Математика 8 класс: Основы алгебры и геометрии

Алгебраические дроби и свойства квадратных корней

Добро пожаловать в 8 класс! Это важный этап в изучении математики. Если в 7 классе мы много времени уделяли формулам сокращенного умножения и линейным уравнениям, то сейчас мы переходим на новый уровень абстракции. Мы научимся работать с дробями, где вместо чисел стоят переменные, и познакомимся с загадочным знаком корня.

Эта статья открывает наш курс «Математика 8 класс: Основы алгебры и геометрии». Здесь мы заложим фундамент для решения более сложных уравнений и задач.

Что такое алгебраическая дробь?

Вы уже прекрасно знакомы с обыкновенными дробями, такими как или . Алгебраическая дробь устроена похожим образом, но с одним важным отличием: в её знаменателе (а часто и в числителе) находятся переменные.

Определение простое: алгебраическая дробь — это выражение вида , где и — это многочлены, причём — ненулевой многочлен.

Где — числитель (алгебраическое выражение), а — знаменатель (алгебраическое выражение, содержащее переменную).

Примеры алгебраических дробей: * * *

Область допустимых значений (ОДЗ)

Самое главное правило, которое нужно помнить при работе с алгебраическими дробями, пришло к нам из арифметики: на ноль делить нельзя.

Поскольку в знаменателе находится переменная, она может принимать любые значения, кроме тех, которые превращают знаменатель в ноль. Множество всех значений переменной, при которых выражение имеет смысл, называется областью допустимых значений.

Рассмотрим пример:

Где — числитель, а — знаменатель.

Чтобы эта дробь существовала, знаменатель не должен быть равен нулю:

Где — переменная, — число, а означает «не равно».

Отсюда следует, что . Если мы подставим вместо тройку, то получим деление на ноль, что в математике запрещено.

!Визуализация области допустимых значений: числовая прямая с выколотой точкой, показывающая, что x может быть любым числом, кроме 3.

Основное свойство алгебраической дроби

Как и обычные дроби, алгебраические дроби можно сокращать. Это позволяет упростить громоздкие выражения.

Основное свойство: Если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, тождественно равная данной.

Где — числитель, — знаменатель, а — общий множитель (многочлен, не равный нулю).

Как сокращать дроби?

Чтобы сократить дробь, часто нужно сначала разложить числитель и знаменатель на множители. Вспомним формулы сокращенного умножения из 7 класса.

Пример упрощения:

Где — числитель, а — знаменатель.

Заметим, что числитель представляет собой разность квадратов:

Где — разложенный на множители числитель.

Теперь мы видим общий множитель и сверху, и снизу. Мы можем сократить на него (при условии, что ).

Где зачеркивание означает деление числителя и знаменателя на одинаковое выражение.

Действия с алгебраическими дробями

Правила действий с алгебраическими дробями полностью аналогичны правилам для обыкновенных дробей.

Сложение и вычитание

Одинаковые знаменатели: Складываем (или вычитаем) числители, а знаменатель оставляем прежним.

Где и — числители слагаемых, а — общий знаменатель.

Разные знаменатели: Сначала приводим дроби к общему знаменателю, а затем действуем по правилу выше.

Умножение и деление

* Умножение: Числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель. Где — числители, — знаменатели перемножаемых дробей.

* Деление: Первую дробь умножаем на «перевернутую» вторую дробь. Где знак означает деление, а дробь является обратной к дроби .

Квадратные корни: знакомство

Теперь перейдем ко второй важной теме этой статьи. Вы знаете операцию возведения в квадрат: , . Но что, если нам нужно выполнить обратное действие? Нам известно, что площадь квадрата равна 25, и нужно найти длину его стороны.

Действие, обратное возведению в квадрат, называется извлечением квадратного корня.

Арифметический квадратный корень

Арифметическим квадратным корнем из числа называется такое неотрицательное число , квадрат которого равен .

Обозначается это так:

Где — знак корня (радикал), — подкоренное выражение, — значение корня.

Это равенство верно при выполнении двух условий:

(корень не может быть отрицательным числом).

(проверка возведением в квадрат).

Примеры: * , так как и . * . * — не имеет смысла (среди действительных чисел), так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.

