ЕГЭ по математике 2026: уверенное решение первой части

Умение быстро и безошибочно выполнять алгебраические преобразования — это фундамент, на котором строится успех на ЕГЭ по математике. В первой части экзамена задания на вычисления и преобразования выражений (обычно это задание №4 или №5 в зависимости от года) проверяют вашу способность работать со степенями, корнями, логарифмами и тригонометрией.

Многие выпускники теряют баллы не потому, что не знают формул, а потому, что заучивают их механически. В стрессовой ситуации память может подвести, и тогда на помощь приходит понимание того, откуда взялась формула. Разберём ключевые концепции, частые ловушки и стратегии проверки.

Степени и корни: анатомия вычислений

Степень показывает, сколько раз число умножается само на себя. Из этого простого определения логически вытекают все свойства степеней. Вам не нужно зубрить их, достаточно один раз понять принцип.

Возьмём базовое свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями:

Почему мы складываем показатели, а не умножаем их? Представьте это на конкретном примере: . Первое число — это двойка, умноженная сама на себя три раза (). Второе — два раза (). Если мы перемножим их, то получим цепочку из пяти двоек: . Показатели складываются, потому что мы просто подсчитываем общее количество множителей.

Аналогично работает возведение степени в степень:

Пример: означает, что мы берём дважды: . Здесь показатели умножаются.

Дробные показатели и корни

Корень -ной степени из числа — это операция, обратная возведению в степень. В алгебре корни удобно записывать в виде дробных показателей:

Зачем это нужно знать? Работать с дробями в показателе степени часто гораздо удобнее, чем с многоэтажными корнями.

> Лайфхак: При решении задач с корнями и степенями всегда старайтесь привести все числа к наименьшему общему основанию.

Пример из реального экзамена: Вычислите значение выражения: .

Типичные ошибки в степенях

| Ошибка | Как неправильно | Как правильно | Почему так | | :--- | :--- | :--- | :--- | | Сложение оснований | | | Свойства степеней работают только для умножения и деления. | | Игнорирование минуса | | | Степень относится только к числу, а не к знаку минус. Чтобы минус возвёлся в квадрат, нужны скобки: . | | Умножение оснований | | | Выносим общий показатель за скобки: . |

Формулы сокращённого умножения (ФСУ)

Формулы сокращённого умножения — это математический эквивалент горячих клавиш на клавиатуре. Они позволяют пропускать рутинные этапы раскрытия скобок.

Самая коварная формула — квадрат суммы:

Главная ошибка выпускников: написать . Это происходит из-за ложной аналогии с умножением (ведь ).

Чтобы навсегда избавиться от этой ошибки, представьте геометрический смысл. Площадь квадрата со стороной не равна просто сумме площадей двух маленьких квадратов и . В ней остаются две пустые прямоугольные области со сторонами и . Их общая площадь и есть тот самый «фантомный» элемент .

!Инфографика: три кита алгебраических преобразований

Вторая важнейшая формула — разность квадратов:

Она невероятно полезна для быстрых устных вычислений. Пример: Вычислите . Считать в столбик долго и есть риск ошибиться. Применяем формулу: . Решение занимает 10 секунд.

Логарифмы: снимаем завесу тайны

Логарифм часто пугает школьников своим непривычным видом, но по сути это просто вопрос, записанный математическими символами.

Выражение читается так: «В какую степень () нужно возвести основание (), чтобы получить аргумент ()?» Например, , потому что .

Правило «Стремянки» (вынос степени)

Одно из самых мощных свойств логарифма позволяет выносить степени из аргумента и основания перед знаком логарифма:

Представьте, что степени — это люди на стремянке. Степень аргумента () стоит на верхней ступеньке, поэтому она спрыгивает в числитель дроби. Степень основания () стоит на нижней ступеньке, поэтому она уходит в знаменатель.

Пример: Вычислите .

Опасная ловушка логарифмов

Никогда не разбивайте логарифм суммы на сумму логарифмов! — такого свойства в математике не существует. Сумма логарифмов получается только при логарифмировании произведения: .

