Логарифмы и логарифмическая функция: подготовка к контрольной

Понятие логарифма, основное тождество и простейшие вычисления

В математике многие операции имеют свои обратные действия. У сложения есть вычитание, у умножения — деление. Когда мы возводим число в степень, например , мы знаем основание () и показатель степени (), чтобы получить результат (). Но что делать, если мы знаем результат и основание, но не знаем показатель степени?

Представьте уравнение:

Здесь — основание, — неизвестный показатель, — результат возведения в степень. Методом подбора легко найти, что , так как .

Однако, если уравнение выглядит так:

Здесь — основание, — результат. Целого решения здесь нет, так как , а . Искомое число находится где-то между 2 и 3. Чтобы точно записать это число, математики ввели понятие логарифма.

Определение логарифма

Логарифмом положительного числа по основанию (где ) называется показатель степени, в которую нужно возвести число , чтобы получить число .

Математически это записывается так:

Где:

— обозначение операции логарифмирования;

— основание логарифма (то число, которое мы возводим в степень);

— подлогарифмическое выражение или аргумент (число, которое должно получиться в результате);

— значение логарифма (показатель степени);

— знак равносильности, означающий «тогда и только тогда».

Простыми словами: запись отвечает на вопрос «В какую степень нужно возвести , чтобы получить ?».

!Взаимосвязь между возведением в степень и логарифмированием

Примеры вычисления простейших логарифмов

Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить определение:

, так как . Здесь — основание, — аргумент, — результат.

, так как . Здесь — основание, — аргумент, — результат.

, так как . Здесь — основание, — аргумент, — результат.

, так как . Здесь — основание, — аргумент, — результат.

, так как . Здесь — основание, — аргумент, — результат.

Ограничения (Область допустимых значений)

В определении логарифма мы указали строгие ограничения для и . Давайте разберем, почему они существуют. Это критически важно для решения уравнений и неравенств в будущем.

Почему основание и ?

Если :

Уравнение имеет смысл только если (тогда — любое число) или не имеет решений вовсе, если . Логарифм теряет смысл как однозначная функция.

Если :

Возведение отрицательного числа в дробную степень (например, ) приводит к извлечению корня четной степени из отрицательного числа, что невозможно в действительных числах. Чтобы избежать «дырок» в функции и комплексных чисел, основание всегда берут положительным.

Если :

(при ). Это также вырожденный случай, не представляющий интереса для логарифмирования.

Почему аргумент ?

Так как основание всегда положительно (), то при возведении положительного числа в любую степень (положительную, отрицательную или ноль) результат всегда будет строго положительным. Получить отрицательное число или ноль, возводя положительное число в степень, невозможно.

Следовательно, выражение не имеет смысла.

Основное логарифмическое тождество

Из определения логарифма следует важнейшее тождество, которое часто используется для упрощения выражений. Если мы знаем, что — это степень, в которую нужно возвести , чтобы получить , то что произойдет, если мы действительно возведем в эту степень?

Мы получим само число .

Формула основного логарифмического тождества:

Где:

— основание степени и логарифма ();

— подлогарифмическое выражение ();

— показатель степени.

Примеры использования тождества

Это тождество позволяет «схлопывать» сложные выражения, если основание степени и основание логарифма в показателе совпадают.

. Основания () совпадают, результат равен аргументу логарифма ().

. Основания () совпадают, результат равен .

. Здесь сразу применить тождество нельзя, мешает множитель . Сначала нужно преобразовать выражение (об этом мы поговорим в следующих статьях о свойствах логарифмов), либо вычислить (если это возможно), но в данном виде тождество работает только для «чистого» логарифма.

Иногда требуется привести основание степени к основанию логарифма. Рассмотрим пример:

Здесь — основание степени, — основание логарифма, — аргумент. Основания разные, но . Запишем это:

Где — новое основание, и — множители в показателе. Это более сложный случай, который решается через свойства логарифмов, но важно замечать связь между числами.

Особые виды логарифмов

В математике и технике два основания встречаются настолько часто, что для них придумали специальные обозначения.