!Геометрическая интерпретация квадратного корня как нахождения стороны квадрата по его площади.

Свойства квадратных корней

Свойства корней помогают нам вычислять значения выражений и упрощать их. Рассмотрим основные из них.

#### 1. Корень из произведения

Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Где и — неотрицательные числа ().

Пример: Нам нужно вычислить . Мы можем разложить 900 на множители 9 и 100.

Где мы последовательно извлекли корни из 9 и 100.

#### 2. Корень из дроби (частного)

Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.

Где (числитель), а (знаменатель).

Пример:

Где мы отдельно извлекаем корень из числителя 36 и знаменателя 49.

#### 3. Возведение корня в квадрат

Если мы возьмем число, извлечем из него корень, а потом возведем результат обратно в квадрат, мы вернемся к исходному числу.

Где .

Это свойство следует прямо из определения квадратного корня.

Заключение

Сегодня мы заложили два краеугольных камня алгебры 8 класса:

Алгебраические дроби научили нас работать с делением многочленов и помнить про область допустимых значений.

Квадратные корни открыли дверь в мир иррациональных чисел и нелинейных операций.

В следующих статьях мы будем активно использовать эти знания для решения квадратных уравнений и построения графиков функций. Убедитесь, что вы хорошо поняли, как сокращать дроби и пользоваться свойствами корней, выполнив задания ниже.

Квадратные уравнения: дискриминант и теорема Виета

Приветствую вас на очередном уроке курса «Математика 8 класс». В прошлой статье мы научились работать с алгебраическими дробями и познакомились со свойствами квадратных корней. Эти знания нам сегодня очень пригодятся.

До сих пор мы в основном решали линейные уравнения, где переменная была в первой степени (например, ). Но мир вокруг нас не всегда линеен. Траектория брошенного мяча, расчет площади помещений, тормозной путь автомобиля — все эти задачи приводят нас к уравнениям, где переменная возводится в квадрат. Такие уравнения называются квадратными.

Сегодня мы разберем универсальный способ их решения через дискриминант и научимся «магии» быстрого подбора корней с помощью теоремы Виета.

Определение квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида:

Где: * — переменная (неизвестное число); * — первый (или старший) коэффициент, который обязательно не равен нулю (); * — второй коэффициент; * — свободный член.

Почему важно, чтобы ? Потому что если станет нулем, то слагаемое исчезнет, и уравнение превратится в линейное , которое мы уже умеем решать.

Примеры квадратных уравнений: * (здесь ) * (здесь ) * (здесь )

!Парабола ветвями вверх, пересекающая горизонтальную ось в точках x1 и x2.

Решение через дискриминант

Как найти , если он «спрятан» и в квадрате, и в первой степени? Просто выразить его, перенеся числа в другую сторону, не получится. Нам нужен универсальный алгоритм.

Этот алгоритм опирается на специальное число, которое называется дискриминант. Название происходит от латинского discriminare — «различать», потому что именно это число позволяет различить, сколько корней имеет уравнение.

Формула дискриминанта

Дискриминант обозначается буквой и вычисляется по формуле:

Где: * — дискриминант; * — второй коэффициент уравнения; * — старший коэффициент; * — свободный член.

Анализ дискриминанта

После того как мы вычислили , мы смотрим на его знак. Возможны три случая:

(Дискриминант положительный).

Уравнение имеет два различных корня. Это самый частый случай в школьных задачах.

(Дискриминант равен нулю).

Уравнение имеет один корень (или, как говорят математики, два совпадающих корня).

(Дискриминант отрицательный).

Уравнение не имеет действительных корней. В 8 классе мы пишем в ответе: «корней нет».

Формула корней

Если , то корни находятся по следующей формуле:

Где: * — первый и второй корни уравнения; * — второй коэффициент, взятый с противоположным знаком; * — плюс или минус квадратный корень из дискриминанта; * — удвоенный старший коэффициент.

Давайте разберем это на конкретном примере.

Пример решения

Решим уравнение:

Где — квадратный трехчлен.

Шаг 1. Определяем коэффициенты. , , . Обратите внимание: коэффициент берется вместе со знаком «минус».

Шаг 2. Вычисляем дискриминант.

Где мы подставили значения в формулу .

