Математические модели в демографии

Модели роста численности: линейная, экспоненциальная, гиперболическая и логистическая

Демография использует математические модели для описания того, как меняется численность населения во времени. Эти модели варьируются от простейших арифметических прогрессий до сложных уравнений, учитывающих ограниченность ресурсов. В этой статье мы разберем четыре классические модели роста, а также ключевые инструменты демографического анализа: таблицы смертности и показатели воспроизводства.

1. Линейная модель роста

Это самая простая модель, предполагающая, что численность населения увеличивается на постоянную величину за каждый равный промежуток времени. Это напоминает арифметическую прогрессию.

Формула линейного роста:

Где — численность населения в момент времени , — начальная численность, — абсолютный прирост за единицу времени, — время.

Пример: Представим поселок с численностью 5000 человек (). Ежегодно в поселок приезжает и рождается суммарно на 200 человек больше, чем уезжает и умирает ().

Через 5 лет () численность составит:

Линейная модель редко применяется для долгосрочных прогнозов, так как в реальности люди размножаются пропорционально своей текущей численности, а не фиксированным числом.

2. Экспоненциальная модель (Модель Мальтуса)

В конце XVIII века Томас Мальтус предложил модель, согласно которой население растет в геометрической прогрессии, если его не ограничивают ресурсы. Скорость роста пропорциональна текущей численности.

Формула экспоненциального роста:

Где — численность в момент времени , — начальная численность, — основание натурального логарифма (примерно 2,718), — коэффициент естественного прироста (разница между рождаемостью и смертностью), — время.

Пример: В стране живет 1 000 000 человек. Коэффициент прироста составляет 2% в год, то есть . Рассчитаем численность через 10 лет.

Так как , получаем:

Согласно Stepik, эта модель (J-образная кривая) хорошо описывает начальные стадии роста популяций в условиях избытка ресурсов, но не учитывает их исчерпаемость.

3. Гиперболическая модель роста

Уникальная особенность человечества (в отличие от животных) заключается в том, что на протяжении большей части истории наша численность росла быстрее, чем по экспоненте. Это происходило благодаря технологическому прогрессу, который увеличивал «емкость» среды обитания. Такой рост описывается гиперболой.

Формула гиперболического роста (эмпирическая формула фон Фёрстера):

Где — численность населения, — константа (около 200 млрд), — критическая дата (математическая сингулярность, для человечества это был бы 2025 год), — текущий год.

Пример: Допустим, (млрд), а . Если мы возьмем 1925 год (), то знаменатель равен .

Если мы возьмем 1975 год (), знаменатель равен .

За полвека население удвоилось. Чем ближе к , тем стремительнее взлетает график. Однако, как отмечают данные dmb.biophys.msu.ru, реальный рост человечества отклонился от этой кривой после 1960-х годов, перейдя к замедлению (демографический переход).

4. Логистическая модель (Модель Ферхюльста)

Пьер Франсуа Ферхюльст скорректировал модель Мальтуса, добавив ограничение ресурсов. Популяция растет, но по мере приближения к «потолку» (емкости среды) рост замедляется. График имеет форму буквы S.

Дифференциальное уравнение логистического роста:

Где — скорость изменения численности, — скорость роста, — текущая численность, — емкость среды (максимально возможное число особей).

Пример: Пусть емкость среды . Коэффициент роста .

Если текущая численность (начало заселения):

Множитель . Рост идет почти по экспоненте (на 99% от максимума).

Если текущая численность (население велико):

Множитель . Скорость роста падает в 10 раз по сравнению с потенциальной.

Согласно Engee, логистическая модель является базовой для описания популяций с внутривидовой конкуренцией за ресурсы.

---

Таблицы смертности (Life Tables)

Для анализа воспроизводства недостаточно знать только общую численность. Демографы используют таблицы смертности — упорядоченные данные о том, как вымирает поколение родившихся.

Основные показатели таблицы смертности:

* — возраст (интервал, например, 0–1 год, 1–5 лет). (лат. living*) — число доживших до возраста (обычно из исходных 100 000 родившихся). (лат. dying*) — число умерших в интервале возраста от до . * — вероятность умереть в данном возрасте. * — ожидаемая продолжительность жизни для человека, достигшего возраста .

Пример расчета вероятности смерти ():

Где — вероятность смерти, — число умерших в возрасте , — число доживших до возраста .

Допустим, до возраста 60 лет дожило 80 000 человек (). В течение 60-го года жизни умерло 800 человек (). Вероятность умереть в 60 лет:

Показатели рождаемости

Чтобы моделировать будущее, нужно понимать, как население пополняется.