Тригонометрические вычисления: основное тождество

В первой части ЕГЭ тригонометрия чаще всего сводится к использованию основного тригонометрического тождества:

Эта формула — не что иное, как теорема Пифагора (), записанная для прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 1 (радиус тригонометрической окружности).

Типичная ошибка: При поиске косинуса через синус выпускники забывают про знак. Из тождества следует, что .

Знак плюс или минус зависит от четверти, в которой находится угол . Если в условии сказано, что (вторая четверть), то косинус там отрицательный, и мы обязаны выбрать знак минус.

Стратегия самопроверки: Метод подстановки

Как убедиться, что вы правильно упростили алгебраическое выражение с переменными на экзамене? Используйте метод подстановки.

Допустим, вам нужно было упростить выражение . Вы выполнили преобразования и получили ответ . Чтобы проверить себя, возьмите любое простое число, которое не обращает знаменатель в ноль (например, ).

Результаты совпали! Значит, с вероятностью 99% вы выполнили алгебраические преобразования абсолютно верно. Этот простой лайфхак занимает полминуты, но спасает драгоценные баллы на реальном ЕГЭ.

В прошлой статье мы разобрали алгебраические преобразования — фундамент математики. Мы научились жонглировать степенями, укрощать логарифмы и сворачивать длинные выражения с помощью формул сокращённого умножения. Теперь пришло время применить эти навыки на практике. Преобразования ради преобразований не имеют смысла; их главная цель — помочь нам найти неизвестное.

Уравнения и неравенства первой части ЕГЭ (задания №1 и №6) — это проверка вашей внимательности и понимания базовых законов логики. Экзаменаторы обожают расставлять ловушки: прятать посторонние корни, провоцировать деление на ноль или потерю знака. Разберём, как работает анатомия уравнений и неравенств, чтобы вы решали их не только быстро, но и абсолютно безошибочно.

Базовый принцип: Уравнение как чашечные весы

Любое уравнение — это чашечные весы, находящиеся в идеальном равновесии. Знак равенства означает, что левая и правая части весят одинаково. Из этого вытекает главное правило: вы можете делать с уравнением что угодно, если применяете это действие к обеим частям одновременно.

Прибавили 5 слева? Прибавьте 5 справа. Возвели левую часть в квадрат? Возведите в квадрат правую. Однако именно в этих действиях кроются главные опасности, которые стоят выпускникам баллов.

!Алгоритм выбора метода решения уравнения

Квадратные уравнения: Дискриминант против теоремы Виета

Квадратное уравнение вида — частый гость на экзамене. Большинство школьников решает его через дискриминант:

Это надёжный, как швейцарские часы, метод. Но он медленный. На ЕГЭ время — ваш самый ценный ресурс. Если коэффициент (такие уравнения называются приведёнными), гораздо эффективнее использовать теорему Виета.

Согласно теореме Виета, сумма корней равна коэффициенту с противоположным знаком, а произведение — свободному члену :

Пример: Решите уравнение . Вместо того чтобы считать , задайте себе вопрос: какие два числа при умножении дают 10, а при сложении дают 7? Очевидно, что это 2 и 5. Решение занимает ровно три секунды.

Ловушка «Деление на икс»

Рассмотрим уравнение: . Рука так и тянется разделить обе части на , чтобы получить . Это одна из самых фатальных ошибок на экзамене!

> Никогда не делите уравнение на выражение, содержащее неизвестную, если вы не уверены на 100%, что оно не равно нулю. Деля на , вы навсегда теряете корень .

Как правильно: Перенесите всё в одну сторону и вынесите общий множитель за скобки.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда два корня: и .

Иррациональные уравнения: Откуда берутся призраки?

Иррациональные уравнения — это те, где неизвестная находится под знаком корня. Стандартный метод решения — возведение обеих частей в квадрат, чтобы избавиться от радикала.

Рассмотрим пример: . Возводим в квадрат:

По теореме Виета находим корни: , .

