1. Рациональные числа, пропорции и начало алгебры
Рациональные числа, пропорции и начало алгебры
Добро пожаловать в курс алгебры. Мы начинаем с фундамента, на котором строится вся математика старших классов — с рациональных чисел и умения записывать общие закономерности с помощью букв.
Что такое рациональные числа?
В младших классах вы работали с натуральными числами (1, 2, 3...) и дробями. В алгебре мы объединяем эти понятия в единую систему.
Рациональное число — это любое число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби , где — целое число, а — натуральное число.
!Иерархия числовых множеств: натуральные числа являются частью целых, а целые — частью рациональных
Как определить рациональное число?
Любое целое число или конечную десятичную дробь можно превратить в обыкновенную дробь. Это значит, что они являются рациональными lancmanschool.com.
Примеры: * Целое число 5: можно записать как . * Десятичная дробь 0,7: записывается как . * Отрицательное число -3: записывается как . * Смешанное число : переводится в неправильную дробь .
Множество рациональных чисел обозначается латинской буквой .
> Множество содержит все целые числа и все обыкновенные дроби. Обобщённо говорят, что множество состоит из чисел вида . yaklass.ru
Свойства рациональных чисел
С рациональными числами можно выполнять все стандартные арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на ноль). Главное отличие от натуральных чисел — результат деления двух рациональных чисел всегда будет рациональным числом.
где и — рациональные числа. Это переместительное свойство: от перестановки слагаемых сумма не меняется.
где — рациональные числа. Это распределительное свойство, которое позволяет раскрывать скобки.
Пропорции
Понимание дробей приводит нас к понятию отношения и пропорции. Отношение — это частное от деления одного числа на другое. Пропорция — это равенство двух отношений.
Записывается это так:
где и — крайние члены пропорции, а и — средние члены пропорции.
Основное свойство пропорции
Это самый важный инструмент для решения множества задач, от химии до геометрии. Произведение крайних членов равно произведению средних членов.
где — крайние члены, — средние члены.
!Правило креста: визуализация основного свойства пропорции
Пример применения: Автомобиль расходует 8 литров топлива на 100 км. Сколько литров нужно на 250 км?
Составим пропорцию, где — искомое количество литров:
Используем основное свойство (перемножаем крест-накрест):
Ответ: 20 литров.
Начало алгебры: переход к переменным
Алгебра начинается там, где заканчиваются конкретные числа и появляются общие правила. Чтобы записать правило, которое работает для любых чисел, мы используем буквы.
Переменная
Переменная — это буква (обычно латинская: ), которая обозначает произвольное число из некоторого множества.
Рассмотрим пример. Периметр квадрата со стороной 5 см равен . Со стороной 10 см — . В алгебре мы записываем общую формулу:
где — периметр, — числовой коэффициент, — длина стороны (переменная).
Алгебраическое выражение
Это запись, составленная из чисел, букв и знаков арифметических действий.
Примеры: * (удвоенное число плюс три) * (полуразность двух чисел) * (формула пути: скорость умноженная на время)
Главная цель алгебры в 7 классе — научиться преобразовывать такие выражения и решать уравнения, находя значения переменных.
Итоги
* Рациональные числа () — это все числа, которые можно представить дробью (целые, дробные, положительные, отрицательные и ноль). * Пропорция — это равенство двух отношений. Её основное свойство: произведение крайних членов равно произведению средних (). * Алгебра использует переменные (буквы) вместо конкретных чисел для записи общих законов и формул.