Основы логарифмов: Практикум простых задач

Понятие логарифма: вычисление значений по определению

Логарифм часто пугает новичков своим названием и обозначением, но на самом деле за ним скрывается простое арифметическое действие. Если сложение отвечает на вопрос «сколько будет, если добавить?», а умножение — «сколько будет, если повторить слагаемое?», то логарифм ищет ответ на вопрос о степени.

Рассмотрим простое показательное уравнение:

где — это основание степени, — показатель степени, а — значение степени.

В данном случае легко догадаться, что , так как . Но математикам потребовался специальный способ записи для поиска показателя степени , когда известны основание и результат. Этот способ и есть логарифм.

Определение логарифма

Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую нужно возвести основание , чтобы получить число .

Математически это записывается так:

где: * — математический символ логарифма; * — основание логарифма (число, которое мы возводим в степень); * — подлогарифмическое выражение или аргумент (число, которое мы хотим получить); * — значение логарифма (степень, в которую нужно возвести ).

Это равенство равносильно следующему:

где — основание, — показатель степени, — результат возведения в степень.

!Стрелка идет от основания логарифма 'a' к результату 'x', показывая возведение в степень, а затем к аргументу 'b', показывая результат равенства

Проще говоря, запись — это просто вопрос: «В какую степень нужно возвести , чтобы получить ?».

Пример вычисления

Вычислим .

Задаем вопрос: в какую степень нужно возвести основание , чтобы получить ?

Проверяем степени тройки: , .

Нужная степень — вторая.

Ответ: .

Ограничения логарифма

Логарифм определен не для всех чисел. Существуют строгие условия существования логарифма :

Основание . Мы не рассматриваем отрицательные основания, так как возведение отрицательного числа в дробную степень приводит к проблемам с вещественными числами.

Основание . Единица в любой степени равна единице (). С помощью основания невозможно получить никакое другое число , кроме , а если , то может быть любым числом. Поэтому логарифм по основанию не имеет смысла.

Аргумент . Так как положительное основание в любой степени всегда дает положительное число, получить отрицательное число или ноль невозможно.

Основные свойства для вычислений

Существует несколько базовых случаев, которые позволяют вычислять логарифмы мгновенно, не перебирая степени.

Логарифм единицы

Чему равен ? Нужно найти такую степень, чтобы . Из свойств степеней мы знаем, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени дает единицу.

где — допустимое основание логарифма, — аргумент, — результат.

Примеры: * *

Логарифм основания

Чему равен ? Нужно найти степень, чтобы . Очевидно, что это первая степень.

где — основание и аргумент логарифма, — результат.

Примеры: * *

Работа с дробями и отрицательными степенями

Часто аргумент логарифма является дробью. В этом случае значение логарифма будет отрицательным. Вспомним свойство степеней:

где — основание, — отрицательный показатель степени, — дробь, обратная числу .

Пример 1: Вычислить .

Мы знаем, что .

Значит, .

Чтобы из получить , нужно возвести в степень .

Ответ: .

Пример 2: Вычислить .

Переведем десятичную дробь в обыкновенную: .

.

Ответ: .

Работа с корнями

Если аргумент логарифма меньше основания, но они имеют общую корневую базу, результат может быть дробным. Вспомним связь корней и степеней:

где — корень -й степени из , — подкоренное выражение, — дробный показатель степени.

Пример: Вычислить .

Задаем вопрос: в какую степень нужно возвести , чтобы получить ?

Мы знаем, что — это квадратный корень из (так как ).

Корень второй степени соответствует степени или .

Проверка: .

Ответ: .

Алгоритм решения простых задач

Чтобы найти значение , следуйте этому алгоритму:

Представьте равенство в виде уравнения .

Попробуйте представить число как степень числа (то есть ).

Если — это дробь вида , то ответ будет .

Если — это корень из , то ответ будет дробным.

Разбор сложного примера: Найти .