Если вы запишете в ответ оба числа, вы получите ноль баллов за задание. Почему? Потому что корень — это посторонний корень (корень-призрак).

Давайте подставим в исходное уравнение:

— это ложь! Арифметический квадратный корень не может быть равен отрицательному числу.

Почему появился призрак? Возведение в квадрат — это операция, которая «убивает» минусы. Уравнения и после возведения в квадрат выглядят одинаково: .

| Стратегия | Плюсы | Минусы | | :--- | :--- | :--- | | Поиск ОДЗ | Математически строго. Выписываем условия: подкоренное выражение , правая часть . | Долго. Можно ошибиться при решении самих неравенств ОДЗ. | | Метод подстановки | Максимально быстро. Решаем уравнение, а найденные корни просто подставляем в исходное условие. | Работает только если корней немного и они легко вычисляются. |

Для первой части ЕГЭ метод подстановки (проверки) — абсолютный чемпион. Нашли корни? Потратьте 10 секунд, подставьте их в начальное уравнение. Это спасёт вас от потери баллов.

Показательные и логарифмические уравнения

Как мы помним из прошлой статьи, степени и логарифмы тесно связаны. Главная стратегия здесь — привести обе части уравнения к одинаковому основанию.

Показательное уравнение: .

Логарифмическое уравнение: . Здесь нужно вспомнить само определение логарифма: основание (3) в степени результата (2) даёт аргумент ().

.

Важно: У логарифмов есть жёсткая Область Допустимых Значений (ОДЗ). Аргумент логарифма всегда должен быть строго больше нуля (). В простых уравнениях первой части проверка корня подстановкой снова является самым быстрым способом убедиться, что ОДЗ не нарушено.

Неравенства и Метод интервалов

Неравенства отличаются от уравнений тем, что ответом является не конкретное число, а целый диапазон (интервал) значений.

Главное правило, о которое спотыкаются тысячи школьников: > При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства переворачивается на противоположный.

Например, если , то при делении на мы получаем .

Для решения сложных неравенств (дробно-рациональных или квадратных) используется Метод интервалов. Его суть гениально проста: непрерывная функция может поменять свой знак (с плюса на минус или наоборот) только в тех точках, где она пересекает ось (равна нулю) или где она не существует (разрыв графика, например, деление на ноль).

!Интерактивный метод интервалов

Алгоритм метода интервалов:

Пример:

Внимательность к деталям — выколотым точкам, знакам при делении и проверке корней — это то, что отличает уверенного стобалльника от того, кто теряет баллы на обидных мелочах. Всегда подставляйте найденные ответы в исходное уравнение, и первая часть ЕГЭ станет для вас лёгкой разминкой.

В прошлых статьях мы заложили мощный алгебраический фундамент: научились безошибочно выполнять преобразования и распутывать узлы уравнений и неравенств. Мы выяснили, что математика — это не набор случайных правил, а строгая логическая система. Теперь пришло время перенести эту логику из мира абстрактных чисел в мир форм и пространств.

Геометрия первой части ЕГЭ (задания по планиметрии и стереометрии) часто пугает выпускников обилием формул. Кажется, что нужно вызубрить сотни свойств треугольников, площадей и объёмов. На самом деле, вся школьная геометрия держится на нескольких базовых принципах. Если вы поймёте, как они работают, вам больше не придётся ничего заучивать.

Планиметрия: Искусство видеть треугольники

Любую сложную плоскую фигуру — трапецию, параллелограмм, правильный многоугольник — можно разрезать на треугольники. Именно поэтому треугольник является главной фигурой планиметрии. Поняв его, вы поймёте всё остальное.

Прямоугольный треугольник и Пифагоровы тройки

Царь всех треугольников на экзамене — прямоугольный. Его главное свойство описывается знаменитой теоремой Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Где — гипотенуза (самая длинная сторона, лежащая напротив прямого угла), а и — катеты.

