Экспресс-курс школьной математики: с 1 по 11 класс

Фундамент математики: арифметика, натуральные числа и простейшая геометрия начальной школы

Добро пожаловать в экспресс-курс школьной математики! Мы начинаем наше путешествие с самого начала — с фундамента, на котором строится вся остальная наука. Даже если вы изучаете высшую математику, корни всех сложных теорий уходят именно сюда: к умению считать яблоки, измерять длину забора и понимать, чем цифра отличается от числа.

В этой статье мы разберем базовые понятия арифметики, научимся правильно выполнять действия с натуральными числами и вспомним основы геометрии.

Натуральные числа и цифры

Первое, с чем сталкивается человек — это необходимость посчитать предметы. Сколько мамонтов в стаде? Сколько монет в кошельке?

Натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете предметов. Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой .

Где: * — обозначение множества натуральных чисел. * — бесконечный ряд чисел, начинающийся с единицы.

> Важно: В российской школьной программе ноль () обычно не считается натуральным числом, так как мы не можем сказать «у меня ноль яблок», когда начинаем считать предметы. Ноль означает отсутствие предметов.

Чем число отличается от цифры?

Это одна из самых частых путаниц.

* Цифра — это символ, значок. Их всего десять: . Это как буквы в алфавите. * Число — это величина, которая записывается с помощью цифр. Это как слова, составленные из букв.

Например, число состоит из трех цифр: , и . Наша система счисления называется десятичной позиционной, потому что значение цифры зависит от её места (позиции). В числе : * — это единицы, * — это десятки, * — это сотни.

!Схематичное различие между цифрой как символом и числом как величиной

Четыре кита арифметики

Арифметика строится на четырех основных действиях. Давайте вспомним их названия и смысл.

1. Сложение

Сложение — это объединение двух групп предметов в одну.

Где: * — первое слагаемое, * — второе слагаемое, * — сумма.

Основное свойство сложения (переместительный закон): от перестановки мест слагаемых сумма не меняется ().

2. Вычитание

Вычитание — это действие, обратное сложению. Мы узнаем, сколько останется, если часть забрать.

Где: * — уменьшаемое (то, что уменьшаем), * — вычитаемое (то, что вычитаем), * — разность.

3. Умножение

Умножение — это умное сложение. Вместо того чтобы писать , мы пишем . Это означает «взять число 2 пять раз».

Где: * — первый множитель, * — второй множитель, * — произведение.

Здесь также работает переместительный закон: . Результат не изменится, если вы купите 3 пакета по 5 яблок или 5 пакетов по 3 яблока — яблок будет 15.

4. Деление

Деление — это разбиение числа на равные части. Это действие, обратное умножению.

Где: * — делимое (то, что делим), * — делитель (на сколько частей делим), * — частное (результат).

> Золотое правило математики: На ноль делить нельзя! Деление на ноль не имеет смысла, так как невозможно раздать конфеты «никому» или разложить их по «нулевому количеству» кучек.

Иногда число не делится нацело. Тогда появляется остаток. Например, (остаток ). Это значит, что в семерке помещается три двойки, и еще единица остается лишней.

Порядок действий

Чтобы примеры решались однозначно, математики договорились о строгом порядке действий. Если в примере нет скобок, приоритет следующий:

Умножение и деление (выполняются слева направо).

Сложение и вычитание (выполняются слева направо).

Если есть скобки, то действие в скобках выполняется в первую очередь.

Рассмотрим пример:

Где: * Сначала выполняется умножение: , * Затем сложение: . * Если бы мы просто шли слева направо без правил, получилось бы , что неверно.

Основы геометрии: Точки и Линии

Геометрия начинается не с фигур, а с простейших элементов.

Основные понятия

* Точка — самый простой объект. Она не имеет размера, это просто место в пространстве. Обозначается заглавной латинской буквой (например, точка ). * Прямая — это бесконечная линия, которая не имеет ни начала, ни конца. Через любые две точки можно провести только одну прямую. * Луч — это часть прямой, у которой есть начало (точка), но нет конца. Представьте луч солнца: он начинается на Солнце и летит бесконечно далеко. * Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками (началом и концом). Это то, что мы можем измерить линейкой.

!Наглядное различие между прямой, лучом и отрезком

Измерение длины

Для измерения отрезков мы используем единицы длины. Основные соотношения, которые нужно помнить:

* см = мм * дм (дециметр) = см * м = см * км = м

Простейшие фигуры и их параметры

Когда мы соединяем отрезки, получаются геометрические фигуры. Самые важные для начала — это прямоугольник и квадрат.

Периметр

Периметр — это общая длина границы фигуры. Представьте, что вам нужно огородить участок забором. Длина этого забора и будет периметром. Обозначается буквой .

Для прямоугольника со сторонами и формула периметра выглядит так:

Где: * — периметр, * — длина прямоугольника, * — ширина прямоугольника, * — сумма длины и ширины (полупериметр), которую мы умножаем на 2, так как у прямоугольника две длины и две ширины.

Для квадрата (у которого все стороны равны ):

Где: * — периметр квадрата, * — длина стороны квадрата, * — количество сторон.

Площадь

Площадь — это место, которое фигура занимает на плоскости. Если периметр — это длина забора, то площадь — это количество травы внутри забора. Обозначается буквой .

Площадь измеряется в квадратных единицах (кв. см, кв. м).

Формула площади прямоугольника:

Где: * — площадь, * — длина, * — ширина.

Формула площади квадрата:

Где: * — площадь, * — сторона квадрата.