Уравнение: .

Приведем все к основанию .

Основание: .

Аргумент: .

Получаем: .

.

Приравниваем показатели: , значит .

Ответ: .

Итоги

* Логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести , чтобы получить . * Основание логарифма всегда должно быть больше и не равно . Аргумент всегда должен быть больше . * Логарифм единицы по любому допустимому основанию равен (). * Логарифм числа, равного основанию, равен (). * Если аргумент является перевернутым основанием (дробью), значение логарифма будет отрицательным.

Свойства логарифмов: сложение и вычитание логарифмов с одинаковым основанием

В предыдущей статье мы разобрались, что логарифм — это просто показатель степени. Мы научились вычислять простые логарифмы, такие как , задавая себе вопрос: «В какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 8?». Ответ очевиден — в третью.

Но что делать, если нам попадается выражение, которое «в лоб» не решается? Представьте, что вам нужно вычислить:

где — знак логарифма, — основание, и — аргументы.

Попробуем вычислить каждое слагаемое отдельно. В какую степень нужно возвести , чтобы получить ? Целого числа здесь нет, это будет бесконечная непериодическая дробь. То же самое с . Кажется, что задача зашла в тупик. Однако, если мы знаем свойства логарифмов, этот пример решается устно за две секунды.

Логарифмы обладают удивительной способностью превращать сложные действия в простые. Сегодня мы изучим два фундаментальных свойства: сумму и разность логарифмов с одинаковым основанием.

Природа свойств логарифмов

Прежде чем переходить к формулам, вспомним суть. Логарифм — это степень. Вспомните свойства степеней, которые вы изучали в школе. Что происходит с показателями степени при умножении чисел с одинаковым основанием?

где — основание степени, и — показатели степеней, — сумма показателей.

При умножении чисел их степени складываются. Поскольку логарифм — это и есть степень, для него работает зеркальное правило: сумма логарифмов соответствует умножению их аргументов.

Свойство 1: Сумма логарифмов

Это свойство позволяет объединить два «неудобных» логарифма в один «удобный». Если у нас есть сумма двух логарифмов с одинаковым основанием, мы можем заменить их одним логарифмом с тем же основанием, но перемноженными аргументами.

Формула выглядит так:

где: * — обозначение логарифма; * — основание логарифма (должно быть одинаковым для обоих слагаемых); * — аргумент первого логарифма; * — аргумент второго логарифма; * — произведение аргументов.

!Визуализация процесса объединения суммы логарифмов в логарифм произведения

Разбор примера из вступления

Вернемся к нашему примеру:

где — основание, и — аргументы.

Проверяем основания: у обоих логарифмов основание равно . Условие выполнено.

Применяем формулу суммы: заменяем сложение логарифмов на умножение их аргументов внутри одного логарифма.

где — новое подлогарифмическое выражение.

Выполняем умножение: .

Вычисляем полученный логарифм. В какую степень нужно возвести , чтобы получить ? Во вторую.

Ответ: 2.

Обратите внимание: мы не могли вычислить и по отдельности, но их сумма дала красивый целый результат. Именно в этом заключается мощь свойств логарифмов.

Еще один пример на сложение

Вычислить значение выражения:

где — основание, и — аргументы.

Основания одинаковые ().

Применяем свойство: перемножаем аргументы и .

Вычисляем . В какую степень нужно возвести , чтобы получить ? Из таблицы умножения мы знаем, что .

Значит, степень равна .

Ответ: 2.

Свойство 2: Разность логарифмов

Второе свойство работает аналогично, но связано с делением. Вспомним свойства степеней: при делении чисел с одинаковым основанием их показатели вычитаются.

где — основание, и — показатели, — разность показателей.

Следовательно, для логарифмов работает правило: разность логарифмов соответствует делению их аргументов.

Формула:

где: * — одинаковое основание логарифмов; * — аргумент уменьшаемого (того логарифма, из которого вычитают); * — аргумент вычитаемого (того логарифма, который вычитают); * — частное от деления первого аргумента на второй.

