Математика 8 класс: Алгебра и Геометрия

Рациональные дроби и свойства арифметического квадратного корня

Добро пожаловать в курс алгебры и геометрии для 8 класса! Мы начинаем наше путешествие с фундаментальных тем, которые станут основой для всего дальнейшего изучения математики. Сегодня мы разберем два важных понятия: рациональные дроби и арифметический квадратный корень. Эти инструменты позволят нам работать с более сложными уравнениями и описывать окружающий мир точнее, чем просто целыми числами.

Рациональные дроби

В младших классах вы уже сталкивались с обыкновенными дробями, такими как или . В алгебре мы расширяем это понятие. Что если вместо чисел в числителе и знаменателе будут стоять переменные или целые выражения?

Определение рациональной дроби

Рациональная дробь — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. В общем виде её можно записать так:

Где — числитель (многочлен), а — знаменатель (ненулевой многочлен).

Примеры рациональных дробей: - - -

Область допустимых значений (ОДЗ)

Самое важное правило, которое нужно помнить при работе с дробями: на ноль делить нельзя. Поскольку знаменатель дроби — это делитель, он никогда не должен превращаться в ноль.

Рассмотрим дробь:

Где — числитель, а — знаменатель.

Эта дробь имеет смысл при всех значениях переменной , кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль. Чтобы найти эти запрещенные значения, нужно решить уравнение:

Где — переменная, — число, которое мы вычитаем.

Отсюда следует, что . Значит, при дробь не существует. Мы говорим, что область допустимых значений этой дроби — все числа, кроме .

Основное свойство рациональной дроби

Это свойство позволяет нам сокращать дроби или приводить их к общему знаменателю. Оно звучит так: если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, тождественно равная данной.

Запишем это на языке формул:

Где:

— исходный числитель;

— исходный знаменатель;

— множитель (многочлен), не равный нулю.

Это свойство работает в обе стороны. Слева направо — это приведение к новому знаменателю, а справа налево — сокращение дроби.

Пример сокращения:

Здесь мы вынесли за скобки в числителе и сократили на него и числитель, и знаменатель.

Арифметический квадратный корень

Теперь перейдем к одной из самых интересных тем 8 класса. До сих пор мы часто возводили числа в квадрат: , . Но что, если нам нужно выполнить обратное действие? У нас есть площадь квадрата, и мы хотим найти длину его стороны.

!Схема, показывающая геометрический смысл квадратного корня: нахождение стороны квадрата по его площади.

Определение

Арифметическим квадратным корнем из числа называется такое неотрицательное число , квадрат которого равен .

Обозначается это так:

Где:

— знак корня (радикал);

— подкоренное выражение (должно быть );

— значение корня ( и ).

Важно: Подкоренное выражение не может быть отрицательным (в рамках действительных чисел), так как квадрат любого числа всегда неотрицателен. Также результат арифметического корня всегда неотрицателен.

Пример: , потому что и .

Частая ошибка: многие думают, что может быть равен , так как тоже равно . Но определение арифметического корня требует, чтобы результат был неотрицательным. Поэтому .

Свойства арифметического квадратного корня

Свойства корней помогают нам упрощать выражения и решать уравнения. Рассмотрим основные из них.

#### 1. Корень из произведения

Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Где:

и — неотрицательные числа;

— знак умножения.

Пример:

#### 2. Корень из дроби

Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.

Где:

— числитель ();

— знаменатель ().

Пример:

#### 3. Корень из степени (важное свойство!)

Это свойство часто вызывает трудности, поэтому обратите на него особое внимание. Чему равен ?

Казалось бы, корень и квадрат «уничтожают» друг друга, и должно получиться просто . Но давайте проверим. Пусть . Тогда . Мы получили , а не . Значит, просто убрать корень и квадрат нельзя.

Правильная формула:

Где:

— любое число;

— модуль числа (абсолютная величина).

Это равенство гарантирует, что результат извлечения корня будет неотрицательным, каким бы ни было число .

Внесение и вынесение множителя

Используя свойства корней, мы можем преобразовывать выражения, которые не вычисляются нацело.

