Геометрия 10 класс: Призма

1. Определение и элементы призмы

Определение и элементы призмы

Оглянитесь вокруг. Картонная коробка из-под обуви, высотный панельный дом, пчелиные соты, шестигранный карандаш на вашем столе — всё это примеры одной и той же геометрической фигуры. В стереометрии, разделе геометрии, изучающем фигуры в пространстве, эта форма называется призмой.

Понимание того, как устроена призма, является фундаментом для изучения более сложных пространственных тел. Без четкого знания её элементов невозможно правильно строить сечения, вычислять площади поверхностей или находить объемы.

Строгое геометрическое определение

В планиметрии (геометрии на плоскости) мы работали с многоугольниками: треугольниками, квадратами, трапециями. В стереометрии мы выходим в трехмерное пространство.

Представьте себе две параллельные плоскости, назовем их и . В плоскости нарисуем любой многоугольник, например, пятиугольник. Теперь из каждой вершины этого пятиугольника проведем параллельные друг другу отрезки так, чтобы их вторые концы упирались в плоскость . Соединив полученные точки в плоскости , мы получим точно такой же пятиугольник.

> Призма — это многогранник, составленный из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и параллелограммов, соединяющих соответствующие вершины этих многоугольников. > > Л.С. Атанасян, «Геометрия 10-11 классы»

Многогранник называется так потому, что его поверхность состоит из множества плоских многоугольников — граней.

Основные элементы призмы

Чтобы решать задачи, нужно говорить с геометрией на одном языке. Разберем анатомию призмы на составные части.

* Основания призмы — это те самые два равных многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях. Они могут быть любой формы: треугольниками, четырехугольниками, стоугольниками. Важно лишь то, что верхнее и нижнее основания абсолютно идентичны и параллельны друг другу. * Боковые грани — это все остальные грани призмы, кроме оснований. По определению, каждая боковая грань всегда является параллелограммом. * Боковые ребра — это общие стороны соседних боковых граней. Все боковые ребра призмы параллельны и равны между собой. * Вершины призмы — это точки, в которых сходятся ребра (углы оснований).

!Чертеж наклонной пятиугольной призмы с обозначением основных элементов

Помимо видимых элементов, у призмы есть важнейшие внутренние характеристики, которые часто фигурируют в задачах:

* Высота призмы () — это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к плоскости другого основания. Высота показывает кратчайшее расстояние между основаниями. * Диагональ призмы — это отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

Важное уточнение: не путайте диагональ призмы с диагональю грани. Диагональ грани лежит на поверхности фигуры (например, соединяет противоположные углы боковой стенки), а диагональ призмы проходит сквозь её внутреннее пространство.

!Интерактивная 3D-модель призмы

Математическая закономерность элементов

В задачах часто требуется определить количество тех или иных элементов призмы. Запоминать их для каждого вида не нужно, достаточно понять логику.

Пусть в основании призмы лежит многоугольник с углами (мы называем такую призму -угольной). Тогда справедливы следующие формулы:

Количество вершин = . (Например, у треугольной призмы , значит вершин : три сверху и три снизу).

Количество ребер = . ( ребер в нижнем основании, в верхнем и боковых ребер).

Количество граней = . ( боковых граней плюс 2 основания).

Пример из жизни: обычная комната — это четырехугольная призма (). У нее углов (вершин), стыков стен, пола и потолка (ребер) и поверхностей (4 стены, пол и потолок).

Виды призм: от простого к сложному

В зависимости от того, под каким углом боковые ребра наклонены к основаниям, и от формы самих оснований, призмы делятся на несколько видов. Это критически важная классификация, так как от вида призмы зависят формулы, которые мы будем применять в дальнейшем.

1. Наклонная призма

Это самый общий случай. Боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований. Призма как бы «заваливается» набок, подобно Пизанской башне. * Боковые грани — параллелограммы. * Высота лежит вне бокового ребра (она короче бокового ребра).

2. Прямая призма

Если мы выровняем наклонную призму так, чтобы её боковые ребра стали строго перпендикулярны основаниям, мы получим прямую призму. * Боковые грани — прямоугольники (так как углы прямые). * Боковое ребро совпадает с высотой призмы. Это главное свойство, которое невероятно упрощает решение задач: если в условии сказано «дана прямая призма», вы сразу знаете, что длина бокового ребра — это и есть её высота .

3. Правильная призма

Это «идеальная» фигура в мире призм. Призма называется правильной, если выполняются два условия одновременно:

Она является прямой (ребра перпендикулярны основанию).

В её основании лежит правильный многоугольник (фигура, у которой все стороны и все углы равны: равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник).

У правильной призмы все боковые грани — это абсолютно одинаковые прямоугольники.

Особый случай: Параллелепипед

Если в основании призмы лежит параллелограмм, такая призма получает собственное имя — параллелепипед. Если же это прямая призма, а в основании лежит прямоугольник, то перед нами прямоугольный параллелепипед (именно такую форму имеют кирпичи, книги и большинство коробок).

Призмы в реальном мире

Геометрия — это не просто абстрактные чертежи в тетради. Законы стереометрии диктуют форму реальных объектов.

В оптике широко используются стеклянные треугольные призмы. Благодаря тому, что грани расположены под углом друг к другу, луч света, проходя через стекло, преломляется. Разные цвета преломляются под разными углами, из-за чего обычный белый свет распадается на красивую радугу (спектр).

!Оптическая стеклянная призма, разлагающая луч белого света в спектр

В природе идеальные геометрические формы встречаются редко, но они существуют. Яркий пример — базальтовые колонны, образующиеся при остывании лавы. Из-за физических законов сжатия породы, лава трескается, образуя гигантские каменные столбы в форме правильных и неправильных шестиугольных призм.

!Базальтовые колонны Дороги гигантов в Северной Ирландии — пример природных шестиугольных призм

Как правильно рисовать призму в тетради

Многие ошибки в задачах по стереометрии возникают из-за неправильного чертежа. Плохой чертеж искажает восприятие и мешает увидеть правильное решение. Вот несколько правил:

Начинайте с оснований. Нарисуйте нижнее основание. Помните, что мы смотрим на фигуру под углом, поэтому квадрат будет выглядеть как параллелограмм, а правильный шестиугольник — как сплюснутый шестиугольник.

Соблюдайте параллельность. Скопируйте нижнее основание и нарисуйте точно такое же выше (для прямой призмы — строго над ним, для наклонной — со сдвигом в сторону).

Невидимые линии. Те ребра, которые перекрыты передними гранями и не видны глазу, обязательно рисуйте пунктирной линией. Обычно это задние стороны нижнего основания и одно-два задних боковых ребра.

Обозначения. Вершины нижнего основания традиционно обозначают буквами без индексов (), а соответствующие вершины верхнего основания — теми же буквами с индексом 1 ().

Понимание того, что такое призма, какие у нее есть элементы и чем прямая призма отличается от правильной — это ваш первый шаг. Опираясь на эти определения, мы сможем перейти к вычислению площадей поверхностей этих фигур, где нам очень пригодятся знания о том, какие именно многоугольники образуют грани разных видов призм.