!Разница между периметром (границей) и площадью (внутренним пространством)

Заключение

Мы заложили первый камень в фундамент вашего математического образования. Мы разобрали:

Натуральные числа (для счета).

Разницу между числом и цифрой.

Четыре арифметических действия и порядок их выполнения.

Базовые геометрические понятия: от точки до площади прямоугольника.

В следующей статье мы перейдем к тому, что пугает многих школьников, но на самом деле является очень логичным — к дробям и долям.

Расширение числовых множеств: обыкновенные и десятичные дроби, проценты и пропорции

В предыдущей статье мы говорили о натуральных числах — тех, которые используются для счета целых предметов (1 яблоко, 2 дома, 10 мамонтов). Но жизнь редко бывает такой «целой». Что делать, если у нас есть одно яблоко на двоих? Или если нужно отмерить полтора метра ткани?

Натуральных чисел () становится недостаточно. Нам нужно расширить наш математический инструментарий и ввести понятие дробных чисел. Сегодня мы разберем, как математики записывают части целого, как эти части связаны с процентами и как работают пропорции.

Обыкновенные дроби: делим целое на части

Самый древний и интуитивный способ записать нецелое число — это обыкновенная дробь. Представьте пиццу, которую разрезали на 8 равных кусков. Если вы съели 3 куска, то вы съели «три восьмых» пиццы.

Математически это записывается так:

Где: — числитель (число сверху). Он показывает, сколько* частей мы взяли. — знаменатель (число снизу). Он показывает, на сколько* равных частей было разделено целое. * Горизонтальная черта — это знак деления.

!Иллюстрация дроби три восьмых на примере круга

Виды дробей

Правильная дробь: Числитель меньше знаменателя (например, , ). Такая дробь всегда меньше единицы.

Неправильная дробь: Числитель больше или равен знаменателю (например, , ). Такая дробь больше или равна единице.

Смешанное число: Состоит из целой части и дробной. Например, если у вас есть две целые пиццы и еще половинка, это записывается как .

Основное свойство дроби

Это магия, которая позволяет упрощать жизнь. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится.

Где: * и — исходные числитель и знаменатель, * — число, на которое мы умножаем обе части.

Пример: пиццы — это то же самое, что пиццы или . Количество еды одинаковое, меняется только название долей.

Десятичные дроби: язык денег и компьютеров

Обыкновенные дроби удобны для понимания, но неудобны для записи в строку или для быстрых вычислений на калькуляторе. Поэтому человечество придумало десятичные дроби.

Суть проста: мы договариваемся, что в знаменателе всегда будет стоять , , и так далее. А чтобы не писать знаменатель каждый раз, мы используем запятую (в англоязычных странах — точку).

Запись читается как «ноль целых, семь десятых».

Где: * — целая часть, * — дробная часть (числитель дроби со знаменателем 10).

Разряды после запятой

Как и в целых числах, позиция цифры имеет значение:

* Первая цифра после запятой — десятые доли (). * Вторая цифра — сотые доли (). * Третья цифра — тысячные доли ().

Пример числа :

Где: * — целые единицы, * — одна десятая, * — четыре сотых.

> Лайфхак: Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно просто разделить числитель на знаменатель. Например, .

Проценты: универсальная мера

Слово «процент» происходит от латинского pro centum, что означает «на сотню». Процент — это просто одна сотая часть чего-либо. Это частный случай десятичной дроби.

Обозначается знаком .

Где: * — один процент, * — обыкновенная дробь (одна сотая), * — десятичная запись.

Как переводить числа в проценты и обратно?

Из числа в проценты: Умножаем на 100 и добавляем значок .

* *

Из процентов в число: Убираем значок и делим на 100 (сдвигаем запятую на два знака влево).

* *

Нахождение процента от числа

Чтобы найти от числа , нужно перевести проценты в десятичную дробь и умножить.

Пример: Найти от рублей.

Где: * — итоговая сумма, * — исходное число, * — это , переведенные в дробь.

!Визуализация эквивалентности дробей и процентов

Пропорции: математика рецептов

Пропорция — это равенство двух отношений (дробей). Это инструмент, который мы используем интуитивно, когда готовим еду или рассчитываем путь.

Если для омлета из 2 яиц нужно 100 мл молока, то для омлета из 4 яиц нужно 200 мл молока. Отношение яиц к молоку остается неизменным.

Записывается это так:

Где: * — члены пропорции (числа, не равные нулю). * Читается как: « относится к так же, как относится к ».

Основное свойство пропорции

Это правило позволяет находить неизвестные величины. В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.

Если , то:

Где: * и — крайние члены (первое и последнее число в записи), * и — средние члены.

Пример использования

Задача: Автомобиль расходует 8 литров бензина на 100 км. Сколько литров нужно, чтобы проехать 350 км?

Составим пропорцию:

Где: * — литры на известное расстояние, * — известное расстояние, * — неизвестное количество литров, * — новое расстояние.

Применяем основное свойство (крест-накрест):

Ответ: нужно 28 литров.

Заключение

Мы сделали огромный шаг вперед. Теперь вы умеете:

Работать с частями целого через обыкновенные дроби.

Записывать числа в удобном для компьютера формате десятичных дробей.

Понимать суть скидок и кредитов через проценты.

Находить неизвестные величины с помощью пропорций.

Эти инструменты покрывают 90% математики, которая нужна в повседневной жизни. Но чтобы описывать мир еще точнее, нам нужно научиться работать с неизвестными величинами не только в пропорциях. В следующей статье мы откроем дверь в Алгебру: познакомимся с переменными, уравнениями и отрицательными числами.