Основы решения уравнений: иррациональные, показательные, логарифмические

Простейшие иррациональные уравнения и корни n-й степени

Добро пожаловать в курс «Основы решения уравнений». Если вы когда-либо видели уравнение, где переменная «спрятана» под знаком корня, и не знали, что с ним делать — эта статья для вас. Мы разберем всё с самого нуля, без сложных научных терминов, используя понятные числовые примеры.

Что такое иррациональное уравнение?

Начнем с определения. Иррациональное уравнение — это уравнение, в котором неизвестная переменная (обычно ) находится под знаком корня.

Согласно yaklass.ru, решение таких уравнений обычно сводится к переходу от иррационального к рациональному (обычному) уравнению путём возведения обеих частей в степень.

Примеры: * — это иррациональное уравнение (икс под корнем). * — это тоже иррациональное уравнение. * — а это не иррациональное уравнение, потому что под корнем стоит просто число 5, а икс свободен.

Простейшие иррациональные уравнения

Самый простой вид уравнения выглядит так: «Корень из икса равен числу».

где — неизвестная переменная, — некоторое число.

Чтобы найти , нам нужно избавиться от корня. Какое действие является обратным для квадратного корня? Возведение в квадрат.

Случай 1: Правая часть положительная или ноль

Рассмотрим уравнение:

Чтобы «освободить» икс, возведем обе части уравнения в квадрат (во вторую степень):

где превращается просто в , а — это .

Получаем: .

Это и есть корень уравнения.

Случай 2: Правая часть отрицательная

Рассмотрим уравнение:

Здесь нужно быть очень внимательным. В школьной математике (на множестве действительных чисел) результат извлечения квадратного корня всегда неотрицателен. Корень не может быть равен .

Ответ: корней нет.

> Корень чётной степени — неотрицательное число. > > yaklass.ru

Иррациональные уравнения, сводящиеся к квадратным

Часто под корнем стоит не просто , а целое выражение, и справа тоже может быть выражение с иксом. Общий алгоритм решения таких уравнений выглядит так:

Уединить корень (чтобы он остался один с одной стороны равенства).

Возвести обе части уравнения в квадрат.

Решить полученное уравнение.

ОБЯЗАТЕЛЬНО сделать проверку.

Рассмотрим пример:

Шаг 1: Корень уже уединен слева.

Шаг 2: Возводим обе части в квадрат.

Получаем:

Шаг 3: Решаем полученное квадратное уравнение. Перенесем всё в одну сторону:

Найдем корни через дискриминант. Формула дискриминанта:

где (коэффициент при ), (коэффициент при ), (свободный член).

Подставим числа: .

Теперь найдем корни и :

где — дискриминант, и — коэффициенты уравнения.

Мы получили два числа: и . Но это еще не ответ!

Шаг 4: Проверка (самый важный этап).

При возведении в квадрат мы могли получить «посторонние» корни. Это происходит потому, что квадрат «съедает» минусы (например, тоже равно , как и ).

Проверяем : Подставляем в самое первое уравнение . Слева: . Справа: . — Верно. Значит, — настоящий корень.

Проверяем : Подставляем в исходное уравнение. Слева: . Справа: . — Неверно! Значит, — посторонний корень, мы его отбрасываем.

Ответ: .

Как отмечается в материалах cubens.com, при возведении обеих частей уравнения в четную степень могут появиться посторонние корни, которые отсеиваются проверкой.

Иррациональные уравнения с корнем n-й степени

Корень бывает не только квадратным (2-й степени), но и кубическим (3-й степени), 4-й степени и так далее. Обозначается это как .

Здесь работает простое правило, которое делит все корни на два лагеря:

Корни нечётной степени ().

Корни чётной степени ().

Корни нечётной степени (например, )

Это «дружелюбные» корни. Под ними может стоять отрицательное число, и результат тоже может быть отрицательным. При их решении проверка обычно не требуется (если нет других ограничений), так как возведение в нечётную степень не уничтожает знаки.

Пример:

Возводим обе части в куб (в 3-ю степень), чтобы убрать корень:

Слева корень исчезает, справа считаем: .

Проверка (для спокойствия): . Всё верно.

Корни чётной степени (например, )

Они ведут себя так же строго, как и обычный квадратный корень. Результат корня чётной степени не может быть отрицательным.

Пример:

Сразу пишем: корней нет, так как корень чётной степени не может равняться отрицательному числу .

Если же справа положительное число:

Возводим в 4-ю степень:

.

Метод ОДЗ или Проверка?

В школе часто учат находить ОДЗ (Область Допустимых Значений) — писать неравенства вида . Однако, как показывает практика, для простейших уравнений метод проверки полученных корней в конце решения является более быстрым и надежным способом избежать ошибок.

По данным mathus.ru, в большинстве ситуаций специально искать ОДЗ нет необходимости — нужно лишь следить за равносильностью преобразований или просто проверить найденные корни подстановкой.

Итоги

Иррациональное уравнение — это когда находится под корнем.

Основной метод решения — возведение обеих частей уравнения в ту же степень, что и у корня (в квадрат для , в куб для ).