Общий коэффициент рождаемости (CBR)

Показывает число рождений на 1000 человек населения в год. Это грубый показатель, так как он зависит от возрастной структуры (если в стране много стариков, CBR будет низким даже при высокой плодовитости женщин).

Суммарный коэффициент рождаемости (TFR)

Это более точный показатель. Он показывает, сколько в среднем детей родила бы одна женщина за всю жизнь при сохранении текущих уровней рождаемости в каждом возрасте.

Пример: Если TFR = 1,5, это значит, что средняя женщина рожает 1,5 ребенка. Для простого замещения поколений (чтобы численность не падала) необходим уровень 2,1 (0,1 добавляется для компенсации детской смертности и того факта, что мальчиков рождается чуть больше).

Показатели воспроизводства

Эти показатели отвечают на вопрос: «Заменит ли поколение дочерей поколение матерей?»

Брутто-коэффициент воспроизводства (GRR)

Рассчитывается как TFR, но учитывает только родившихся девочек. Обычно это примерно (так как на 100 девочек рождается около 105 мальчиков).

Нетто-коэффициент воспроизводства (NRR)

Это самый важный показатель для долгосрочного прогноза. Он показывает, сколько девочек, рожденных одной женщиной, доживет до среднего возраста матери и сами станут матерями.

Формула (упрощенно):

Где — повозрастная рождаемость (дочери на 1 женщину), — коэффициент дожития до этого возраста.

Интерпретация NRR: * NRR = 1,0: Простое воспроизводство. Поколение дочерей численно равно поколению матерей. Население стабильно. * NRR > 1,0: Расширенное воспроизводство. Население растет. * NRR < 1,0: Суженное воспроизводство. Каждое следующее поколение меньше предыдущего, население вымирает (даже если сейчас оно растет по инерции).

Пример: В стране А женщины рожают много (TFR = 3,0), но из-за высокой смертности до взрослого возраста доживает только 30% девочек. Грубая оценка: . Вывод: Несмотря на высокую рождаемость, население будет сокращаться, так как .

Итоги

* Экспоненциальная модель описывает взрывной рост без ограничений, а логистическая учитывает предел ресурсов (емкость среды ). * Гиперболическая модель уникальна для описания роста человечества в прошлом, но сейчас мир переходит к логистическому сценарию. * Таблицы смертности позволяют рассчитать вероятность смерти () и ожидаемую продолжительность жизни (). * Для оценки будущего популяции ключевым является Нетто-коэффициент воспроизводства (NRR). Только если , популяция способна сохранять свою численность в долгосрочной перспективе.

Таблицы смертности: методика расчета и анализ показателей

В предыдущей статье мы рассматривали модели роста численности населения, которые позволяют прогнозировать общее количество людей. Однако для глубокого понимания демографических процессов недостаточно знать только «сколько нас будет». Важно понимать, как долго люди живут и в каком возрасте умирают. Для этого используется один из самых совершенных инструментов демографической статистики — таблица смертности (Life Table).

Таблица смертности — это не просто список умерших. Это математическая модель, описывающая процесс вымирания некоторого поколения во времени. Она позволяет преобразовать сухие цифры статистики смертности в понятные показатели, главным из которых является ожидаемая продолжительность жизни.

Логика построения: Когорта и Радикс

В основе таблицы лежит простая идея: представим, что одновременно родилось некоторое количество людей, например, 100 000 человек. Это число называется корнем таблицы или радиксом (обозначается ).

Мы наблюдаем за этой группой (когортой) год за годом и фиксируем, сколько людей умирает в каждом возрасте, пока не умрет последний из них. Такая таблица называется таблицей смертности реального поколения (когортной).

Однако на практике ждать 100 лет, чтобы узнать характеристики смертности людей, родившихся сегодня, невозможно. Поэтому демографы строят таблицы смертности для календарного периода (текущие). Они отвечают на вопрос: «Как вымирало бы поколение родившихся, если бы во всех возрастах сохранялась смертность текущего года?».

Основные функции таблицы смертности

Таблица состоит из взаимосвязанных колонок (функций). Разберем их на конкретном числовом примере.

1. Число доживших ()

Показывает, сколько человек из исходного радикса дожило до точного возраста .

* (стандартный радикс). * , где — число умерших.

2. Число умерших ()

Показывает количество людей, умерших в интервале возраста от до .

3. Вероятность умереть ()

Это ключевой показатель, с которого обычно начинается расчет таблицы на основе реальных статистических данных. Он показывает вероятность того, что человек, доживший до возраста , умрет, не дожив до возраста .

Формула связи:

Где — число умерших в возрасте , — число доживших до возраста , — вероятность смерти.

