Интенсив: Первая часть ЕГЭ по профильной математике

Алгебра: вычисления, преобразования выражений и простейшие уравнения

Представьте ситуацию: вы потратили пятнадцать минут на сложнейшую геометрическую задачу, идеально построили сечение, применили нужные теоремы, но в самом конце записали, что два в третьей степени равно шести. Итог — ноль баллов за задачу. Обидно, не правда ли?

Первая часть профильного экзамена по математике коварна именно тем, что проверяет не только знание сложных концепций, но и базовую вычислительную культуру. Ошибки здесь чаще всего возникают не от незнания, а от потери концентрации и слабого владения фундаментальными правилами. Любая задача второй части опирается на фундамент первой.

Тождественные преобразования и работа со степенями

Часто на экзамене выражение выглядит пугающе: нагромождение дробей, корней и степеней. Наша цель — свести его к простому числу или базовой переменной. Для этого используется тождественное преобразование — замена одного выражения другим, равным ему при всех допустимых значениях переменных.

Основа многих преобразований — это работа со степенями и корнями. Степень показывает, сколько раз число умножается само на себя, а корень — это обратная операция.

Для успешной сдачи экзамена необходимо знать свойства степеней наизусть.

В этой формуле — основание степени, а и — показатели степени. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются.

Здесь — любое число, кроме нуля, а — показатель степени. Отрицательная степень просто «переворачивает» число.

Давайте систематизируем основные свойства в удобном виде.

| Операция | Правило для степеней | Правило для корней | Ограничения | | --- | --- | --- | --- | | Умножение | При умножении с одинаковым основанием показатели складываются | Корень из произведения равен произведению корней | Подкоренные выражения неотрицательны (для четных степеней) | | Деление | При делении с одинаковым основанием показатели вычитаются | Корень из частного равен частному корней | Знаменатель не равен нулю | | Возведение | При возведении степени в степень показатели перемножаются | Корень из корня — показатели корней перемножаются | Основание степени больше нуля (для дробных показателей) |

Рассмотрим конкретный пример вычисления. Допустим, нам нужно найти значение выражения: 3 в 5 степени умножить на 3 в 4 степени, и все это разделить на 3 в 7 степени.

Сначала разберемся с числителем. Складываем показатели: 5 плюс 4 равно 9. Получаем 3 в 9 степени. Теперь делим на знаменатель. Вычитаем показатели: 9 минус 7 равно 2. Остается 3 во 2 степени. Возводим тройку в квадрат и получаем итоговый ответ: 9.

Формулы сокращенного умножения

Сколько баллов было потеряно из-за того, что квадрат суммы раскрыли как сумму квадратов? Это классическая ловушка, в которую попадают из-за спешки.

> Математика — это наука, которая не терпит приблизительности. Одно неверно раскрытое слагаемое меняет весь ход решения. > > Софья Ковалевская

Формулы сокращенного умножения позволяют быстро раскрывать скобки и, что еще важнее, сворачивать длинные выражения обратно в компактный вид. Это критически важно для сокращения дробей.

Ключевые формулы, которые нужно применять не задумываясь:

Где и — любые числа или алгебраические выражения. Это квадрат суммы. Обратите внимание на удвоенное произведение посередине — именно его чаще всего забывают.

Это разность квадратов. Самая полезная формула для разложения многочленов на множители.

Проверим на практике. Нам нужно упростить выражение: квадрат суммы чисел и 4, из которого вычитают 8 умноженное на .

Раскрываем квадрат суммы: в квадрате, плюс удвоенное произведение (2 умножить на 4 умножить на , то есть 8), плюс 4 в квадрате (это 16). Получаем: в квадрате плюс 8 плюс 16. Теперь вычитаем 8. Слагаемые с взаимно уничтожаются. Остается в квадрате плюс 16. Выражение стало намного проще.

Дробно-рациональные выражения и невидимые границы

Когда в выражении появляется переменная в знаменателе или под знаком корня, мы вступаем на минное поле. Здесь вступает в игру область допустимых значений (ОДЗ) — множество всех значений переменных, при которых выражение имеет смысл.

Два главных правила ОДЗ в первой части экзамена:

На ноль делить нельзя. Знаменатель любой дроби должен быть не равен нулю.

Извлекать корень четной степени из отрицательного числа нельзя. Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю.

Где — выражение, стоящее в знаменателе дроби.

Где — выражение, стоящее под знаком квадратного корня.

Представьте, что вы решаете задачу на расчет времени в пути. Расстояние равно 100 км, а скорость равна минус 20 км/ч. Время вычисляется делением расстояния на скорость. Если скорость окажется равной 20, знаменатель обратится в ноль. С точки зрения физики это означает остановку, а с точки зрения математики — катастрофу, так как деление на ноль не определено. Поэтому мы обязаны указать, что не может равняться 20.

Простейшие уравнения: от линейных к рациональным

Уравнение — это математические весы. Знак равенства означает, что левая чаша весов находится в идеальном равновесии с правой. Любое действие, которое мы совершаем с одной стороной, мы обязаны повторить с другой.