Так как , у нас будет два корня. Корень из дискриминанта извлекается легко: .

Шаг 3. Находим корни.

Где мы использовали знак «плюс» перед корнем из дискриминанта.

Где мы использовали знак «минус» перед корнем из дискриминанта.

Ответ: и .

Теорема Виета

Франсуа Виет, знаменитый французский математик XVI века, заметил интересную закономерность между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Эта теорема позволяет решать многие уравнения устно, не прибегая к громоздким вычислениям дискриминанта.

Теорема Виета особенно удобна для приведенных квадратных уравнений. Приведенным называется уравнение, где старший коэффициент .

Где — второй коэффициент, а — свободный член.

Формулировка теоремы

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Где: * — корни уравнения; * — коэффициент при с обратным знаком; * — свободный член.

Пример использования теоремы Виета

Решим уравнение:

Где , , .

По теореме Виета:

Сумма корней (берем с обратным знаком).

Произведение корней .

Теперь давайте подумаем. Какие два числа при умножении дают 12? Это могут быть пары: и , и , и . А также отрицательные пары.

Из этих пар нам нужно выбрать ту, которая в сумме дает . Проверяем: * (не подходит) * (не подходит) * (подходит!)

Значит, корни уравнения: и .

Мы нашли ответ за несколько секунд без вычисления дискриминанта!

Теорема Виета для общего случая

Если уравнение не приведенное (), то теорема Виета выглядит чуть сложнее:

Где мы делим коэффициенты и на старший коэффициент .

Хотя эта формула верна всегда, на практике для неприведенных уравнений () чаще используют метод дискриминанта, так как подбирать дробные корни в уме сложнее.

!Стилизованное изображение математика Франсуа Виета и математических записей.

Неполные квадратные уравнения

Иногда коэффициенты или могут быть равны нулю. Такие уравнения называются неполными. Их можно решать через дискриминант, но гораздо быстрее использовать методы разложения на множители, которые мы изучали ранее.

Случай 1:

Уравнение вида:

Где отсутствует свободный член.

Здесь можно вынести за скобку:

Где произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Отсюда получаем два корня:

Пример: . Корни: и .

Случай 2:

Уравнение вида:

Где отсутствует слагаемое с .

Перенесем вправо:

Где мы выражаем .

* Если , то уравнение имеет два корня: . * Если , то корней нет (квадрат числа не может быть отрицательным).

Пример: .

Заключение

Сегодня мы освоили мощнейший инструмент алгебры 8 класса. Умение решать квадратные уравнения — это база для изучения функций, неравенств и даже физики.

Краткий итог:

Видите квадратное уравнение? Приведите его к стандартному виду .

Если уравнение неполное — решайте вынесением за скобки или переносом слагаемых.

Если уравнение полное и приведенное () с небольшими коэффициентами — попробуйте теорему Виета.

В любом другом случае — смело используйте дискриминант. Это безотказный метод.

В следующей статье мы поговорим о квадратных трехчленах и о том, как их можно раскладывать на множители, используя найденные корни.

Числовые неравенства и системы линейных неравенств

Добро пожаловать на очередной урок курса «Математика 8 класс». В предыдущих статьях мы научились находить точные значения переменных: мы решали линейные и квадратные уравнения, искали корни, при которых выражение обращается в ноль. Например, мы точно знаем, при какой скорости автомобиль остановится через 50 метров.

Но в реальной жизни нас часто интересуют не точные значения, а диапазоны. Нам нужно, чтобы бюджет на покупку был не больше 5000 рублей, чтобы температура в комнате была выше 20 градусов, или чтобы время в пути заняло менее часа. Для описания таких ситуаций в математике используются неравенства.

Сегодня мы разберем, как сравнивать числа, решать линейные неравенства и находить общие решения для целых систем таких неравенств.

Что такое числовое неравенство?

Числовое неравенство — это выражение, в котором два числа или алгебраических выражения соединены знаками сравнения.

Основные знаки сравнения: * (больше) * (меньше) * (больше или равно / не меньше) * (меньше или равно / не больше)

Неравенства со знаками и называются строгими. Неравенства со знаками и называются нестрогими.

Определение сравнения

Математически сравнение двух чисел определяется через их разность.

