной функции $y = f(x)$ в отобранных точках и на концах отрезка ($a$ и $b$).
   • Подставляем $x$ в первоначальную формулу (не в производную!).
5. Сравните полученные числа и выберите самое большое (или маленькое).

Пример: Найти наибольшее значение функции $y = x^3 - 3x^2 + 2$ на отрезке $[1; 3]$.

1. $y' = 3x^2 - 6x$.
2. Корни: $x=0, x=2$.
3. Отрезок $[1; 3]$.
   • $x=0$ — не входит в отрезок (вычеркиваем).
   • $x=2$ — входит в отрезок (оставляем).
4. Нужно вычислить значение функции в точках: 1 (левый край), 2 (экстремум), 3 (правый край).
   • $y(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.
   • $y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$.
   • $y(3) = 3^3 - 3(3)^2 + 2 = 27 - 27 + 2 = 2$.
5. Сравниваем результаты: $0, -2, 2$. Самое большое число — 2. Ответ: 2.

Важные нюансы и ловушки

1. Точка vs Значение

Внимательно читайте вопрос!

• Если просят найти точку максимума/минимума — в ответ пишем $x$.
• Если просят найти значение (наибольшее/наименьшее) — в ответ пишем $y$.

2. ОДЗ логарифма

Если в задаче есть $\ln(x)$, помните, что $x$ должен быть строго больше 0. Это часто отсекает один из корней квадратного уравнения производной.

3. Лайфхак для задания 12 (только для первой части ЕГЭ)

Если вас просят найти значение функции (y) и в формуле есть «некрасивые» части, например $e^{2x-4}$ или $\ln(x-3)$, то ответ в бланк ЕГЭ может быть записан только в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Число $e$ или $\ln$ в бланк не впишешь.

Значит, степень у $e$ должна стать равна 0 (так как $e^0 = 1$), или выражение под логарифмом должно стать равно 1 (так как $\ln 1 = 0$). Подберите такой $x$, чтобы это произошло, и проверьте, лежит ли он в отрезке. В 95% случаев это и есть нужная точка экстремума.

Но будьте осторожны: этот метод не работает, если просят найти точку экстремума ($x$), а не значение ($y$).

Заключение

Мы разобрали физический и геометрический смысл производной, а также два основных алгоритма для задания №12. Теперь вы понимаете, что поиск производной — это поиск моментов, когда функция «разворачивается». В следующей части курса мы закрепим эти знания на разборе сложных прототипов реального ЕГЭ.

Задание 12. Алгоритмы нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

Мы продолжаем наш курс по подготовке к профильному ЕГЭ. В прошлой статье мы разобрали физический и геометрический смысл производной, а также научились находить точки экстремума — те самые $x$, где функция разворачивается.

Сегодня мы переходим ко второму типу задач в номере 12: нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке. Это задание требует не только умения брать производную, но и понимания того, как ведет себя функция на ограниченном участке.

В чем разница между точкой максимума и наибольшим значением?

Это самый частый вопрос и самая частая ошибка на экзамене. Давайте раз и навсегда разберемся с терминологией.

• Точка максимума ($x_{max}$) — это значение аргумента (координата по оси $Ox$), в которой функция достигает локальной вершины. Это «адрес» вершины.
• Наибольшее значение ($y_{max}$) — это сама высота этой вершины (координата по оси $Oy$). Или же высота самой высокой точки графика на конкретном участке.

Представьте, что график функции — это профиль горного хребта, а отрезок $[a; b]$ — это границы карты, которую вам выдали. Самая высокая точка на вашей карте может оказаться:

1. На вершине горы (в точке экстремума).
2. На краю карты (на границе отрезка), если гора продолжает расти за пределами вашего участка.

Именно поэтому алгоритм решения здесь отличается от простого поиска экстремумов.