Вынесение множителя из-под знака корня: Если под корнем есть множитель, являющийся полным квадратом, его можно извлечь.

Здесь мы разложили на и , извлекли корень из и получили , умноженное на корень из .

Внесение множителя под знак корня: Чтобы внести положительный множитель под корень, его нужно возвести в квадрат.

Здесь мы возвели в квадрат, получили и умножили на подкоренное число .

Заключение

Сегодня мы заложили первый кирпичик в фундамент алгебры 8 класса. Мы узнали, что рациональные дроби ведут себя похоже на обычные, но требуют внимания к области допустимых значений. Мы также познакомились с арифметическим квадратным корнем — операцией, обратной возведению в квадрат, и узнали, почему — это модуль , а не просто .

Эти знания понадобятся нам уже совсем скоро, когда мы начнем решать квадратные уравнения и строить графики функций. Успехов в изучении!

Квадратные уравнения: методы решения и теорема Виета

Приветствуем вас на следующем этапе нашего курса! В прошлой статье мы подробно разобрали, что такое арифметический квадратный корень и как работать с рациональными дробями. Эти знания нам сегодня жизненно необходимы. Если вы помните, мы выяснили, что операция извлечения корня обратна возведению в квадрат. Сегодня мы применим этот инструмент для решения одной из самых фундаментальных задач алгебры — решения квадратных уравнений.

Квадратные уравнения встречаются повсюду: от расчета траектории полета мяча (или космической ракеты) до вычисления площадей и оптимизации прибыли в экономике. Давайте разберемся, как они устроены и как их «взломать».

Что такое квадратное уравнение?

В 7 классе вы научились решать линейные уравнения, например, . В таких уравнениях переменная стоит в первой степени. Но если переменная возводится в квадрат (во вторую степень), уравнение становится квадратным.

Определение

Квадратное уравнение — это уравнение вида:

Где:

— переменная (неизвестное число);

— первый (старший) коэффициент. Он обязательно не должен быть равен нулю ();

— второй коэффициент;

— свободный член.

Почему важно, чтобы ? Потому что если станет нулем, то слагаемое исчезнет, и уравнение превратится в линейное , которое мы уже умеем решать.

Примеры:

(здесь , , )

(здесь , , )

(здесь , , )

Неполные квадратные уравнения

Прежде чем переходить к универсальному методу, рассмотрим частные случаи. Если коэффициенты или равны нулю, уравнение называется неполным. Решать их проще и быстрее.

Случай 1:

Уравнение принимает вид:

Где:

— старший коэффициент;

— второй коэффициент;

— переменная.

Метод решения: Разложение на множители. Мы можем вынести общий множитель за скобки:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, у нас два варианта: 1. 2.

Пример: Выносим : . Ответ: , .

Случай 2:

Уравнение принимает вид:

Где:

— старший коэффициент;

— свободный член;

— переменная.

Метод решения: Выражаем . Перенесем в правую часть:

Здесь важно проанализировать правую часть. Если , то решений нет (квадрат числа не может быть отрицательным). Если же число положительное, то мы извлекаем корень:

Где:

означает, что корня два: положительный и отрицательный;

— арифметический квадратный корень.

Пример: .

Универсальный метод: Дискриминант

Что делать, если уравнение полное, то есть не равны нулю? Например, . Подбором решать сложно. На помощь приходит специальная величина — дискриминант.

!Блок-схема, показывающая зависимость количества корней от знака дискриминанта

Формула дискриминанта

Дискриминант обозначается буквой . Формула для его вычисления:

Где:

— дискриминант;

— второй коэффициент уравнения;

— старший коэффициент;

— свободный член.

Именно знак дискриминанта определяет судьбу нашего уравнения:

Если , уравнение имеет два различных корня.

Если , уравнение имеет один корень (или два совпадающих).

Если , уравнение не имеет действительных корней.