Однако на ЕГЭ время ограничено. Возводить в квадрат двузначные числа и извлекать корни — долго и чревато арифметическими ошибками. Здесь на помощь приходит мощнейший лайфхак — Пифагоровы тройки.

Это наборы целых чисел, которые идеально подходят под теорему Пифагора. Самая известная тройка: 3, 4, 5 ().

> Если вы видите прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, гипотенуза гарантированно равна 5. Но магия в том, что это правило работает и для любых пропорциональных чисел!

Умножим тройку (3, 4, 5) на 2: получим (6, 8, 10). Умножим на 10: получим (30, 40, 50).

Пример из экзамена: Дан прямоугольный треугольник. Один катет равен 12, гипотенуза равна 15. Найдите второй катет. Вместо того чтобы считать , мы замечаем, что 12 — это , а 15 — это . Перед нами классическая египетская тройка (3, 4, 5), умноженная на 3. Значит, неизвестный катет равен . Решение занимает две секунды.

Вторая по популярности тройка на ЕГЭ: 5, 12, 13. Запомните их, и вы сэкономите массу времени.

Тригонометрия в геометрии: Синус, косинус, тангенс

В первой части ЕГЭ тригонометрия чаще всего встречается именно в прямоугольном треугольнике. Не нужно пугаться этих слов, это просто отношения сторон.

* Синус () — отношение противолежащего катета к гипотенузе. (Смотрим на угол, берём катет напротив и делим на самую длинную сторону). * Косинус () — отношение прилежащего катета к гипотенузе. (Берём катет, который формирует угол вместе с гипотенузой). * Тангенс () — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Типичная ошибка: Выпускники часто путают, какой катет брать для синуса, а какой для косинуса. Совет: Ассоциируйте приставку «ко-» в слове косинус со словом «касается». Косинус — это катет, который касается угла.

Окружность: Центральные и вписанные углы

Вторая по важности тема планиметрии — окружности. Главная ловушка здесь кроется в разнице между центральным и вписанным углами.

* Центральный угол — его вершина находится точно в центре окружности. Он равен дуге, на которую опирается. * Вписанный угол — его вершина лежит на самой линии окружности. Он равен половине дуги, на которую опирается.

Из этого следует золотое правило: если вписанный и центральный углы опираются на одну и ту же дугу, вписанный угол всегда ровно в два раза меньше центрального.

Стереометрия: Как плоское становится объёмным

Стереометрия — это та же планиметрия, только выдавленная в третье измерение. Задания первой части по стереометрии проверяют ваше умение находить объёмы и площади поверхности базовых фигур.

Все объёмные фигуры на экзамене можно разделить на два больших лагеря: «Прямые» (коробки и трубы) и «Заострённые» (пирамиды и рожки для мороженого).

!Классификация объёмных фигур: прямые (призмы, цилиндры) и заострённые (пирамиды, конусы)

Лагерь 1: Прямые фигуры (Призмы и Цилиндры)

У этих фигур одинаковые нижнее и верхнее основания. Представьте стопку одинаковых монет — это цилиндр. Стопка одинаковых квадратных листов бумаги — это прямоугольный параллелепипед.

Логика объёма здесь элементарна: мы берём площадь одного слоя (основания) и умножаем на количество слоёв (высоту).

Где — объём, — площадь основания, — высота.

Лагерь 2: Заострённые фигуры (Пирамиды и Конусы)

У этих фигур есть широкое основание, которое сужается в одну точку (вершину).

Математически доказано, что если взять цилиндр и конус с одинаковыми основаниями и одинаковой высотой, то вода из конуса поместится в цилиндр ровно три раза.

Отсюда вытекает формула объёма для всех заострённых фигур — она точно такая же, как у прямых, только с коэффициентом :

Типичная ошибка: Забыть эту треть при расчёте объёма пирамиды или конуса. Всегда проверяйте: фигура сужается кверху? Если да, смело делите на 3.

Главная ловушка ЕГЭ: Подобные фигуры

Мы подошли к самой коварной теме, на которой ежегодно теряют баллы тысячи школьников. Это задачи на изменение размеров фигуры.