Универсальный алгоритм решения

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$, следуйте этому плану:

1. Найдите производную функции $f'(x)$.
2. Найдите нули производной. Решите уравнение $f'(x) = 0$. Найденные корни — это кандидаты на звание экстремумов.
3. Отбор корней. Из всех найденных корней выберите только те, которые принадлежат отрезку $[a; b]$. Корни, которые оказались за бортом, мы безжалостно отбрасываем — они не влияют на ситуацию внутри нашей «карты».
4. Вычисление значений. Теперь самое главное. Вам нужно вычислить значение исходной функции $y = f(x)$ (не производной!) в следующих точках:
   • В отобранных корнях (которые попали в отрезок).
   • В точках $a$ и $b$ (концах отрезка).
5. Сравнение. Из полученных чисел выберите самое большое (если ищете наибольшее значение) или самое маленькое (если ищете наименьшее).

Пример №1: Полиномиальная функция

Найдите наибольшее значение функции $y = x^3 - 3x + 4$ на отрезке $[0; 2]$.

Шаг 1. Производная.

$$y' = (x^3 - 3x + 4)' = 3x^2 - 3$$

Где:

• $y'$ — производная функции;
• $3x^2$ — производная от $x^3$;
• $-3$ — производная от $-3x$.

Шаг 2. Нули производной. Приравниваем к нулю:

$$3x^2 - 3 = 0$$

$$3(x^2 - 1) = 0$$

$$x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1$$

Где:

• $x_1, x_2$ — критические точки.

Шаг 3. Отбор корней. Наш отрезок: $[0; 2]$.

• $x_1 = 1$ — принадлежит отрезку $[0; 2]$. Берем.
• $x_2 = -1$ — не принадлежит отрезку $[0; 2]$. Вычеркиваем.

Шаг 4. Вычисление значений. Нам нужно проверить точку $x=1$ и границы $x=0, x=2$. Подставляем их в исходную формулу $y = x^3 - 3x + 4$.

$$y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0 + 4 = 4$$

$$y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2$$

$$y(2) = 2^3 - 3 \cdot 2 + 4 = 8 - 6 + 4 = 6$$

Где:

• $y(0), y(1), y(2)$ — значения функции в соответствующих точках.

Шаг 5. Ответ. Получили значения: $4, 2, 6$. Нас просили найти наибольшее. Самое большое число — 6.

Ответ: 6.

Особые случаи: Показательные и логарифмические функции

В заданиях ЕГЭ часто встречаются функции вида $y = (x-3)e^{x-2}$ или $y = 2x - \ln(x+5)$. Здесь работает тот же алгоритм, но есть «лайфхак», основанный на формате экзамена.

Суть метода: В первой части ЕГЭ ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь. Вы не можете записать в бланк число $e$, $\pi$ или $\ln 2$. Это значит, что при подстановке $x$ в функцию все «некрасивые» части должны исчезнуть или превратиться в рациональные числа.

Как исчезает $e$?

Число $e$ в любой степени будет иррациональным, кроме степени 0. Так как $e^0 = 1$. Значит, если у вас есть множитель $e^{f(x)}$, то с вероятностью 99% искомая точка экстремума или граница отрезка превращает степень в 0.

Как исчезает $\ln$?

Натуральный логарифм иррационален почти всегда, кроме $\ln 1 = 0$. Значит, выражение под логарифмом должно быть равно 1.

Пример №2: Использование логики ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции $y = (x - 8)e^{x - 9}$ на отрезке $[8; 10]$.

Способ 1: Честный (через производную)

$$y' = (x-8)' \cdot e^{x-9} + (x-8) \cdot (e^{x-9})'$$

Используем правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

$$y' = 1 \cdot e^{x-9} + (x-8) \cdot e^{x-9}$$

Выносим $e^{x-9}$ за скобку:

$$y' = e^{x-9}(1 + x - 8) = e^{x-9}(x - 7)$$

Приравниваем к нулю: $e^{x-9} = 0$ — корней нет (показательная функция всегда больше 0). $x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7$.

Смотрим на отрезок $[8; 10]$. Корень $x=7$ не попадает в отрезок! Значит, экстремумов внутри нет. Функция монотонна. Нам нужно проверить только границы: $x=8$ и $x=10$.

$$y(8) = (8 - 8)e^{8 - 9} = 0 \cdot e^{-1} = 0$$

$$y(10) = (10 - 8)e^{10 - 9} = 2 \cdot e^1 = 2e$$

Число $2e$ невозможно записать в бланк (это примерно $2 \cdot 2.71 = 5.42...$). А число $0$ — можно. Сравниваем: $0 < 2e$. Наименьшее — 0.