Числовой пример: Допустим, до возраста 50 лет дожило 90 000 человек (). Вероятность умереть в возрасте 50 лет составляет 0,004 (или 4 промилле).

Рассчитаем число умерших:

Значит, человек.

Тогда до возраста 51 год доживет:

То есть .

4. Вероятность дожить ()

Вероятность того, что человек возраста благополучно перейдет в возраст . Так как исхода всего два (умереть или выжить), сумма вероятностей равна единице.

Где — вероятность дожития, — вероятность смерти.

В нашем примере:

Методика расчета: от ставок к вероятностям

Главная сложность при построении таблицы заключается в том, что статистика дает нам не вероятности (), а возрастные коэффициенты смертности ().

Коэффициент смертности (): Отношение числа умерших к среднегодовой* численности населения в этом возрасте. Вероятность смерти (): Отношение числа умерших к численности в начале* возрастного интервала.

Для перехода от к используется формула, предполагающая равномерное распределение смертей внутри года:

Где — искомая вероятность смерти, — наблюдаемый коэффициент смертности, — длина возрастного интервала (обычно 1 год).

Пример: Пусть в группе 60-летних коэффициент смертности (20 умерших на 1000 человек среднегодового населения). Интервал .

Мы видим, что вероятность () чуть меньше коэффициента (), так как знаменатель при расчете вероятности (исходное население) больше среднегодового (население уменьшается из-за смертей).

Согласно books.econ.msu.ru, таблица смертности является числовой моделью, представляющей систему упорядоченных по возрасту рядов чисел, отражающих процесс вымирания поколения.

Расчет ожидаемой продолжительности жизни ()

Это итоговый показатель, ради которого часто и строят таблицу. Чтобы его найти, нужно рассчитать, сколько всего лет проживет вся когорта.

Шаг 1. Число человеко-лет жизни в интервале ()

Сколько лет прожили люди в возрасте от до ? Те, кто выжил, прожили полный год. Те, кто умер, прожили в среднем полгода (при гипотезе равномерности).

Где — число человеко-лет в возрасте , — дожившие до начала года, — дожившие до конца года.

Вернемся к примеру с 50-летними (, ):

Шаг 2. Тот самый «человеко-фонд» ()

Это сумма всех человеко-лет, которые предстоит прожить поколению, начиная с возраста и до самого конца таблицы (до предельного возраста ).

Где — суммарное число человеко-лет предстоящей жизни, — человеко-лет в каждом следующем возрасте.

Шаг 3. Ожидаемая продолжительность жизни ()

Мы делим весь запас предстоящих лет () на число людей, которые сейчас живы ().

Где — средняя ожидаемая продолжительность жизни для человека возраста .

Важно: Показатель (ожидаемая продолжительность жизни при рождении) не зависит от возрастной структуры реального населения, так как строится на основе гипотетического поколения. Это делает его идеальным для сравнения уровня жизни в разных странах, как отмечают данные new.cisstat.org.

Математическое сглаживание: Закон Гомперца-Мейкема

В старших возрастах данных часто не хватает (мало людей доживает до 95+ лет), и кривая смертности становится «дерганой». Для выравнивания и прогнозирования используется аналитическая формула — закон Гомперца-Мейкема.

Формула интенсивности смертности:

Где: * — сила смертности (мгновенный риск смерти) в возрасте . * — компонент Мейкема: смертность от внешних причин, не зависящих от возраста (несчастные случаи, инфекции). Она постоянна для всех возрастов. * — компонент Гомперца: биологическое старение. Риск смерти растет в геометрической прогрессии с возрастом.

По данным bigenc.ru, эта формула достаточно точно описывает рост смертности в возрастах старше 30–40 лет и применяется для экстраполяции таблиц смертности в старших возрастах.

Пример интерпретации: Если в стране улучшается медицина и безопасность труда, снижается параметр (фоновая смертность). Если же происходит прорыв в геронтологии и замедлении старения, меняются параметры и (наклон кривой старения).

Итоги

* Таблица смертности — это модель вымирания гипотетического поколения (обычно 100 000 родившихся), позволяющая исключить влияние возрастной структуры населения. * Вероятность смерти () рассчитывается на основе статистических коэффициентов () и является базой для построения всей таблицы. * Ожидаемая продолжительность жизни () получается путем деления суммарного фонда предстоящих лет жизни () на число доживших до данного возраста (). * Для сглаживания данных и анализа причин смертности (внешние vs биологические) используется формула Гомперца-Мейкема (). * Показатель (при рождении) является интегральным индикатором качества жизни и здоровья нации.