Пример задачи: Даны два куба. Ребро второго куба в 3 раза больше ребра первого. Во сколько раз объём второго куба больше объёма первого?

Интуиция кричит: «В 3 раза!». И это фатальная ошибка.

Давайте разберёмся, как работает масштаб (коэффициент подобия ). Представьте, что вы увеличиваете фотографию на экране смартфона.

| Измерение | В чём измеряется | Как меняется при увеличении в раз | Пример (увеличили в 3 раза) | | :--- | :--- | :--- | :--- | | Линейные размеры (длина, ширина, радиус, периметр) | Метры () | Увеличиваются в раз | Периметр больше в 3 раза | | Площадь (поверхности, сечения, основания) | Квадратные метры () | Увеличивается в раз | Площадь больше в раз | | Объём (вместимость, масса при равной плотности) | Кубические метры () | Увеличивается в раз | Объём больше в раз |

Возвращаясь к нашей задаче: если ребро (линейный размер) увеличилось в 3 раза (), то объём увеличится в раз. В большой куб поместится ровно 27 маленьких!

!Интерактивная демонстрация подобия фигур: как изменение длины влияет на площадь и объём

Это правило работает для абсолютно любых подобных фигур: шаров, конусов, цилиндров, правильных тетраэдров.

Если в задаче сказано: «Радиус арбуза в 2 раза больше радиуса апельсина», это значит, что арбуз тяжелее апельсина не в 2, а в раз (при одинаковой плотности).

Как применять это на экзамене для экономии времени

Часто в задачах дают сложные исходные данные. Например: «Объём конуса равен 128. Высоту конуса уменьшили в 4 раза, а радиус основания оставили прежним. Найдите объём нового конуса».

Многие начинают расписывать формулу объёма, пытаться найти радиус... Стоп. Используйте логику размерностей. Формула объёма конуса: . Высота стоит в первой степени. Значит, если высоту уменьшить в 4 раза, весь объём просто уменьшится в 4 раза. . Ответ готов.

А что если бы уменьшили радиус в 4 раза? Радиус в формуле стоит в квадрате (). Значит, объём уменьшился бы в раз.

Геометрия первой части не требует от вас гениальных озарений или сложных дополнительных построений. Она требует внимательного чтения условия (вас просят найти радиус или диаметр? площадь поверхности или объём?) и понимания базовых взаимосвязей между элементами фигур. Опирайтесь на Пифагоровы тройки, помните про коэффициент подобия, и геометрические задачи станут для вас источником лёгких и быстрых баллов.

В прошлых статьях мы заложили прочный фундамент: научились жонглировать алгебраическими выражениями, распутывать узлы уравнений и видеть логику в геометрических фигурах. До сих пор мы работали со статичным миром. Уравнение имело конкретный корень, а треугольник — фиксированную площадь. Но реальный мир находится в постоянном движении: автомобили разгоняются, цены меняются, планеты летят по орбитам.

Чтобы описывать эти изменения, математики придумали математический анализ. В первой части ЕГЭ по математике этот раздел представлен заданиями на производную и исследование функций. Многие выпускники боятся этих задач, пытаясь зазубрить таблицы производных без понимания сути. Сегодня мы разберёмся, что такое производная на самом деле, и научимся «читать» её графики как открытую книгу.

Суть производной: Спидометр математики

Представьте, что вы едете на автомобиле из Москвы в Санкт-Петербург. Вы проехали 700 километров за 10 часов. Ваша средняя скорость составила 70 км/ч. Но это не значит, что вы всю дорогу ехали ровно 70 км/ч. Вы останавливались на заправках (скорость 0), обгоняли фуры (скорость 110) и плелись в пробках (скорость 20).

Если вы посмотрите на спидометр в любую конкретную секунду, вы увидите вашу мгновенную скорость.

В математике производная — это и есть спидометр. Она показывает скорость изменения функции в конкретной точке.