Десятичный логарифм

Логарифм по основанию называется десятичным логарифмом и обозначается как .

Где:

— сокращенная запись десятичного логарифма;

— аргумент.

Примеры:

(так как )

(так как )

(так как )

Натуральный логарифм

Логарифм по основанию называется натуральным логарифмом и обозначается как .

Где:

— сокращенная запись натурального логарифма;

— число Эйлера, иррациональная константа, приблизительно равная ;

— аргумент.

Число играет фундаментальную роль в высшей математике, физике и экономике, поэтому натуральные логарифмы встречаются в задачах очень часто.

Примеры:

(так как )

(так как )

(так как )

Простейшие свойства для вычислений

Даже не зная всех свойств логарифмов, можно вывести три базовых правила прямо из определения. Они помогут вам мгновенно решать простые задачи.

1. Логарифм единицы

Где — любое допустимое основание. Это верно, потому что любое число (кроме 0) в нулевой степени дает единицу: .

2. Логарифм основания

Где — основание и аргумент. Это верно, потому что .

3. Логарифм степени основания

Где — основание, — показатель степени аргумента. Это следует из определения: в какую степень нужно возвести , чтобы получить ? Очевидно, в степень .

Практический разбор вычислений

Давайте решим несколько примеров, комбинируя полученные знания.

Пример 1: Вычислить . Решение: Задаем вопрос: «2 в какой степени дает 32?». Перебираем степени двойки: . Это пятая степень. Ответ: 5.

Пример 2: Вычислить . Решение: — это . Так как число находится в знаменателе, значит, степень отрицательная. . Ответ: -3.

Пример 3: Вычислить . Решение: В какую степень нужно возвести , чтобы получить ? Мы знаем, что квадратный корень в квадрате дает подкоренное число: . Ответ: 2.

Пример 4: Вычислить . Решение: Здесь нам понадобятся свойства степеней. . Распишем выражение:

Где — первый множитель, — второй множитель. Вычисляем по отдельности: . (по основному логарифмическому тождеству). Итого: . Ответ: 250.

Итоги

* Логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести основание , чтобы получить число . * Ограничения: Основание должно быть больше 0 и не равно 1. Аргумент должен быть строго больше 0. * Основное тождество: позволяет упрощать выражения, где основание степени и логарифма совпадают. * Специальные обозначения: — десятичный логарифм (основание 10), — натуральный логарифм (основание ). * Базовые значения: Логарифм единицы всегда равен 0, логарифм самого основания равен 1.

Свойства логарифмов: действия со степенями и переход к новому основанию

В предыдущей статье мы разобрали, что такое логарифм, и научились вычислять простейшие примеры, такие как . Однако в контрольных работах и экзаменах редко встречаются такие «удобные» числа. Чаще вам придется работать с выражениями, где аргументы возведены в огромные степени, или где основания логарифмов не совпадают.

Представьте, что вам нужно вычислить . Возводить 8 в сотую степень — занятие бессмысленное и долгое. Или вам нужно сложить . Основания разные (2 и 4), и просто так сложить их нельзя. Именно здесь на помощь приходят свойства логарифмов, связанные со степенями и заменой основания.

Эти инструменты превращают громоздкие выражения в простые арифметические задачи.

Логарифм степени (вынос показателя аргумента)

Это одно из самых часто используемых свойств. Оно позволяет «снять» степень с аргумента и превратить её в множитель перед логарифмом.

Формула

Где:

— основание логарифма ();

— подлогарифмическое выражение ();

— показатель степени аргумента (любое действительное число);

— знак логарифма.

Суть свойства проста: показатель степени аргумента «перепрыгивает» вперед и становится обычным множителем.

!Визуализация правила выноса степени аргумента

Примеры

Вычисление больших степеней:

Где — вынесенная степень, — оставшийся логарифм. Так как , получаем:

Работа с корнями:

Корень всегда можно представить как дробную степень: . Где — показатель степени корня. Так как , ответ равен .