Линейные уравнения

Самый простой тип. Переменная находится в первой степени. Алгоритм решения сводится к группировке: все неизвестные переносим в одну сторону, все числа — в другую. При переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный.

Пример: 5 минус 12 равно 2 плюс 9. Переносим 2 влево со знаком минус, а 12 вправо со знаком плюс. Получаем: 5 минус 2 равно 9 плюс 12. Считаем: 3 равно 21. Делим обе части на 3. Ответ: равен 7.

Квадратные уравнения

Здесь переменная возведена во вторую степень. Стандартный вид такого уравнения:

Где — неизвестная переменная, , и — заданные числа (коэффициенты), причем не равно нулю.

Для решения используется дискриминант.

Где — дискриминант, , , — коэффициенты квадратного уравнения. Если дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня. Если равен нулю — один корень. Если меньше нуля — действительных корней нет.

Возьмем уравнение: в квадрате минус 5 плюс 6 равно нулю. Коэффициент равен 1, равен минус 5, равен 6. Считаем дискриминант: минус 5 в квадрате (это 25) минус 4 умножить на 1 и умножить на 6 (это 24). 25 минус 24 равно 1. Дискриминант больше нуля, корни есть. Корни находим по формуле: минус плюс-минус корень из дискриминанта, деленное на 2. Первый корень: (5 плюс 1) разделить на 2. Получаем 3. Второй корень: (5 минус 1) разделить на 2. Получаем 2.

Дробно-рациональные уравнения

Это уравнения, где переменная прячется в знаменателе. Главный принцип решения — избавиться от дробей, умножив обе части уравнения на общий знаменатель. Но именно здесь кроется главная опасность: умножая на выражение с переменной, мы можем приобрести «посторонние корни».

Поэтому алгоритм выглядит так:

Найти общий знаменатель.

Умножить на него все члены уравнения.

Решить получившееся целое уравнение (линейное или квадратное).

Обязательно проверить найденные корни по ОДЗ (подставить в знаменатель и убедиться, что он не равен нулю).

Пример: 10 разделить на равно 2. ОДЗ: не равен нулю. Умножаем обе части на . Получаем: 10 равно 2. Делим на 2. равен 5. Проверяем по ОДЗ: 5 не равно нулю. Корень подходит.

Итоги

Тождественные преобразования требуют идеального знания свойств степеней и корней. Ошибка в знаке показателя степени ведет к неверному ответу.

Формулы сокращенного умножения — ваш главный инструмент для упрощения громоздких выражений. Удвоенное произведение в квадрате суммы терять нельзя.

При работе с дробями и четными корнями всегда держите в уме область допустимых значений. Знаменатель не равен нулю, под корнем — неотрицательное число.

Решение любого уравнения сводится к балансировке левой и правой частей. В дробно-рациональных уравнениях обязательна проверка корней на соответствие ОДЗ.

Теория вероятностей и статистика: базовые и сложные вероятностные модели

В предыдущем модуле мы оттачивали навыки алгебраических вычислений, учились преобразовывать выражения и решать уравнения. Алгебра дает нам инструменты для работы с точными, детерминированными данными, где левая часть строго равна правой. Однако реальный мир полон неопределенности. Пойдет ли завтра дождь? Достанется ли вам на экзамене билет, который вы выучили идеально?

В первой части профильного экзамена по математике теория вероятностей представлена двумя заданиями: базовым и усложненным. Любая сложная вероятностная модель опирается на простые арифметические действия, поэтому наш алгебраический фундамент здесь будет как нельзя кстати. Давайте научимся измерять неопределенность.

Классическое определение вероятности

Представьте, что вы стоите перед закрытой дверью с пятью одинаковыми ключами в руках, и только один из них открывает замок. Каковы ваши шансы угадать нужный ключ с первой попытки? Интуиция подсказывает, что шанс один из пяти. Это и есть суть классической вероятности.

Вероятность — это числовая мера степени объективной возможности наступления события.

Для вычисления базовой вероятности используется простая формула:

Где — вероятность события, — количество благоприятных исходов (тех, которые нам нужны), а — общее количество всех возможных равновероятных исходов.

Важное правило: вероятность всегда выражается десятичной дробью в диапазоне от 0 до 1. Ноль означает, что событие невозможно, а единица — что оно достоверно (произойдет в любом случае). На экзамене ответ всегда записывается в виде десятичной дроби, никаких процентов.

Рассмотрим классическую задачу. На экзамен вынесено 40 вопросов. Студент не выучил 6 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.

Сначала найдем количество благоприятных исходов. Если всего вопросов 40, а не выучено 6, значит, выучено 34 вопроса. Это наше число . Общее количество билетов равно 40. Делим 34 на 40. Для удобства можно сократить дробь на 2, получим 17 разделить на 20. Умножаем числитель и знаменатель на 5, чтобы получить знаменатель 100. Выходит 85 сотых, или 0,85. Это и есть искомая вероятность.

Противоположные события и метод от обратного

Иногда в задачах просят найти вероятность того, что хотя бы один из десяти насосов исправен. Считать все комбинации исправных насосов — долго и чревато ошибками. В таких случаях на помощь приходит метод от обратного.