Ответ: 0.

Способ 2: «Лайфхак» (проверка на рациональность) Смотрим на функцию $y = (x - 8)e^{x - 9}$. Чтобы ответ был нормальным числом, $e^{x-9}$ должно либо стать единицей, либо умножиться на ноль.

1. Чтобы степень стала нулем: $x - 9 = 0 \Rightarrow x = 9$. Проверяем $x=9$. Это середина отрезка. $y(9) = (9-8)e^0 = 1 \cdot 1 = 1$.
2. Чтобы множитель перед экспонентой стал нулем: $x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8$. Это край отрезка. $y(8) = 0 \cdot e^{-1} = 0$.

Мы получили кандидатов: 1 и 0. Наименьшее — 0. (В данном примере мы пропустили проверку правого края $x=10$, так как он дает иррациональное число, но для надежности лучше проверять все).

Важно: Лайфхак работает только для поиска значения функции ($y$). Если просят найти точку максимума ($x$), ответ может быть любым (например, $x=7$), и подгонять под «красивый ответ» нельзя.

Монотонные функции

Иногда бывает так, что производная не имеет корней на заданном отрезке (как в примере №2 выше, где корень $x=7$ не попал в $[8; 10]$).

Это означает, что на всем отрезке функция либо только возрастает, либо только убывает.

• Если функция возрастает ($f'(x) > 0$), то наименьшее значение будет в начале отрезка (левый край), а наибольшее — в конце (правый край).
• Если функция убывает ($f'(x) < 0$), то наоборот: максимум слева, минимум справа.

Поэтому, если вы нашли корни производной и ни один из них не подошел — не паникуйте. Просто подставьте границы отрезка $a$ и $b$ в исходную функцию.

Тригонометрия в задании 12

С тригонометрическими функциями алгоритм стандартный. Однако помните про табличные значения.

Пример: $y = 10\sin x - \frac{36}{\pi}x + 7$ на отрезке $[-\frac{5\pi}{6}; 0]$.

Здесь наличие $x$ без синуса (линейная часть) и числа $\pi$ в знаменателе подсказывает, что $x$ должен быть связан с $\pi$, чтобы $\pi$ сократилось. Иначе мы получим иррациональный ответ.

1. $y' = 10\cos x - \frac{36}{\pi}$.
2. $10\cos x = \frac{36}{\pi} \Rightarrow \cos x = \frac{3.6}{\pi}$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $\frac{3.6}{3.14} > 1$. Уравнение $\cos x = \text{число} > 1$ не имеет решений.
3. Производная не равна нулю. Значит, проверяем границы.
   • $x = 0$: $y(0) = 10\sin 0 - 0 + 7 = 7$.
   • $x = -\frac{5\pi}{6}$: подставив это значение, мы получим сокращение $\pi$, но выражение будет сложнее. Обычно в таких задачах, если корней нет, ответ находится в точке 0 или другой «удобной» границе.

Частые ошибки

1. Подстановка в производную. Найдя корни или границы, ученики иногда подставляют их в формулу $y'$, получая 0. Помните: мы ищем значение функции, подставляем в $y$.
2. Забытые границы. Если экстремум найден внутри отрезка, многие радуются и пишут $y(x_{extr})$ в ответ, забывая проверить края. А вдруг на краю функция ушла выше?
3. Арифметика. Ошибки в знаках при вычислении производной сложной функции (например, $(5-x)' = -1$).

Заключение

Мы завершили блок, посвященный производной и исследованию функций. Теперь у вас есть полный набор инструментов:

• Умение читать графики (Задание 11).
• Таблица производных и правила дифференцирования.
• Алгоритмы поиска экстремумов и значений на отрезке (Задание 12).

Эти задания — одни из самых алгоритмизированных в ЕГЭ. Следуйте правилам, проверяйте ОДЗ и не забывайте про границы отрезков, и эти баллы будут вашими.