Формула корней

Если , корни находятся по следующей формуле:

Где:

— искомые корни уравнения;

— второй коэффициент, взятый с противоположным знаком;

— указание на то, что для одного корня мы прибавляем корень из дискриминанта, а для другого — вычитаем;

— корень из дискриминанта;

— удвоенный старший коэффициент.

Пример решения

Решим уравнение: .

Выпишем коэффициенты: , , .

Найдем дискриминант:

Где — это квадрат минус пяти, а — результат умножения .

Так как , у нас будет два корня. Корень из дискриминанта .

Найдем корни:

Ответ: и .

Теорема Виета

Существует изящный способ решать некоторые квадратные уравнения устно, не прибегая к громоздкой формуле дискриминанта. Этот метод подарил нам французский математик Франсуа Виет.

Теорема Виета особенно удобна для приведенных квадратных уравнений. Это уравнения, где старший коэффициент . Они выглядят так:

Где:

— переменная;

— второй коэффициент (аналог );

— свободный член (аналог ).

Формулировка теоремы

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Запишем это математически:

Где:

— корни уравнения;

— число, противоположное коэффициенту при ;

— свободный член.

Как это работает на практике?

Допустим, нам нужно решить уравнение .

Здесь , . Согласно теореме Виета:

Сумма корней .

Произведение корней .

Зададим себе вопрос: какие два числа при умножении дают , а при сложении ? Перебираем множители : и (сумма 13 — не подходит), и (сумма 8 — не подходит), и (сумма 7 — подходит!).

Ответ: .

> «Математика представляет собой искуснейшее изобретение, способное удовлетворить любознательность и облегчить ремёсла». — Рене Декарт

Теорема Виета для общего случая

Если уравнение не приведенное (), теорема тоже работает, но формулы выглядят чуть сложнее:

Где:

— коэффициенты полного квадратного уравнения.

Обычно в школе для полных уравнений используют дискриминант, а теорему Виета применяют для проверки полученных ответов или для быстрых решений приведенных уравнений.

Заключение

Сегодня мы вооружились мощными инструментами. Мы узнали:

Как решать неполные уравнения (вынесением множителя или переносом слагаемых).

Как использовать дискриминант для решения любого квадратного уравнения.

Как с помощью теоремы Виета решать уравнения в уме и проверять себя.

Эти навыки станут базой для следующей темы, где мы будем изучать квадратный трехчлен и его свойства, а также строить графики квадратичных функций — параболы. Обязательно потренируйтесь в решении задач ниже, чтобы закрепить материал!

Числовые неравенства и системы линейных неравенств

Приветствуем вас в третьей части нашего курса! В предыдущих статьях мы научились работать с рациональными дробями, извлекать квадратные корни и решать квадратные уравнения. Мы искали точные значения переменных, при которых выражения становятся равными нулю или другому числу.

Но в реальной жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда нам не нужно точное равенство. Нам важно знать, хватит ли денег на покупку (сумма должна быть меньше или равна бюджету), успеем ли мы на поезд (время в пути должно быть меньше времени до отправления) или какую минимальную оценку нужно получить за контрольную. Здесь на сцену выходят неравенства.

Что такое числовые неравенства?

Если уравнения говорят нам о том, что два выражения равны, то неравенства показывают результат сравнения двух чисел или выражений.

Основные знаки сравнения

Мы используем следующие символы:

* (больше) * (меньше) * (больше или равно / не меньше) * (меньше или равно / не больше)

Неравенства со знаками и называются строгими. Неравенства со знаками и называются нестрогими.

Свойства числовых неравенств

Чтобы решать неравенства с переменными, нужно понимать, как ведут себя обычные числа. Эти свойства очень похожи на свойства уравнений, но есть одно критически важное отличие.

1. Транзитивность Если первое число больше второго, а второе больше третьего, то первое число больше третьего.

Где — любые действительные числа.

2. Сложение и вычитание К обеим частям неравенства можно прибавить (или вычесть) одно и то же число, знак неравенства при этом не изменится.

Где — любое число, которое мы прибавляем к обеим частям.

3. Умножение и деление на положительное число Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, знак неравенства останется прежним.

Где — положительный множитель.