Важное замечание о четных степенях

Если в формуле число — четное (2, 4, 6...), то под логарифмом может скрываться отрицательное число, ведь . Однако, если мы вынесем четную степень вперед, останется «голый» аргумент . Если было отрицательным, мы получим логарифм от отрицательного числа, что запрещено.

Поэтому для четных формула выглядит так:

Где:

— четный показатель степени;

— модуль аргумента.

Это критически важно при решении уравнений. Например, , а не просто .

Логарифм степени основания (вынос показателя основания)

Что делать, если степень находится не у аргумента, а в «подвале» — у основания логарифма? Например, , где .

Формула

Где:

— основание степени ();

— показатель степени основания ();

— аргумент ().

Правило запоминания: степень из основания (снизу) идет в знаменатель дроби перед логарифмом (тоже вниз). Степень переворачивается.

Примеры

Упрощение основания:

Здесь заменили на . Выносим тройку вперед как :

Дробное основание:

Здесь заменили на . Выносим вперед (обратное число к это тоже ):

Комбинированное свойство

Часто приходится применять оба правила одновременно. Это позволяет приводить логарифмы к «чистому» виду за один шаг.

Где:

— степень аргумента (идет в числитель);

— степень основания (идет в знаменатель);

— основание и аргумент.

Пример: Вычислить . Представим оба числа как степени тройки: , .

Переход к новому основанию

Это, пожалуй, самый мощный инструмент для решения сложных задач. Иногда вам даны логарифмы с разными основаниями, например и . Чтобы производить с ними действия, нужно привести их к одному основанию.

Основная формула перехода

Где:

— старое основание ();

— аргумент ();

— любое новое удобное вам основание ().

Обратите внимание: аргумент идет в числитель (наверх), а старое основание идет в знаменатель (вниз). Это легко запомнить визуально: то, что было выше (), остается выше, то, что было ниже (), уходит вниз.

Зачем это нужно?

Вычисления на калькуляторе: Обычные калькуляторы имеют кнопки только для (основание 10) и (основание ). Чтобы вычислить , нужно использовать формулу перехода:

Упрощение выражений:

Допустим, нужно вычислить . Мы видим одинаковое основание . Мы можем использовать формулу перехода в обратную сторону («свернуть» дробь): Где — число из знаменателя, ставшее новым основанием, а — число из числителя. Результат равен .

Следствия из формулы перехода

Из формулы перехода вытекают два полезных трюка, которые часто встречаются в заданиях части B и C (профильный уровень).

1. Обмен основания и аргумента местами

Если в формуле перехода в качестве нового основания взять число , то получим:

Формула:

Где:

— основание и аргумент (оба должны быть и ).

Это свойство позволяет «перевернуть» логарифм. Например, если , то .

2. Цепное правило (Правило домино)

Рассмотрим произведение двух логарифмов:

Перепишем первый логарифм через основание :

А это, согласно формуле перехода, равно .

Формула:

Где:

— «связующее звено», которое сокращается.

Это работает и для длинных цепочек:

Мы как бы «схлопываем» середину, оставляя только самое первое основание и самый последний аргумент.

Практический разбор сложного примера

Давайте решим задачу, комбинирующую все изученные свойства.

Задание: Вычислить значение выражения

Решение по шагам:

Рассмотрим первое слагаемое: .

Приведем основание степени к основанию логарифма . Мы знаем, что . Внесем множитель в аргумент логарифма (свойство степени аргумента): Используем основное логарифмическое тождество ():

Рассмотрим второе слагаемое: .

Используем цепное правило. Аргумент первого логарифма () совпадает с основанием второго (). Они «сокращаются»: Вычисляем простой логарифм:

Финальное действие:

Вычитаем результаты:

Ответ: 22.

Итоги

* Степень аргумента выносится вперед как множитель: . Не забывайте про модуль, если степень четная! * Степень основания выносится вперед как обратное число (в знаменатель): . * Переход к новому основанию позволяет менять базу логарифма: . * Обмен местами: и — взаимно обратные числа. * Цепное правило: позволяет упрощать произведения логарифмов.