Это подводит нас к физическому смыслу производной:

Где — скорость в момент времени , а — производная от функции расстояния (пути) по времени.

Пример из экзамена: Дана функция движения материальной точки . Найдите её скорость в момент времени . Вместо сложных вычислений мы просто берём производную: . Это наша формула скорости. Подставляем и получаем . Задача решена за десять секунд.

Геометрический смысл: Искусство строить треугольники

Если физический смысл — это скорость, то геометрический смысл производной — это крутизна горки.

Представьте график функции как профиль американских горок. В одних местах вагонетка ползёт вверх (функция возрастает), в других — летит вниз (функция убывает), а на самых вершинах и впадинах на мгновение замирает параллельно земле.

Если к любой точке этого графика приложить прямую палку так, чтобы она лишь коснулась кривой, мы получим касательную.

Геометрический смысл производной описывается главной формулой этого раздела:

Где: * — значение производной в точке касания. * — угол между касательной и положительным направлением оси . * — угловой коэффициент касательной (из уравнения прямой ).

Лайфхак для ЕГЭ: Метод узлов

Самый частый тип задач в первой части: дан график функции, к нему проведена касательная, нужно найти значение производной. Никаких формул функции нет, только картинка на клетчатой бумаге.

Здесь работает метод прямоугольного треугольника:

> Важнейшее правило знака: Если касательная идёт в гору (слева направо вверх) — производная положительная. Если касательная катится под гору (слева направо вниз) — перед полученной дробью обязательно ставим минус!

Типичная ошибка: Выпускники правильно считают клеточки, делят вертикаль на горизонталь, получают, например, , но не замечают, что прямая убывает. В бланк идёт вместо правильного . Всегда задавайте себе вопрос: «Прямая растёт или падает?» перед тем, как записать ответ.

!Интерактивный график касательной: перемещайте точку по кривой, чтобы увидеть, как меняется наклон касательной и значение производной

Танец функции и производной

Вторая по популярности ловушка на ЕГЭ — задачи, где нарисован график производной, а спрашивают про саму функцию (или наоборот).

Запомните: график производной и график функции — это два разных человека. * Функция — это турист, который идёт по горам. Нас интересует, на какой он высоте (значение ). * Производная — это его пульсометр. Нас интересует, тяжело ли ему идти (знак или ).

Чтобы никогда не путаться, используйте эту таблицу-шпаргалку:

| Поведение функции | Значение производной | Что мы видим на графике производной | | :--- | :--- | :--- | | Возрастает (идёт вверх) | Положительное () | График находится выше оси | | Убывает (идёт вниз) | Отрицательное () | График находится ниже оси | | Точка максимума (вершина горы) | Равно нулю () | График пересекает ось сверху вниз | | Точка минимума (дно ямы) | Равно нулю () | График пересекает ось снизу вверх |

Пример ловушки: Дан график производной. Найдите точку максимума функции. Многие школьники ищут самую высокую точку на нарисованном графике. Но это график производной! Самая высокая точка здесь означает лишь то, что функция росла быстрее всего. Точка максимума самой функции находится там, где производная равна нулю (пересекает ось ) и меняет знак с плюса на минус.

!Связь графика функции и её производной: как вершины гор превращаются в нули на нижнем графике

Аналитическое исследование функции

Последний тип задач первой части, связанный с матанализом, требует найти точку максимума/минимума или наибольшее/наименьшее значение функции по заданной формуле.

Здесь работает строгий алгоритм из четырёх шагов:

Экзаменационный лайфхак: «Убийство плохих чисел»

В заданиях, где просят найти наибольшее или наименьшее значение функции (а не точку!), часто встречаются выражения с экспонентой или натуральным логарифмом .

Ответ в первой части ЕГЭ всегда должен быть целым числом или конечной десятичной дробью. Вы не можете записать в бланк или .

Это значит, что при подстановке правильного значения «плохая» часть функции должна магическим образом исчезнуть. * Для логарифма аргумент должен превратиться в , так как . * Для экспоненты степень должна превратиться в , так как .