4. Умножение и деление на отрицательное число (ВАЖНО!) Это самое главное правило, где совершается 90% ошибок. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

Где — отрицательный множитель, а знак меняется на .

Пример: У нас есть верное неравенство . Умножим обе части на . Если мы не поменяем знак, получим , что неверно (ведь левее на числовой прямой). Правильно будет: .

Линейные неравенства с одной переменной

Линейным неравенством с одной переменной называется неравенство вида:

Где: * — переменная; * и — некоторые числа, причем .

Решить неравенство — значит найти все значения переменной , при которых оно превращается в верное числовое неравенство.

Алгоритм решения

Решение линейных неравенств очень похоже на решение линейных уравнений:

Раскрываем скобки (если есть).

Переносим слагаемые с переменной в одну сторону (обычно влево), а числа — в другую. При переносе через знак неравенства меняем знак слагаемого.

Приводим подобные слагаемые.

Делим обе части на коэффициент при . Помним про правило знаков!

Пример:

Где — левая часть, а — правая.

Перенесем влево, а вправо:

Приводим подобные:

Делим на (число положительное, знак не меняем):

Ответ: может быть любым числом меньше .

Числовые промежутки и их геометрическая интерпретация

Ответы в неравенствах часто записывают не просто формулой , а в виде числового промежутка или рисуют на числовой прямой.

!Схема, показывающая разницу между строгими и нестрогими неравенствами на числовой прямой.

Виды точек и скобок

Это своего рода «грамматика» математического языка, которую нужно запомнить:

| Знак неравенства | Тип неравенства | Точка на прямой | Скобки в ответе | Пример | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | | Строгое | Выколотая (пустая внутри) | Круглые | | | | Нестрогое | Закрашенная | Квадратные | |

Символ бесконечности всегда пишется с круглой скобкой.

Примеры записи:

: Луч от до плюс бесконечности. Запись: .

: Открытый луч от минус бесконечности до . Запись: .

: Полуинтервал от до . Запись: .

Системы линейных неравенств

Иногда нам нужно, чтобы выполнялось не одно условие, а сразу несколько. Например, мы хотим купить ноутбук, который стоит больше 30 000 рублей (чтобы был мощным), но меньше 50 000 рублей (ограничение бюджета). В математике это записывается как система неравенств.

Определение

Системой неравенств называется несколько неравенств, для которых нужно найти все общие решения. Система обозначается фигурной скобкой слева.

Где фигурная скобка объединяет два условия, которые должны выполняться одновременно.

Как решать системы?

Решаем каждое неравенство системы отдельно.

Изображаем решения каждого неравенства на одной координатной прямой.

Находим пересечение этих решений — тот участок, где штриховки (или линии) накладываются друг на друга.

Записываем ответ в виде промежутка.

Разбор примера

Решим систему:

Шаг 1. Решаем первое неравенство:

Здесь мы разделили обе части на .

Шаг 2. Решаем второе неравенство:

Делим на . Внимание! Делим на отрицательное число, значит, знак меняется на .

Шаг 3. Находим пересечение: У нас есть два условия: и .

Если отметить их на прямой:

Первое решение: все числа правее .

Второе решение: все числа правее (включая ).

Где эти области пересекаются? Они пересекаются там, где выполняются оба условия, то есть при . Ведь если число больше , оно автоматически больше .

Ответ: .

Особые случаи

Бывает, что система не имеет решений или решение выглядит необычно.

Нет решений (пустое множество ):

Если первое неравенство дает , а второе . Эти области не пересекаются. Общих точек нет.

Решение — одна точка:

Если первое неравенство , а второе . Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям — это .

Двойные неравенства

Систему вида часто записывают короче в виде двойного неравенства:

Где находится строго между и .

Такие неравенства можно решать, не разбивая на систему, а выполняя действия сразу со всеми тремя частями.

Пример:

Вычтем из всех частей:

Разделим все части на :

Ответ: .

