Подготовка к ОГЭ по математике: геометрия (задания 15-18)

Геометрические задачи ОГЭ №15-18: теория, алгоритмы и памятки для уверенного решения

Четыре геометрических задания в ОГЭ по математике — это 14 первичных баллов из 31 возможных. Почти половина экзамена. И если задачи 1–14 проверяют отдельные факты, то задания 15–18 требуют умения мыслить по цепочке: видеть фигуру, вспоминать нужные свойства, выстраивать рассуждение от условия к ответу. Именно здесь ученики теряют больше всего баллов — не потому что не знают формулы, а потому что путаются в порядке действий или не замечают «подсказок» в чертеже. Этот материал — компактный справочник, который поможет навести порядок в голове перед экзаменом.

---

Задание 15: вычислительная задача на планиметрию

Задание 15 — самое «формульное» из четвёрки. Здесь нужно найти длину отрезка, площадь фигуры, величину угла или периметр. Условие обычно содержит чертёж с размеченными элементами, и задача сводится к тому, чтобы правильно выбрать инструмент и провести вычисления.

Теоретический минимум

Для уверенного решения задания 15 необходимо свободно оперировать следующими понятиями.

Треугольники. Сумма углов треугольника всегда равна 180°. Если известны два угла, третий находится вычитанием. Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника: , где и — катеты, — гипотенуза. Площадь треугольника: , где — сторона, — высота, опущенная на эту сторону. Для прямоугольного треугольника проще: .

Четырёхугольники. Площадь прямоугольника — произведение сторон. Площадь параллелограмма — произведение стороны на высоту, опущенную на неё. Площадь трапеции: , где и — основания, — высота.

Окружность. Длина окружности: , где — радиус. Площадь круга: . Длина дуги пропорциональна центральному углу: если угол (в градусах), то длина дуги равна .

Подобные треугольники. Если треугольники подобны с коэффициентом , то отношение соответствующих сторон равно , отношение площадей — . Это свойство часто «прячется» в задачах с параллельными прямыми внутри треугольника.

Пошаговый алгоритм

Внимательно прочитай условие и рассмотри чертёж. Обведи все данные величины: длины, углы, высоты. Отметь, какие элементы нужно найти.

Определи, к какому типу относится фигура. Прямоугольный треугольник? Равнобедренный? Параллелограмм? От этого зависит набор доступных свойств.

Найди «недостающие звенья». Часто для нахождения искомой величины нужно сначала вычислить промежуточную: неизвестный угол, высоту, длину отрезка.

Выбери формулу и подставь значения. Пиши вычисления пошагово — это помогает избежать арифметических ошибок и даёт частичные баллы при проверке.

Проверь размерность и разумность ответа. Площадь не может быть отрицательной, длина не может быть меньше нуля, угол в треугольнике — острый, тупой или прямой, но не произвольный.

Разобранный пример

Дан параллелограмм . Сторона см, высота, опущенная на сторону , равна 6 см. Найдите площадь параллелограмма.

Решение. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту: см².

Кажется слишком простым? Именно так и работает задание 15 в большинстве случаев — нужно лишь не перепутать формулу. Но бывают варианты посложнее.

Дан прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12. Найдите гипотенузу и площадь.

Решение. По теореме Пифагора: . Площадь: .

Памятка по заданию 15

> Смотри на чертёж — все данные там есть. > Определи тип фигуры — это ключ к выбору формулы. > Не бойся промежуточных вычислений — часто нужно найти «недостающее звено». > Проверяй ответ — он должен быть логичным по смыслу. > Типичная ловушка: путают высоту и сторону, используют формулу площади треугольника вместо параллелограмма.

---

Задание 16: задача на доказательство

Задание 16 проверяет умение рассуждать. Здесь нужно доказать утверждение: равенство отрезков, равенство углов, параллельность прямых, принадлежность точки окружности. Баллы начисляются не за ответ, а за логичность и полноту доказательства.

Теоретический минимум

Признаки равенства треугольников. Треугольники равны, если равны: две стороны и угол между ними (по стороне и двум прилежащим углам — 2-й признак); три стороны (3-й признак); два угла и сторона между ними (1-й признак). Именно признаки равенства — главный инструмент для доказательства равенства отрезков и углов: если отрезки являются соответствующими элементами равных треугольников, они равны.