Если вы видите функцию и вас просят найти её наименьшее значение, вы можете даже не брать производную. Чтобы логарифм «исчез», скобка должна равняться . Значит, . Подставляем: . Это и есть ответ. Этот метод позволяет сэкономить драгоценные минуты на экзамене для решения сложной второй части.

Математический анализ в первой части ЕГЭ — это не высшая математика из университета. Это проверка вашего умения видеть связи: между скоростью и расстоянием, между наклоном прямой и числом, между поведением графика и знаком его производной. Внимательно читайте условие (дан график функции или производной?), не забывайте про знаки касательных, и эти баллы станут вашими.

В предыдущих статьях мы научились работать с точными и предсказуемыми вещами. Мы находили единственный верный корень уравнения, вычисляли точную площадь треугольника и определяли конкретную скорость изменения функции с помощью производной. Математика казалась наукой, где всё предопределено.

Но реальный мир полон неопределённости. Выпадет ли завтра снег? Сломается ли кофейный автомат? Попадёт ли биатлонист в мишень? Мы не можем дать точный ответ «да» или «нет», но мы можем оценить шансы. Этим занимается теория вероятностей.

В первой части ЕГЭ по математике этой теме посвящены сразу два задания: простое (базовая вероятность) и сложное (теоремы о вероятностях событий). Многие выпускники решают их интуитивно, что неизбежно приводит к обидным ошибкам. Сегодня мы разберём строгую логику этих задач и вооружимся инструментами, которые превратят «угадайку» в точный расчёт.

Классическое определение: Фундамент вероятности

В основе большинства простых задач лежит одна главная формула. Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов:

Где: * — вероятность наступления события . * — количество исходов, которые нас устраивают (благоприятные). * — общее количество всех возможных исходов.

> Важнейшее правило самопроверки: Вероятность — это всегда доля. Она не может быть меньше нуля или больше единицы (). Если в ответе у вас получилось или — немедленно ищите ошибку в вычислениях.

Пример из экзамена: В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. В двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Решение:

Чтобы перевести дробь в десятичный вид (а именно так нужно записывать ответ в бланк ЕГЭ), домножим числитель и знаменатель на 4: . Ответ: 0,92.

Ловушка монеток: Правило

Огромное количество ошибок совершается в задачах с подбрасыванием монет.

Типичная ошибка: «Монету бросают три раза. Какова вероятность, что выпадет два орла и одна решка? Ну, вариантов всего четыре: три орла, три решки, два орла/одна решка, две решки/один орел. Значит, вероятность ».

Это в корне неверно! Исходы должны быть равновозможными. Комбинация «три орла» выпадает гораздо реже, чем «два орла и одна решка», потому что последнюю можно получить разными способами (ООР, ОРО, РОО).

Чтобы найти правильное общее число исходов при бросании монет, используйте формулу:

Где — количество бросков (или количество монет). Если монету бросают 3 раза, общее число исходов .

Для надёжности на экзамене лучше выписать все комбинации. Это займёт 20 секунд, но спасёт балл. Пишите их системно:

| Три одинаковых | Два орла, одна решка | Две решки, один орел | Три одинаковых | | :--- | :--- | :--- | :--- | | О О О | О О Р | Р Р О | Р Р Р | | | О Р О | Р О Р | | | | Р О О | О Р Р | |

Теперь мы чётко видим: благоприятных исходов (два орла и решка) ровно 3. Значит, правильный ответ: .

Теоремы вероятностей: Искусство союзов «И» и «ИЛИ»

Сложные задачи ЕГЭ требуют комбинирования нескольких событий. Весь секрет кроется в правильном переводе условия на язык математики. Главные маркеры здесь — союзы.

Правило умножения (Союз «И»)

Если для успеха нам нужно, чтобы произошло событие И событие , вероятности умножаются.

Условие применимости: События должны быть независимыми (исход одного не влияет на исход другого).

Пример: Биатлонист стреляет по двум мишеням. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Какова вероятность, что он попадёт в обе мишени? Нам нужно: попал в первую И попал во вторую. .