Заключение

Сегодня мы освоили мощный инструмент сравнения — неравенства. Мы узнали, что умножение на отрицательное число переворачивает знак неравенства, научились записывать ответы с помощью скобок и интервалов, а также находить общие решения для систем.

Эти навыки станут фундаментом для следующей большой темы — функций. Ведь чтобы найти область определения функции (где она существует), нам часто придется решать именно неравенства. Например, подкоренное выражение должно быть , а знаменатель дроби . Готовьтесь, дальше будет еще интереснее!

Четырехугольники: свойства параллелограмма, трапеции, прямоугольника и ромба

Добро пожаловать в мир геометрии! В предыдущих модулях мы много работали с алгеброй: решали уравнения, строили графики и изучали неравенства. Теперь пришло время посмотреть на мир через призму фигур и форм. Геометрия 8 класса — это, прежде всего, глубокое изучение четырехугольников.

Вы уже знакомы с треугольниками из курса 7 класса. Четырехугольник — это следующая ступень эволюции геометрических фигур. Это фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех последовательно соединяющих их отрезков (сторон). При этом никакие три вершины не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Сегодня мы разберем «семейство» четырехугольников, узнаем, чем они отличаются друг от друга и какими уникальными свойствами обладают.

!Схема классификации четырехугольников от общего к частному.

Сумма углов четырехугольника

Прежде чем переходить к конкретным видам, запомним одно фундаментальное свойство, общее для всех выпуклых четырехугольников.

Если провести в четырехугольнике одну диагональ, она разобьет его на два треугольника. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна . Поскольку треугольников два, то:

Где:

— сумма всех внутренних углов четырехугольника;

— сумма углов одного треугольника;

— количество треугольников, на которые делится четырехугольник диагональю.

Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна .

Параллелограмм

Это «отец» большинства фигур, которые мы будем изучать сегодня. Многие свойства прямоугольника или ромба на самом деле являются наследственными свойствами параллелограмма.

Определение

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

То есть, если сторона параллельна , а сторона параллельна , то перед нами параллелограмм.

Свойства параллелограмма

Эти свойства помогают решать множество задач на доказательство и вычисление:

Противоположные стороны равны. (, ).

Противоположные углы равны. (, ).

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна . Это следует из свойства параллельных прямых.

Диагонали точкой пересечения делятся пополам. Это, пожалуй, самое часто используемое свойство. Если провести диагонали и , и назвать точку их пересечения , то и .

Площадь параллелограмма

Чтобы найти место, занимаемое фигурой на плоскости, используют формулу площади:

Где:

— площадь параллелограмма;

— длина стороны (основания);

— длина высоты, проведенной к этой стороне.

!Чертеж параллелограмма с обозначением основания и высоты.

Прямоугольник

Если взять параллелограмм и «выпрямить» его углы, мы получим прямоугольник.

Определение

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны ).

Поскольку прямоугольник — это частный случай параллелограмма, он обладает всеми его свойствами (противоположные стороны равны, диагонали делятся пополам и т.д.). Но у него есть одна особенная черта.

Особое свойство прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны.

Если в обычном параллелограмме одна диагональ может быть длинной, а другая короткой, то в прямоугольнике . Это свойство работает и в обратную сторону: если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Площадь прямоугольника

Формула вам знакома с начальной школы:

Где:

— площадь прямоугольника;

— длина одной стороны;

— длина смежной (соседней) стороны.

Ромб

Теперь вернемся к параллелограмму и попробуем изменить не углы, а стороны. Сделаем их все одинаковыми.

Определение

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Как и прямоугольник, ромб наследует все свойства параллелограмма. Но равенство сторон порождает интересные особенности диагоналей.

Особые свойства ромба

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. То есть угол между ними составляет ().

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Каждая диагональ делит угол, из которого выходит, ровно пополам.

!Иллюстрация свойств диагоналей ромба.

Площадь ромба

Площадь ромба можно найти как площадь параллелограмма (сторона на высоту), но часто удобнее использовать диагонали:

Где:

— площадь ромба;

— длина первой диагонали;

— длина второй диагонали;

— делитель (константа).