Свойства параллелограмма. Противоположные стороны равны и параллельны. Диагонали точкой пересечения делятся пополам. Если четырёхугольник — параллелограмм, то достаточно доказать, что одна пара противоположных сторон равна и параллельна.

Свойства равнобедренного треугольника. Углы при основании равны. Медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой.

Свойства окружности. Радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Пошаговый алгоритм

Перечитай, что именно нужно доказать. Сформулируй это своими словами: «Нужно показать, что » или «Нужно доказать, что ».

Рассмотри чертёж и выдели ключевые фигуры. Найди треугольники, которые могут быть равны или подобны. Обрати внимание на общие стороны, вертикальные углы, параллельные прямые (они дают равные накрест лежащие углы).

Составь план доказательства. Обычно он выглядит так: «Докажем, что треугольник равен треугольнику по второму признаку. Тогда как соответственные стороны».

Запиши доказательство по шагам. Каждый шаг — отдельное предложение с обоснованием. Формат: «Утверждение, потому что (свойство/теорема)».

Сделай вывод. Чётко сформулируй: «Таким образом, , что и требовалось доказать».

Разобранный пример

В треугольнике точка — середина стороны , точка — середина стороны . Докажите, что .

Решение.

Рассмотрим треугольники и .

1) (по условию, — середина ). 2) (по условию, — середина ). 3) Угол — общий для обоих треугольников.

Из пунктов 1 и 2 следует: .

По признаку подобия (две стороны пропорциональны и угол между ними равен) треугольники и подобны с коэффициентом .

При подобии соответственные углы равны, значит . Эти углы — накрест лежащие при прямых и и секущей . По признаку параллельности прямых: . Что и требовалось доказать.

Памятка по заданию 16

> Чётко сформулируй цель доказательства перед тем, как начать. > Ищи равные треугольники — это универсальный инструмент. > Каждое утверждение обосновывай — «потому что» обязательно. > Не пропускай очевидные вещи — общий угол, общая сторона тоже записываются. > Типичная ловушка: доказывают равенство треугольников, но забывают указать, по какому признаку — за это снимают баллы.

---

Задание 17: вычисление с доказательством

Задание 17 — гибрид первых двух. Обычно оно состоит из двух пунктов: сначала нужно что-то доказать, а затем на основе доказанного — вычислить. Это задание требует собранности: ошибка в доказательстве ведёт к неверному ответу в вычислении.

Теоретический минимум

Задание 17 опирается на те же теоремы, что и задания 15–16, но часто включает дополнительные элементы.

Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника. Сумма углов выпуклого -угольника равна . Для четырёхугольника — 360°, для пятиугольника — 540°.

Свойства трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме оснований: , где и — длины оснований.

Теорема косинусов. , где — угол между сторонами и . Применяется, когда теорема Пифагора не подходит (нет прямого угла).

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними. .

Пошаговый алгоритм

Раздели задачу на два этапа: что доказываем и что вычисляем.

Выполни доказательство по алгоритму задания 16. Результат доказательства — это новые равенства или свойства, которые станут данными для вычисления.

Перенеси результаты доказательства в вычислительную часть. Обозначь новые данные на чертеже или в условии.

Выполни вычисление по алгоритму задания 15.

Проверь связь между частями. Логика должна быть непрерывной: доказательство → новые данные → вычисление → ответ.

Разобранный пример

В ромбе диагональ см, диагональ см. Докажите, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом, и найдите сторону ромба.

Решение.

Часть 1. Доказательство.

Диагонали параллелограмма (а ромб — это параллелограмм) точкой пересечения делятся пополам. Пусть — точка пересечения диагоналей. Тогда см и см.

Рассмотрим треугольник . Стороны: , . Найдём — сторону ромба — и проверим, выполняется ли теорема Пифагора.

Но сначала докажем перпендикулярность. В ромбе диагонали перпендикулярны — это свойство ромба (следствие из равенства всех сторон). Формально: треугольники , , , равны по трём сторонам (все стороны ромба равны, а , ). Значит, . Но (смежные углы). Следовательно, .