Правило сложения (Союз «ИЛИ»)

Если нас устраивает, чтобы произошло событие ИЛИ событие , вероятности складываются.

Условие применимости: События должны быть несовместными (не могут произойти одновременно). Например, нельзя вытащить из колоды одну карту, которая будет одновременно и тузом пик, и королём червей.

Но что делать, если события совместные? Здесь кроется самая известная ловушка ЕГЭ.

!Диаграмма Венна: пересечение множеств показывает совместные события, которые нельзя считать дважды

Ловушка кофейных автоматов (Совместные события)

Классическая задача: В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Как рассуждает большинство: «Вероятность, что закончится в первом — 0,3. Во втором — 0,3. Значит, вероятность, что закончится хотя бы в одном: . Тогда вероятность, что останется: ».

Это ошибка! События «кофе закончился в первом» и «кофе закончился во втором» — совместные. Они могут произойти одновременно (и происходят с вероятностью 0,12). Складывая , мы дважды посчитали ситуацию, когда кофе закончился в обоих автоматах.

Правильная формула для совместных событий:

Считаем вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате: .

Значит, вероятность того, что кофе останется (противоположное событие): .

Экзаменационный лайфхак: Метод противоположного события

В задачах часто встречается коварная формулировка: «найти вероятность того, что произойдёт хотя бы один раз».

Считать это напрямую — мучение. Придётся складывать вероятности «попал один раз», «попал два раза», «попал три раза» и так далее.

Золотое правило: Фразу «хотя бы один» всегда переводите через противоположное событие «ни одного».

Сумма вероятностей всех возможных исходов всегда равна единице. Поэтому:

Где — вероятность противоположного события.

Пример: Стрелок стреляет по мишени 3 раза. Вероятность попадания при каждом выстреле 0,7. Найти вероятность того, что он попадёт хотя бы один раз.

Вместо сложных комбинаций найдём вероятность того, что он ни разу не попадёт (промахнётся три раза подряд). Вероятность промаха: . Вероятность трёх промахов подряд (промазал И промазал И промазал): .

Тогда вероятность хотя бы одного попадания: . Задача решена в две строчки.

Тяжёлая артиллерия: Дерево вероятностей

Для самых запутанных задач, где события происходят последовательно и зависят друг от друга (например, пациенты сдают тесты на болезнь, или агрофирмы поставляют яйца), существует ультимативный графический метод — дерево вероятностей.

Правила построения дерева:

!Интерактивное дерево вероятностей: постройте сценарии для сложной задачи и посмотрите, как перемножаются и складываются шансы

Разберём на примере: Агрофирма закупает куриные яйца в двух хозяйствах. 40% яиц — из первого хозяйства, 60% — из второго. В первом хозяйстве 10% яиц — высшей категории, во втором — 20%. Найдите вероятность того, что случайно купленное яйцо окажется высшей категории.

Строим дерево в уме (или на черновике): * Первая развилка (выбор хозяйства): * Ветка 1: Первое хозяйство (вероятность 0,4). * Ветка 2: Второе хозяйство (вероятность 0,6). * Вторая развилка (категория яйца): * От Ветки 1 идёт ветка «Высшая категория» (вероятность 0,10). * От Ветки 2 идёт ветка «Высшая категория» (вероятность 0,20).

Нам нужны все пути, которые приводят к «Высшей категории». Путь А: Купили в первом хозяйстве И оно высшей категории. .

Путь Б: Купили во втором хозяйстве И оно высшей категории. .

Нас устроит Путь А ИЛИ Путь Б. Складываем результаты: . Ответ: 0,16.

Теория вероятностей на ЕГЭ не требует гениальности. Она требует аккуратности и знания нескольких шаблонов. Всегда проверяйте, могут ли события произойти одновременно, используйте метод противоположного события для фразы «хотя бы один» и не ленитесь рисовать деревья для сложных текстовых задач. Эти простые привычки гарантированно принесут вам первичные баллы.