Квадрат

Квадрат — это «идеальный» четырехугольник. Он является одновременно и прямоугольником (все углы прямые), и ромбом (все стороны равны).

Следовательно, квадрат обладает абсолютно всеми перечисленными выше свойствами:

Его диагонали равны (как у прямоугольника).

Его диагонали перпендикулярны (как у ромба).

Его диагонали делятся точкой пересечения пополам (как у параллелограмма).

Трапеция

Трапеция стоит немного в стороне от дружной семьи параллелограммов. Если у параллелограмма параллельны две пары сторон, то у трапеции — только одна.

Определение

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.

Параллельные стороны называют основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами.

Виды трапеций

Равнобедренная трапеция: боковые стороны равны. У такой трапеции углы при основании равны, а диагонали тоже равны.

Прямоугольная трапеция: одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям (образует прямые углы).

Средняя линия трапеции

Это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Средняя линия обладает замечательным свойством: она параллельна основаниям и равна их полусумме.

Где:

— длина средней линии;

— длина верхнего основания;

— длина нижнего основания;

— делитель для нахождения среднего арифметического.

Площадь трапеции

Чтобы найти площадь трапеции, нужно умножить полусумму оснований на высоту.

Где:

— площадь трапеции;

и — длины оснований;

— высота трапеции (расстояние между основаниями).

Заметьте, что — это средняя линия. Поэтому формулу можно записать короче: .

Таблица сравнения свойств

Чтобы не запутаться, давайте сведем основные свойства диагоналей в таблицу. Знак «+» означает, что свойство выполняется, «-» — не выполняется.

| Свойство диагоналей | Параллелограмм | Прямоугольник | Ромб | Квадрат | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | | Делятся точкой пересечения пополам | + | + | + | + | | Равны между собой | - | + | - | + | | Взаимно перпендикулярны | - | - | + | + | | Являются биссектрисами углов | - | - | + | + |

Заключение

Сегодня мы изучили основные виды четырехугольников. Понимание их свойств — это ключ к решению большинства геометрических задач в 8 и 9 классах. Запомните:

Если нужны равные диагонали — ищите прямоугольник.

Если нужен прямой угол между диагоналями — ищите ромб.

Если параллельны только две стороны — это трапеция.

В следующих уроках мы применим эти знания для доказательства теорем и решения сложных задач, в том числе с использованием теоремы Пифагора, которая поможет нам связывать длины сторон и диагоналей.

Площади фигур, теорема Пифагора и признаки подобия треугольников

Добро пожаловать на пятый модуль нашего курса! В прошлой статье мы подробно изучили «анатомию» четырехугольников: параллелограмма, прямоугольника, ромба и трапеции. Мы узнали их свойства и научились отличать одну фигуру от другой. Но геометрия — это не только описание форм, это еще и измерение.

Представьте, что вы архитектор. Вам мало знать, что комната имеет форму прямоугольника. Вам нужно знать, сколько паркета купить на пол (площадь) и какой длины балку положить по диагонали (теорема Пифагора). А если вы захотите построить макет здания в уменьшенном масштабе, вам понадобятся знания о подобии фигур.

Сегодня мы превратим качественные знания о фигурах в количественные вычисления.

Площади плоских фигур

Площадь — это численная характеристика фигуры, показывающая размер части плоскости, ограниченной этой фигурой. За единицу измерения площади принимают квадрат со стороной, равной единице измерения длины (например, см, м).

Площадь параллелограмма

Мы уже знаем, что прямоугольник — это частный случай параллелограмма. Площадь прямоугольника вычисляется умножением длины на ширину. Но как быть с наклонным параллелограммом?

Если от параллелограмма «отрезать» треугольник с одной стороны и приставить его к другой, получится прямоугольник с той же площадью. Поэтому формула выглядит так:

Где:

— площадь параллелограмма;

— сторона параллелограмма (основание);

— высота, проведенная к этой стороне (перпендикуляр).

!Преобразование параллелограмма в прямоугольник для вычисления площади.