Число больше числа , если их разность — положительное число.

Где — первое число, — второе число, а — результат вычитания второго из первого.

Соответственно, , если — отрицательное число.

Свойства числовых неравенств

Неравенства обладают свойствами, похожими на свойства уравнений, но с одним очень важным отличием, о котором нельзя забывать.

1. Свойство транзитивности

Если первое число больше второго, а второе больше третьего, то первое число больше третьего.

Где — любые действительные числа.

Пример: Если и , то очевидно, что .

2. Прибавление числа

Если к обеим частям неравенства прибавить (или вычесть) одно и то же число, знак неравенства не изменится.

Где — любое число, которое мы прибавляем к обеим частям.

Это свойство позволяет нам переносить слагаемые из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, точно так же, как мы делали это в уравнениях.

3. Умножение и деление (Самое важное!)

Здесь кроется главная ловушка для новичков. Правило делится на две части:

А) Умножение на положительное число: Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, знак неравенства остается прежним.

Где — положительный множитель.

Б) Умножение на отрицательное число: Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (был , стал , и наоборот).

Где — отрицательный множитель, а знак неравенства перевернулся.

Пример: Возьмем верное неравенство: . Умножим на :

Какое число больше? находится правее на числовой прямой, значит оно больше. Получаем . Знак перевернулся.

Линейные неравенства с одной переменной

Неравенства вида (или ), где и — числа, а — переменная, называются линейными неравенствами.

Решить неравенство — значит найти все значения переменной, при которых оно превращается в верное числовое неравенство.

Алгоритм решения

Раскрыть скобки (если есть).

Перенести слагаемые с переменной в одну сторону (обычно влево), а числа — в другую.

Привести подобные слагаемые.

Разделить обе части на коэффициент при переменной (). Внимание: если делим на отрицательное число, переворачиваем знак!

Пример: Решим неравенство:

Где — слагаемое с переменной, и — числа.

Перенесем вправо:

Разделим на (число положительное, знак не меняем):

Ответ: . Это значит, что любое число меньше 4 является решением.

Числовые промежутки и геометрическая интерпретация

Ответы в неравенствах принято записывать в виде числовых промежутков и изображать на координатной прямой.

!Изображение множества решений неравенства x < 4 на числовой прямой.

Существует несколько видов промежутков:

Интервал (строгое неравенство):

* Знак: или * Точка на прямой: выколотая (пустой кружок ). Это значит, само число не входит в решение. * Скобки в записи: круглые . * Пример: записывается как .

Отрезок или луч (нестрогое неравенство):

* Знак: или * Точка на прямой: закрашенная (черный кружок ). Число входит в решение. * Скобки в записи: квадратные . * Пример: записывается как .

Обратите внимание: у символов бесконечности ( или ) скобка всегда круглая, так как бесконечность — это не конкретное число, которое можно «включить».

Системы линейных неравенств

Иногда нам нужно найти такие значения , которые удовлетворяют сразу нескольким условиям. Например, число должно быть больше 5, но меньше 10. В таких случаях мы решаем систему неравенств.

Система обозначается фигурной скобкой слева:

Где первая строка — первое условие, а вторая строка — второе условие, которые должны выполняться одновременно.

Как решать систему?

Решить каждое неравенство системы по отдельности.

Изобразить решения каждого неравенства на одной координатной прямой.

Найти пересечение решений (ту область, где штриховки накладываются друг на друга).

Записать эту общую область в ответ.

Разберем пример выше:

1) Решаем первое неравенство:

Где мы перенесли единицу и разделили на 2.

2) Решаем второе неравенство:

Где мы перенесли четверку.

Теперь у нас есть два условия: и .

!Пересечение решений двух неравенств: числа, которые одновременно больше 2 и меньше или равны 8.

Пересечением этих множеств является промежуток от 2 до 8. Точка 2 не входит (скобка круглая), точка 8 входит (скобка квадратная).

Ответ: .

Особые случаи в системах

Бывает так, что система не имеет решений или решением является одна точка.

* Нет решений: Если штриховки не пересекаются. Например, . Невозможно быть одновременно меньше 2 и больше 5. Ответ: (пустое множество). * Одна точка: Если концы промежутков соприкасаются в закрашенной точке. Например, . Единственное общее число — это 3. Ответ: .