> Математика — это искусство называть разные вещи одним и тем же именем. > > Анри Пуанкаре

Мы вводим понятие противоположного события — это событие, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит основное событие. Сумма вероятностей события и противоположного ему события всегда равна единице.

Где — вероятность наступления нужного нам события, а — вероятность противоположного события.

Разберем пример. В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Можно пойти прямым путем: вычесть из 500 бракованные 5 насосов, получить 495 исправных и делить 495 на 500. Но проще найти вероятность того, что насос бракованный (противоположное событие). Делим 5 на 500, получаем 1 сотую, то есть 0,01. Теперь просто вычитаем эту вероятность из единицы: 1 минус 0,01 равно 0,99. Ответ найден быстрее и с меньшим риском вычислительной ошибки.

Сложные вероятностные модели: сложение и умножение

В пятом задании экзамена события редко происходят в вакууме. Обычно мы имеем дело с цепочкой событий. Чтобы правильно их комбинировать, нужно понимать разницу между совместными/несовместными и зависимыми/независимыми событиями.

Несовместные события — это события, которые не могут произойти одновременно в рамках одного испытания. Например, при броске игральной кости не может выпасть одновременно и тройка, и пятерка.

Независимые события — это события, вероятность наступления одного из которых не зависит от того, произошло ли другое. Например, бросок двух разных монет.

Для удобства запоминания правил мы можем использовать таблицу логических союзов.

| Логический союз | Математическое действие | Тип событий | Пример из жизни | | --- | --- | --- | --- | | ИЛИ | Сложение | Несовместные (не могут произойти одновременно) | Выпадение орла или решки при одном броске монеты | | И | Умножение | Независимые (одно не влияет на другое) | Попадание в цель первым стрелком и вторым стрелком |

Посмотрим, как это работает на практике. В торговом центре стоят два одинаковых автомата, продающих кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Здесь события совместные (кофе может закончиться в обоих автоматах одновременно). Сначала найдем вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате. Для этого сложим вероятности поломки каждого автомата и вычтем вероятность их одновременной поломки (чтобы не посчитать ее дважды): 0,3 плюс 0,3 минус 0,12. Получаем 0,48.

0,48 — это вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате. Нам нужно противоположное событие: кофе останется в обоих. Вычитаем из единицы 0,48 и получаем ответ: 0,52.

Дерево возможных исходов

Когда задача описывает многоступенчатый процесс, текст условия может запутать. В таких случаях лучшим инструментом становится визуализация с помощью дерева возможных исходов.

Каждый узел дерева — это развилка событий. Двигаясь по ветвям от начала к концу, мы перемножаем вероятности (потому что события происходят последовательно, одно И другое). Если нас устраивают несколько разных путей, мы складываем их итоговые вероятности (потому что нас устроит первый путь ИЛИ второй).

Пример: Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Пусть — вероятность того, что яйцо поступило из первого хозяйства. Тогда вероятность того, что оно из второго, равна .

Строим дерево:

Ветвь первая: яйцо из первого хозяйства (вероятность ) И оно высшей категории (вероятность 0,4). Итоговая вероятность этой ветви: .

Ветвь вторая: яйцо из второго хозяйства (вероятность ) И оно высшей категории (вероятность 0,2). Итоговая вероятность этой ветви: .

Нас устраивает любой из этих путей, поэтому мы их складываем. Общая вероятность получить яйцо высшей категории по условию равна 0,35. Составляем уравнение: . Раскрываем скобки: . Упрощаем: . Делим обе части на 0,2. Получаем .

Ответ: вероятность того, что яйцо из первого хозяйства, равна 0,75.

Элементы статистики

Помимо вероятности, в задачах могут встретиться базовые статистические понятия. Они помогают описывать большие массивы данных одним числом.

Среднее арифметическое — сумма всех чисел ряда, деленная на их количество. Показывает «среднюю температуру по больнице».

Медиана — число, которое стоит ровно посередине упорядоченного по возрастанию ряда. Если чисел четное количество, медиана равна среднему арифметическому двух чисел посередине. Медиана лучше показывает реальное положение дел, если в данных есть сильные выбросы.

Мода — число, которое встречается в ряду чаще всего.

Представьте, что пять сотрудников компании получают зарплату 30 000 руб., а директор — 330 000 руб. Среднее арифметическое составит: (5 умножить на 30 000 плюс 330 000) разделить на 6. Это 480 000 разделить на 6, то есть 80 000 руб. А вот медиана этого ряда (30, 30, 30, 30, 30, 330) будет равна 30 000 руб. Согласитесь, медиана в данном случае гораздо честнее описывает типичную зарплату в компании.

Итоги

Классическая вероятность всегда равна отношению подходящих исходов ко всем возможным. Ответ на экзамене — строго десятичная дробь от 0 до 1.

Использование вероятности противоположного события (вычитание из единицы) часто сокращает время решения задачи в несколько раз.

При комбинировании событий помните правило: союз «И» означает умножение вероятностей, союз «ИЛИ» — сложение.

Для запутанных многоступенчатых задач всегда рисуйте дерево исходов. Вдоль ветвей вероятности перемножаются, а результаты разных ветвей — складываются.