Часть 2. Вычисление.

Теперь в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 3 находим сторону:

см.

Сторона ромба равна 5 см.

Памятка по заданию 17

> Разделяй задачу на две логические части — не смешивай доказательство и вычисление. > Результат доказательства — новые данные для второй части. > Пиши подробно — частичные баллы дают за каждую логически завершённую часть. > Типичная ловушка: начинают вычислять, не доказав нужное свойство. Ответ может получиться правильным, но без доказательства — потеря баллов за первую часть.

---

Задание 18: задача повышенной сложности

Задание 18 — самое сложное в геометрическом блоке ОГЭ. Здесь встречаются задачи на вписанные и описанные окружности, сложные конфигурации из нескольких фигур, задачи на движение или построение. Часто нужно применить несколько теорем последовательно.

Теоретический минимум

Вписанная и описанная окружности треугольника. Радиус вписанной окружности: , где — площадь, — полупериметр. Радиус описанной окружности: , где , , — стороны треугольника.

Теорема Пифагора в расширенном применении. Не только для нахождения стороны, но и для доказательства перпендикулярности: если , то угол — прямой.

Свойства вписанного четырёхугольника. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине.

Площадь через координаты (если дана координатная плоскость). Формула площади треугольника по координатам вершин: .

Пошаговый алгоритм

Прочитай условие дважды. Задание 18 часто содержит много данных и неочевидную связь между ними.

Выдели ключевую фигуру. Обычно в центре задачи — один треугольник или четырёхугольник, к которому «пристроены» дополнительные элементы.

Определи, какие теоремы нужно применить и в каком порядке. Запиши план: «Сначала найду площадь, затем радиус вписанной окружности».

Работай поэтапно. Не пытайся решить всё в одно действие. Каждый этап — отдельное вычисление или доказательство.

Если застрял — ищи вспомогательные построения. Проведи высоту, медиану, дополнительную прямую. Часто именно вспомогательный элемент открывает путь к решению.

Разобранный пример

В треугольнике со сторонами , , найдите радиус вписанной окружности.

Решение.

Шаг 1. Найдём полупериметр: .

Шаг 2. Найдём площадь по формуле Герона: .

Вычислим подкоренное выражение: , , .

.

Шаг 3. Радиус вписанной окружности: .

Ответ: радиус вписанной окружности равен 4.

Памятка по заданию 18

> Не пугайся объёма условия — разбей на маленькие шаги. > Формула Герона — твой главный союзник для нахождения площади по трём сторонам. > Вспомогательные построения часто решают задачу — не бойся проводить дополнительные линии. > Если не можешь решить полностью — запиши всё, что удалось найти. За частичные решения дают баллы. > Типичная ловушка: забывают, что — это полупериметр, а не периметр. Всегда проверяй: .

---

Общие рекомендации по геометрическому блоку ОГЭ

Работа с заданиями 15–18 требует не столько зубрёжки формул, сколько умения видеть структуру задачи. Вот несколько принципов, которые помогут на экзамене.

Чертёж — твой главный источник информации. Перерисуй его, даже если он дан в условии. Подпиши все данные, обозначь неизвестные. Когда глаза видят структуру, мозг находит решение быстрее.

Пиши рассуждения, даже если кажется очевидным. Экзаменатор проверяет не только ответ, но и ход мысли. Каждое «следовательно» должно быть обосновано. Фраза «очевидно, что...» без пояснения — это потеря баллов.

Не зацикливайся на одной задаче. Если задание 18 не поддаётся — вернись к нему после остальных. Лучше получить полные баллы за 15–17 и частичные за 18, чем потратить 30 минут на одну задачу и не успеть остальные.

Проверяй размерности и логику ответа. Площадь измеряется в квадратных единицах, длина — в линейных, углы — в градусах. Если ответ «5 см» на вопрос о площади — где-то ошибка.

Геометрия в ОГЭ — это не про талант, а про систему. Знай формулы, следуй алгоритмам, записывай рассуждения — и баллы придут.