Двойные неравенства

Двойное неравенство — это компактная запись системы неравенств. Запись означает то же самое, что и система:

Где находится строго между и .

Двойные неравенства можно решать, не разбивая на систему, а выполняя действия сразу со всеми тремя частями (левой, средней и правой).

Пример:

Где нам нужно «освободить» в центре.

Вычтем 2 из всех частей:

Разделим все части на 2:

Ответ: .

Заключение

Сегодня мы сделали важный шаг от точечных решений к пространственным. Мы узнали:

Как свойства неравенств помогают преобразовывать выражения.

Почему умножение на отрицательное число переворачивает знак неравенства.

Как записывать ответы с помощью скобок и интервалов.

Как находить общие решения для систем неравенств.

Эти навыки критически важны. В следующих темах мы будем использовать неравенства для исследования функций (нахождения области определения) и решения более сложных задач с модулями и квадратными корнями. Обязательно закрепите материал, выполнив задания ниже.

Четырехугольники и формулы площадей геометрических фигур

Мы продолжаем наш курс «Математика 8 класс». В предыдущих статьях мы погружались в мир алгебры: учились решать квадратные уравнения, работать с дробями и неравенствами. Теперь пришло время сменить фокус и посмотреть на мир через призму геометрии.

Геометрия 8 класса — это, прежде всего, изучение четырехугольников и площадей. Если в 7 классе королем был треугольник, то теперь мы расширяем горизонты. Мы узнаем, как вычислять площади фигур, которые окружают нас повсюду: от экранов смартфонов до земельных участков и архитектурных сооружений. Кроме того, мы познакомимся с одной из самых знаменитых теорем в истории человечества — теоремой Пифагора.

Четырехугольники: общие понятия

Четырехугольник — это фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех соединяющих их отрезков (сторон), при этом никакие три вершины не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Мы будем рассматривать только выпуклые четырехугольники. Это такие фигуры, которые лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Проще говоря, у них нет «вмятин» внутрь.

Сумма углов четырехугольника

Вспомним, что сумма углов любого треугольника равна . Если мы проведем в четырехугольнике одну диагональ, она разобьет его на два треугольника. Отсюда следует важное свойство.

Свойство: Сумма углов выпуклого четырехугольника равна .

Где — сумма всех четырех внутренних углов фигуры.

Параллелограмм

Самый распространенный класс четырехугольников — это параллелограммы. Само название подсказывает его главное свойство.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

!Параллелограмм с обозначенными сторонами и высотой.

Свойства параллелограмма

Противоположные стороны равны.

Противоположные углы равны.

Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Площадь параллелограмма

Чтобы найти площадь параллелограмма, нам не достаточно знать только длины его сторон (в отличие от прямоугольника, параллелограмм можно «сплюснуть», изменив площадь, но не меняя длины сторон). Нам нужна высота.

Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону.

Формула площади:

Где: * — площадь параллелограмма; * — сторона (основание), к которой проведена высота; * — высота, проведенная к этой стороне.

Важно помнить: высоту нужно умножать именно на ту сторону, на которую она падает.

Прямоугольник и Квадрат

Это частные случаи параллелограмма, с которыми вы знакомы с начальной школы. Однако теперь мы смотрим на них как на «идеальные» параллелограммы.

* Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (). * Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Площади

Для прямоугольника:

Где: * — площадь; * и — смежные стороны (длина и ширина).

Для квадрата:

Где: * — площадь; * — длина стороны квадрата.

Ромб

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Можно сказать, что ромб — это «растянутый» квадрат.

У ромба есть интересное свойство диагоналей: они пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

!Ромб с диагоналями, пересекающимися под углом 90 градусов.

Площадь ромба

Поскольку ромб — это параллелограмм, для него работает формула . Но чаще используют формулу через диагонали, так как это удобнее.

Где: * — площадь ромба; * — первая диагональ; * — вторая диагональ.

Трапеция

Если у параллелограмма параллельны обе пары противоположных сторон, то у трапеции — только одна пара.

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основаниями), а две другие не параллельны (они называются боковыми сторонами).

Трапеции бывают: * Равнобедренные: боковые стороны равны. * Прямоугольные: одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

!Трапеция с основаниями и высотой.