Важно: Порядок имеет значение! Мы всегда делим аргумент первого логарифма на аргумент второго. Не перепутайте.

Пример вычисления разности

Вычислим выражение:

где — основание, — первый аргумент, — второй аргумент.

По отдельности и не вычисляются в целых числах (5 в целой степени не дает ни 75, ни 3). Применим свойство разности.

Основания одинаковые ().

Заменяем вычитание логарифмов на деление аргументов.

Выполняем деление: .

Вычисляем логарифм. В какую степень нужно возвести , чтобы получить ? Во вторую.

Ответ: 2.

Пример с дробями

Свойства работают и с дробными числами. Рассмотрим такой пример:

где — основание, и — аргументы.

Здесь у нас сложение, значит, мы должны умножить аргументы.

Объединяем логарифмы:

Выполняем умножение дроби на число: .

В какую степень нужно возвести , чтобы получить ? В третью ().

Ответ: 3.

Комбинированные задачи

В одном выражении могут встречаться и сложение, и вычитание. В таких случаях действия выполняются последовательно слева направо, как в обычной арифметике, либо можно сразу записать общую дробь.

Рассмотрим выражение:

где — основание для всех логарифмов.

Способ 1: Пошаговый

Сначала выполним сложение первых двух логарифмов:

.

Теперь выражение выглядит так:

.

Выполним вычитание (деление аргументов):

.

Вычисляем .

Способ 2: Быстрый

Можно сразу записать все аргументы под один логарифм. Те аргументы, которые стоят со знаком «плюс», идут в числитель (наверх), а те, что со знаком «минус» — в знаменатель (вниз).

где и — множители в числителе, — делитель в знаменателе.

Сократим дробь: * и сокращаются на , в знаменателе остается . * .

Получаем тот же результат: .

Типичные ошибки новичков

При работе с логарифмами очень легко попасть в ловушку визуального сходства формул. Давайте разберем самые опасные ошибки, чтобы вы их никогда не совершали.

Ошибка 1: Логарифм суммы

НЕВЕРНО:

Это грубейшая ошибка. Логарифм суммы не равен сумме логарифмов. Для выражения не существует простой формулы разложения. Сначала нужно выполнить сложение внутри скобок, и только потом вычислять логарифм.

Пример: . А если бы мы ошибочно расписали это как сумму, получили бы . Как видите, .

Ошибка 2: Логарифм разности

НЕВЕРНО:

Аналогично предыдущему пункту. Логарифм разности не раскрывается. Сначала вычитаем числа внутри, потом берем логарифм.

Ошибка 3: Разные основания

НЕВЕРНО:

Свойства сложения и вычитания работают только если у логарифмов одинаковое основание. Если основания разные (как 2 и 3 в примере выше), формулы применять нельзя. В таком случае нужно вычислять каждый логарифм отдельно: .

Практический алгоритм решения

Когда вы видите выражение с суммой или разностью логарифмов, действуйте по этому плану:

Проверьте основания. Посмотрите на маленькое число внизу у каждого логарифма. Они одинаковые? Если да — идем дальше. Если нет — формулы применять нельзя.

Определите знаки. Посмотрите, какие логарифмы складываются, а какие вычитаются.

Соберите аргументы.

* Если сумма (+) умножаем аргументы. * Если разность (-) делим аргументы.

Упростите выражение. Выполните арифметические действия (умножение/деление) внутри полученного аргумента.

Вычислите финальный логарифм. Найдите значение, ответив на вопрос «в какую степень возвести основание?».

Итоги

* Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов: . * Разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного их аргументов: . * Эти свойства работают только при одинаковых основаниях . * Не путайте логарифм суммы с суммой логарифмов — это совершенно разные вещи. * Свойства позволяют вычислять значения выражений, которые невозможно посчитать по частям.