Правило знаков: не имеет решений. Корень чётной степени всегда неотрицателен.

Опасность чётных степеней: При возведении в квадрат (или 4-ю степень) могут появиться «ложные» корни. Всегда делайте проверку, подставляя найденные числа в самое первое уравнение.

Нечётные степени: Корни 3-й, 5-й степени можно извлекать из отрицательных чисел, и они сохраняют знак равенства.

Иррациональные уравнения, сводящиеся к квадратным

В предыдущей статье мы разобрали простейшие случаи, где корень равен числу. Но математика редко бывает такой доброй. Гораздо чаще после избавления от корня мы получаем не линейное уравнение (типа ), а квадратное (где есть ).

Если вы умеете решать квадратные уравнения через дискриминант — вы уже знаете 90% этой темы. Если нет — мы разберем это прямо сейчас на примерах.

Почему уравнение становится квадратным?

Иррациональное уравнение — это когда спрятан под корнем. Основной метод борьбы с корнем — возведение в квадрат.

Согласно yaklass.ru, если в уравнении вида возвести обе части в квадрат, мы получим . Если содержит , то при возведении в квадрат появится . Так рождается квадратное уравнение.

Рассмотрим классический пример:

Здесь икс есть и под корнем, и справа от него. Давайте решим его пошагово.

Алгоритм решения

Шаг 1. Возведение в квадрат

Чтобы уничтожить корень слева, возводим обе части уравнения во вторую степень.

Корень и квадрат слева взаимно уничтожаются. Получаем:

Шаг 2. Приведение к стандартному виду

Квадратное уравнение должно выглядеть как . Перенесем всё в одну сторону (например, вправо), чтобы перед был плюс.

Или привычнее:

Шаг 3. Решение через дискриминант

Вспомним формулу дискриминанта. Для уравнения вида :

где: * — дискриминант (число-индикатор, показывающее количество корней); * — коэффициент перед (в нашем случае это ); * — коэффициент перед (в нашем случае это ); * — свободное число (в нашем случае это ).

Подставляем наши числа:

Дискриминант положительный, значит, у нас два корня. Найдем их по формуле:

где: * означает, что мы сделаем действие дважды: один раз с плюсом, один раз с минусом; * — корень из дискриминанта ().

Считаем первый корень ():

Считаем второй корень ():

Мы получили два кандидата в ответы: и . Но радоваться рано.

Шаг 4. Проверка (Отсев посторонних корней)

Это самый важный этап в иррациональных уравнениях. При возведении в квадрат мы часто получаем «ложные» (посторонние) корни.

Почему это происходит? Уравнение при возведении в квадрат дает . Но уравнение при возведении в квадрат ТОЖЕ дает . Квадрат «стирает» минусы, и мы можем случайно найти решение для «минусового» варианта, которого в оригинале не было.

По данным skysmart.ru, проверка подстановкой — надежный способ исключить такие корни.

Проверяем : Подставляем в самое первое уравнение . Слева: . Справа: . — Верно. Корень подходит.

Проверяем : Подставляем в . Слева: . Справа: . — Неверно! (Положительное число не может быть равно отрицательному).

Вывод: — посторонний корень. Мы его выбрасываем.

Ответ: .

Метод замены переменной

Иногда уравнение выглядит громоздко, но в нем повторяется один и тот же элемент с корнем. В таких случаях удобно использовать метод замены.

Рассмотрим уравнение:

Здесь есть и есть . Мы знаем, что — это . То есть уравнение можно переписать так:

Это скрытое квадратное уравнение. Чтобы его увидеть, введем новую переменную.

Пусть . Тогда .

Подставим в наше уравнение:

Решаем обычное квадратное уравнение через дискриминант или теорему Виета. Найдем корни для :

Теперь возвращаемся к исходной переменной (обратная замена). Мы искали , а не .

Если , то . Возводим в квадрат: .

Если , то . Возводим в квадрат: .

Проверка: * Для : . Верно. * Для : . Верно.

Ответ: .

Опасность формул сокращенного умножения

Рассмотрим уравнение, где справа стоит выражение:

Возводим обе части в квадрат:

Слева корень исчезает: . А вот справа нужно быть внимательным! Частая ошибка — написать . Это неверно. Нужно использовать формулу квадрата суммы:

где и — слагаемые в скобках.

Применяем к правой части: .

Теперь собираем уравнение:

Переносим всё вправо:

Решаем неполное квадратное уравнение:

или .

Проверка: * : . Справа: . ( — подходит). * : . Справа: . ( — неверно).

Ответ: .

Итоги

Главный метод — уединить корень и возвести обе части уравнения в квадрат.

Результат — чаще всего получается квадратное уравнение, которое решается через дискриминант.

Формулы — при возведении в квадрат выражений типа обязательно используйте формулы сокращенного умножения, не теряйте удвоенное произведение.

Замена — если видите и , пробуйте замену .

Проверка обязательна — возведение в квадрат часто создает «лишние» корни. Всегда подставляйте найденные числа в самое первое уравнение.