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Где: * — площадь трапеции; * и — длины параллельных оснований; * — высота трапеции (расстояние между основаниями).

Выражение также является длиной средней линии трапеции. Поэтому можно сказать, что площадь равна произведению средней линии на высоту.

Треугольник: возвращение

Хотя тема статьи — четырехугольники, без треугольников в задачах на площадь не обойтись. Любой многоугольник можно разбить на треугольники. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому площадь треугольника — это ровно половина площади соответствующего параллелограмма.

Основная формула площади треугольника

Где: * — площадь треугольника; * — сторона основания; * — высота, проведенная к этому основанию.

Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике катеты сами служат высотами друг для друга.

Где: * и — катеты (стороны, образующие прямой угол).

Теорема Пифагора

В 8 классе мы знакомимся с инструментом, без которого невозможно решать 90% геометрических задач. Часто нам известны стороны фигуры, но неизвестна высота, необходимая для формулы площади. Здесь на помощь приходит теорема Пифагора.

Она применяется только для прямоугольных треугольников.

Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Где: * — гипотенуза (самая длинная сторона, лежащая напротив прямого угла); * и — катеты.

!Геометрическая иллюстрация теоремы Пифагора.

Пример применения

Допустим, у нас есть равнобедренная трапеция. Чтобы найти ее площадь, нам нужна высота. Опустив высоту из вершины, мы «отсекаем» маленький прямоугольный треугольник. Зная боковую сторону (гипотенузу) и часть основания (катет), мы можем найти высоту (второй катет) по теореме Пифагора.

Где: * — искомая высота (катет); * — боковая сторона (гипотенуза); * — отрезок основания (известный катет).

Заключение

Сегодня мы заложили фундамент вычислительной геометрии. Мы изучили:

Параллелограммы и их виды (прямоугольник, ромб, квадрат).

Трапеции и их особенности.

Формулы площадей, которые связывают линейные размеры фигур (стороны и высоты) с их площадью.

Теорему Пифагора, которая позволяет находить неизвестные стороны в прямоугольных треугольниках.

Эти формулы — ваш основной инструментарий. В следующих темах мы будем использовать их для решения более сложных задач, а также познакомимся с понятием подобия треугольников. А пока — проверьте свои знания в тесте ниже!

Подобие треугольников, теорема Пифагора и соотношения в прямоугольном треугольнике

Мы продолжаем наше путешествие по курсу «Математика 8 класс». В прошлой статье мы изучили четырехугольники и научились вычислять их площади. Мы также вскользь упомянули теорему Пифагора как инструмент для нахождения высоты. Сегодня мы рассмотрим эту великую теорему во всех деталях, а также познакомимся с понятием подобия, которое лежит в основе всех карт, чертежей и макетов.

Геометрия 8 класса открывает нам глаза на то, как связаны между собой линейные размеры фигур и их углы. Мы узнаем, почему тени предметов пропорциональны их высоте, и как, зная только один угол и одну сторону прямоугольного треугольника, можно вычислить все остальные его элементы.

Подобие треугольников

В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с предметами одинаковой формы, но разных размеров. Футбольный мяч и мячик для пинг-понга, модель автомобиля и настоящий автомобиль, фотография в паспорте и портрет на стене. В геометрии такие фигуры называются подобными.

Треугольники называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

!Иллюстрация двух подобных треугольников с равными углами и пропорциональными сторонами.

Коэффициент подобия

Отношение длин сходственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия. Он показывает, во сколько раз линейные размеры одного треугольника больше (или меньше) размеров другого.

Где: * — стороны первого треугольника; * — соответствующие стороны второго треугольника; * — коэффициент подобия (число).

Признаки подобия треугольников

Чтобы убедиться, что треугольники подобны, не обязательно измерять все стороны и углы. Достаточно проверить выполнение одного из трех признаков:

По двум углам: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Это самый часто используемый признак.

По двум сторонам и углу между ними: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

По трем сторонам: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Отношение площадей подобных треугольников

Это очень важный момент, где часто допускают ошибки. Если стороны треугольника увеличились в раз, то его площадь увеличивается не в , а в раз.

Где: * — площадь первого треугольника; * — площадь второго треугольника; * — коэффициент подобия.

