1. Формулы суммы и разности аргументов
Формулы суммы и разности аргументов: полный разбор с примерами ЕГЭ
Четыре формулы, которые нужно знать наизусть
Формулы суммы и разности аргументов — это тождества, позволяющие раскрыть синус, косинус или тангенс от суммы (или разности) двух углов через функции каждого угла по отдельности. Без них невозможно решить большинство задач на тригонометрические преобразования в ЕГЭ.
Запишем все четыре формулы:
Обратите внимание на знаки: у синуса знак между слагаемыми совпадает со знаком в аргументе, а у косинуса — противоположный. Это самая частая ошибка на экзамене.
> Запоминалка: «Синус — дружит со знаком, косинус — враждует». Если в аргументе плюс, в формуле синуса тоже плюс, а в формуле косинуса — минус.
Для тангенса формулы выводятся из синуса и косинуса:
Здесь и — тангенсы каждого из углов. Знаменатель меняет знак вместе с аргументом: при сложении стоит минус, при вычитании — плюс.
---
Как применять формулы: пошаговый алгоритм
Большинство задач ЕГЭ на эту тему решаются по одному и тому же шаблону.
Разберём каждый шаг на конкретных примерах.
---
Вычисление точных значений: разбор примеров
Пример 1. Вычислить
Шаг 1. Представим — оба угла табличные.
Шаг 2. Применяем формулу синуса суммы:
Шаг 3. Подставляем табличные значения:
Это точное значение, которое встречается в заданиях ЕГЭ.
---
Пример 2. Вычислить
Представим . Применяем формулу косинуса разности:
Обратите внимание: в формуле косинуса разности стоит плюс (знак противоположен знаку в аргументе).
Результат совпал с — и это не случайность: , потому что эти углы дополняют друг друга до .
---
Пример 3. Вычислить
Представим . Применяем формулу тангенса суммы:
Рационализируем дробь — умножим числитель и знаменатель на :
Ответ: .
---
Упрощение выражений: типовые задачи ЕГЭ
На экзамене формулы суммы/разности чаще используются не для вычисления конкретных значений, а для упрощения выражений — приведения их к более простому виду.
Пример 4. Упростить
Применяем формулу синуса суммы:
Это одна из формул приведения, которую можно вывести прямо из формулы суммы — не нужно заучивать отдельно.
---
Пример 5. Упростить
Снова получаем формулу приведения. Это показывает, что все формулы приведения — частные случаи формул суммы и разности. Если вы понимаете механизм, не нужно зубрить десятки формул приведения отдельно (gdzotvet.ru).
---
Пример 6. Упростить
Раскроем каждое слагаемое по формулам:
Складываем:
Это не просто упражнение — именно так выводится формула произведения в сумму, которую мы разберём в следующей статье курса.
---
Задачи с заданными значениями функций
Отдельный тип задач ЕГЭ: даны и (или другие значения), нужно найти или .
Пример 7 (типовая задача ЕГЭ)
Условие: , ; , . Найти .
Решение:
Шаг 1. Находим недостающие значения через основное тригонометрическое тождество .
Для : (знак плюс, так как в I четверти).
Для : (знак плюс, так как во II четверти, где синус положителен).
Шаг 2. Подставляем в формулу:
Ответ: .
!Алгоритм решения задачи на формулы суммы аргументов
---
Типичные ошибки и как их избежать
| Ошибка | Как выглядит | Правильно | |---|---|---| | Перепутан знак в косинусе | | Должен быть минус между слагаемыми | | Синус суммы «по аналогии» с косинусом | | Нет: | | Неверная четверть при нахождении | Взяли , не проверив четверть | Всегда смотри, в какой четверти лежит угол | | Формула тангенса с неверным знаменателем | | Знаменатель: |
---
Нестандартные применения: когда формула «спрятана»
Иногда в задаче нет явной суммы углов — её нужно увидеть самому.
Пример 8. Доказать тождество
Раскрываем числитель по формуле синуса суммы:
Тождество доказано. Этот приём — разбиение дроби на сумму — часто встречается в заданиях повышенной сложности.
---
Пример 9. Задача с «замаскированной» суммой
Упростить:
Структура точь-в-точь совпадает с формулой , где , :
Ключевой навык — узнавать формулу «в обратную сторону»: не раскрывать сумму, а сворачивать произведения обратно в функцию от суммы/разности. На ЕГЭ это встречается в каждом третьем задании на тригонометрию (repetitor.1c.ru).
---