Площадь треугольника

Любой параллелограмм можно разрезать диагональю на два абсолютно равных треугольника. Значит, площадь одного треугольника — это ровно половина площади параллелограмма с тем же основанием и высотой.

Где:

— площадь треугольника;

— коэффициент (половина);

— сторона треугольника (основание);

— высота, опущенная на эту сторону.

Важно: Высоту нужно проводить именно к той стороне, которую мы взяли за основание.

Площадь трапеции

Трапеция — фигура интересная, у нее два параллельных основания. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Где:

— площадь трапеции;

— длина верхнего основания;

— длина нижнего основания;

— высота трапеции (расстояние между основаниями).

Заметьте, что — это длина средней линии трапеции. То есть площадь трапеции можно найти, умножив среднюю линию на высоту.

Теорема Пифагора

Это, пожалуй, самая известная теорема в мире. Она связывает стороны прямоугольного треугольника. Напомним, что стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, лежащая напротив прямого угла (самая длинная), называется гипотенузой.

Формулировка теоремы

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Где:

— длина гипотенузы;

— длина первого катета;

— длина второго катета.

!Геометрический смысл теоремы Пифагора: площади квадратов, построенных на катетах, в сумме дают площадь квадрата на гипотенузе.

Как это использовать?

Если мы знаем два катета, мы можем найти гипотенузу:

Где:

— арифметический квадратный корень;

— катеты.

Если мы знаем гипотенузу и один катет, мы можем найти второй катет:

Где:

— гипотенуза;

— известный катет.

Египетский треугольник

Существует классический пример прямоугольного треугольника со сторонами , и . Проверим:

Где:

и — катеты;

— гипотенуза.

Такие тройки целых чисел, удовлетворяющих теореме Пифагора, называют Пифагоровыми тройками.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Она позволяет определить, является ли треугольник прямоугольным. Если для сторон треугольника выполняется равенство , то этот треугольник — прямоугольный.

Подобие треугольников

В геометрии фигуры могут быть равными (одинаковыми при наложении), а могут быть подобными. Подобие — это то же самое, что «масштабирование» или «зум» на экране телефона. Фигура сохраняет свою форму, но меняет размер.

Определение подобия

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Коэффициент пропорциональности обозначается буквой :

Где:

— стороны большого треугольника;

— стороны малого (подобного) треугольника;

— коэффициент подобия.

Отношение площадей подобных треугольников

Это очень важный момент, где часто допускают ошибки. Если стороны одного треугольника в раза больше сторон другого (), то во сколько раз больше его площадь?

Не в раза, а в !

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Где:

— площадь большего треугольника;

— площадь меньшего треугольника;

— коэффициент подобия.

Признаки подобия треугольников

Чтобы доказать, что треугольники подобны, не обязательно измерять все углы и все стороны. Достаточно проверить выполнение одного из трех признаков.

1. Первый признак (по двум углам) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Это самый популярный признак. Если и , то треугольники подобны.

2. Второй признак (по двум сторонам и углу между ними) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Где:

Дроби показывают пропорциональность сторон;

Равенство углов гарантирует совпадение формы.

3. Третий признак (по трем сторонам) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Где равенство всех трех отношений означает, что один треугольник является просто увеличенной копией другого.

Применение на практике

Знания о подобии позволяют измерять высоту недоступных предметов. Например, зная свой рост и длину своей тени, а также длину тени дерева, можно вычислить высоту дерева, составив пропорцию. Ведь солнечные лучи падают под одним углом, образуя подобные треугольники.

> «Геометрия есть познание всего сущего». — Платон

Заключение

Сегодня мы сделали большой шаг вперед. Мы научились вычислять площади основных фигур, освоили мощнейший инструмент — теорему Пифагора, и разобрались, как сравнивать фигуры разного размера через подобие. Эти темы являются фундаментом для тригонометрии, которую мы начнем изучать в старших классах, и необходимы для успешной сдачи любых экзаменов по математике.

В следующем модуле мы углубимся в свойства окружности и круга, где нам снова пригодятся и теорема Пифагора, и знания о площадях.