Это логично: если мы увеличиваем фигуру в 2 раза, у неё в 2 раза увеличивается и основание, и высота. Значит, площадь вырастет в раза.

Теорема Пифагора

Теперь перейдем к прямоугольным треугольникам. Это треугольники, у которых один угол равен . Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, а сторона, лежащая напротив прямого угла — гипотенузой.

Теорема Пифагора — это фундамент всей метрической геометрии. Она связывает длины сторон прямоугольного треугольника.

Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Где: * — длина гипотенузы; * — длина первого катета; * — длина второго катета.

!Геометрическая интерпретация теоремы Пифагора через площади квадратов.

Применение теоремы

С помощью этой формулы мы можем найти любую сторону, если известны две другие:

Найти гипотенузу:

Где — знак квадратного корня.

Найти катет:

Где мы вычитаем квадрат известного катета из квадрата гипотенузы.

Египетский треугольник и Пифагоровы тройки

Существуют наборы целых чисел, которые идеально подходят под теорему Пифагора. Самый известный пример — треугольник со сторонами 3, 4 и 5.

Проверим:

Где и — катеты, а — гипотенуза.

Такой треугольник называют египетским, потому что древние египтяне использовали веревку с узлами через равные промежутки для построения прямых углов на местности.

Другие популярные тройки: * 5, 12, 13 * 8, 15, 17

Теорема, обратная теореме Пифагора

Эта теорема позволяет нам определить, является ли треугольник прямоугольным, зная только длины его сторон. Если квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник — прямоугольный.

Соотношения между сторонами и углами (Тригонометрия)

Мы выяснили, что в подобных прямоугольных треугольниках углы равны, а стороны пропорциональны. Это значит, что отношение катета к гипотенузе зависит только от величины угла, но не от размеров треугольника. Эти постоянные отношения назвали синусом, косинусом и тангенсом.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с острым углом (альфа).

Синус (sin)

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Где: * — синус угла ; * — катет, лежащий напротив угла (противолежащий); * — гипотенуза.

Косинус (cos)

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Где: * — косинус угла ; * — катет, касающийся угла (прилежащий); * — гипотенуза.

Важно помнить: так как катет всегда меньше гипотенузы, синус и косинус острого угла всегда меньше 1.

Тангенс (tg)

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Где: * — тангенс угла ; * — противолежащий катет; * — прилежащий катет.

Также тангенс можно выразить через синус и косинус:

Где мы делим значение синуса на значение косинуса.

!Схема для запоминания тригонометрических определений.

Основное тригонометрическое тождество

Существует формула, которая связывает синус и косинус одного и того же угла. Она выводится напрямую из теоремы Пифагора.

Где: * — квадрат синуса угла ; * — квадрат косинуса угла ; * — единица.

Это тождество позволяет найти косинус, если известен синус (и наоборот), не зная сторон треугольника.

Значения для некоторых углов

В геометрии часто встречаются углы , и . Для них полезно помнить значения:

* Для : Катет, лежащий против угла в , равен половине гипотенузы. Это значит, что . * Для : Треугольник равнобедренный, катеты равны. . * Для : , а .

Среднее пропорциональное в прямоугольном треугольнике

Если в прямоугольном треугольнике провести высоту из вершины прямого угла на гипотенузу, она разобьет его на два меньших треугольника, которые подобны исходному и друг другу. Из этого следуют интересные свойства.

Пусть высота делит гипотенузу на отрезки и (проекции катетов на гипотенузу).

Высота есть среднее пропорциональное между проекциями катетов:

Где — высота, и — отрезки гипотенузы.

Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета:

Где — катет, — вся гипотенуза, — проекция катета .

Заключение

Сегодня мы объединили алгебру и геометрию. Мы увидели, как квадратные корни (которые мы изучали в начале курса) помогают находить стороны треугольников, и как отношения (дроби) превращаются в тригонометрические функции.

Эти знания абсолютно необходимы для дальнейшего изучения математики и физики. Теорема Пифагора будет встречаться вам в задачах на движение, в векторах и даже в стереометрии (геометрии в пространстве). Убедитесь, что вы хорошо запомнили определения синуса и косинуса, выполнив задания ниже.