Математика ЕНТ: Раздел «Числа»

Множества чисел: натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа

Добро пожаловать на курс подготовки к ЕНТ по математике! Мы начинаем наше путешествие с самого фундамента — с понятия числа. Кажется, что мы знаем о числах всё, ведь мы пользуемся ими каждый день: смотрим на часы, считаем деньги, набираем номер телефона. Однако математика требует строгости и порядка.

В заданиях ЕНТ часто встречаются формулировки: «Найдите сумму натуральных решений неравенства» или «Укажите количество целых чисел в промежутке». Если вы не знаете точного определения этих множеств, вы рискуете потерять баллы на ровном месте, даже если умеете решать сложные уравнения. В этой статье мы разложим всё по полочкам.

Что такое числовое множество?

В математике объекты любят объединять в группы по общим признакам. Такие группы называют множествами. Числовые множества — это группы чисел, обладающих определенными свойствами. Они устроены по принципу «матрёшки»: одно множество может полностью помещаться внутри другого.

!Диаграмма Эйлера-Венна, демонстрирующая вложенность числовых множеств: N входит в Z, Z входит в Q, всё вместе образует R.

Давайте разберем каждую «матрёшку» отдельно, от самой маленькой к самой большой.

Натуральные числа (N)

Это самые древние числа, которые появились из естественной потребности человека — счета предметов. Сколько яблок в корзине? Сколько овец в стаде?

Определение: Натуральные числа — это числа, используемые при счете предметов ().

Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой .

где — множество натуральных чисел, а фигурные скобки обозначают перечисление элементов множества.

Важные особенности для ЕНТ:

Наименьшее натуральное число — 1.

Наибольшего натурального числа не существует (ряд бесконечен).

Ноль () НЕ является натуральным числом. Это критически важный момент. Если в задаче просят найти «натуральные корни», число в ответ писать нельзя.

Натуральные числа «замкнуты» относительно сложения и умножения. Это значит, что если сложить или умножить два натуральных числа, вы снова получите натуральное число.

Примеры: * — натуральное число. * — натуральное число. * — не натуральное (мы не можем насчитать минус пять яблок). * — не натуральное (мы считаем предметы целиком).

Целые числа (Z)

Когда математика развивалась, людям стало не хватать натуральных чисел. Как обозначить долг? Как записать температуру ниже нуля? Так появились отрицательные числа и ноль.

Определение: Целые числа — это объединение натуральных чисел, чисел, противоположных им (отрицательных), и нуля.

Множество целых чисел обозначается буквой (от немецкого Zahlen — числа).

где — множество целых чисел, включающее отрицательные числа, ноль и положительные числа.

Важные особенности для ЕНТ:

Любое натуральное число является целым (множество входит в множество ).

Ноль () — это целое число, но оно не является ни положительным, ни отрицательным. Оно разделяет эти две группы.

В задачах на ЕНТ часто просят найти «количество целых решений». Не забывайте про ноль и отрицательные числа!

Примеры: * — целое число. * — целое число. * — целое число (и натуральное тоже). * — не целое число.

Рациональные числа (Q)

Двигаемся дальше. Что делать, если нам нужно разделить одно яблоко на двоих? Целых чисел уже недостаточно. Нам нужны дроби.

Определение: Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби , где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное число.

Множество рациональных чисел обозначается буквой (от английского Quotient — частное).

где — множество рациональных чисел, — целое число (числитель), — натуральное число (знаменатель), а символ означает «принадлежит».

Простыми словами: любое число, которое можно записать дробью, — рациональное.

Как распознать рациональное число?

Рациональные числа могут выглядеть по-разному:

Обыкновенные дроби: .

Целые числа: Любое целое число можно представить как дробь со знаменателем 1. Например, , . Значит, все целые числа — тоже рациональные.

Конечные десятичные дроби: (это ), (это ).

Бесконечные ПЕРИОДИЧЕСКИЕ десятичные дроби: Это дроби, у которых после запятой повторяется группа цифр. Например, . Это число равно , а значит, оно рациональное.

> Правило: Если вы видите десятичную дробь, которая либо заканчивается, либо имеет период (повтор), — это рациональное число.

Иррациональные числа (I)

А теперь самое интересное. Существуют ли числа, которые нельзя представить в виде дроби ? Да, и их бесконечно много.

Определение: Иррациональные числа — это числа, которые представляются в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Множество иррациональных чисел часто обозначают буквой .

Эти числа невозможно точно записать на бумаге цифрами, потому что знаки после запятой идут бесконечно и никогда не образуют повторяющегося периода. Мы можем использовать только их приближенные значения.

Главные «звезды» среди иррациональных чисел:

Число Пи ():

где — отношение длины окружности к её диаметру. Это самое известное иррациональное число.

Корни из неполных квадратов:

Например, . где — число, квадрат которого равен 2. Извлечь корень нацело невозможно, и дробью его не записать.

Важно: — это рациональное число, так как корень извлекается.

Число Эйлера ():

где — основание натурального логарифма (встретится вам в старших классах и на ЕНТ в разделе логарифмов).

!Числовая прямая с примерами рациональных и иррациональных чисел.

Действительные числа (R)

Если мы возьмем все рациональные числа и добавим к ним все иррациональные числа, мы получим множество действительных (или вещественных) чисел.

Определение: Действительные числа — это объединение рациональных и иррациональных чисел.

Множество обозначается буквой (от английского Real — реальный, действительный).

где — множество действительных чисел, — рациональные числа, — иррациональные числа, а — знак объединения множеств.

Фактически, любое число, которое вы можете найти на числовой прямой, является действительным. В школьном курсе алгебры до изучения комплексных чисел мы работаем именно в множестве .

Иерархия чисел: подводим итог

Чтобы успешно сдать ЕНТ, запомните эту цепочку вложенности:

(Натуральные) — самые простые ().

(Целые) — включают , ноль и отрицательные ().

(Рациональные) — включают и дроби ().

(Действительные) — включают и иррациональные числа ().

Математически это записывается так:

где символ означает «является подмножеством» (входит внутрь).

Таблица для самопроверки

| Число | (Нат.) | (Цел.) | (Рац.) | (Действ.) | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | | | Да | Да | Да | Да | | | Нет | Да | Да | Да | | | Нет | Да | Да | Да | | | Нет | Нет | Да | Да | | | Нет | Нет | Да | Да | | | Нет | Нет | Нет | Да |

Практические советы для ЕНТ

Внимательно читайте условие. Если сказано «найти натуральные делители», не пишите отрицательные числа.

Проверяйте корни. Если в ответе получилось , не спешите называть его иррациональным. , а это натуральное, целое и рациональное число.

Периодические дроби. Помните, что — это рациональное число. Иррациональные числа не имеют периода.

Понимание природы чисел — это ваш первый шаг к высокому баллу. В следующих статьях мы научимся выполнять операции над этими числами, но уже сейчас вы заложили прочный фундамент.

Признаки делимости, НОД и НОК, простые и составные числа

В предыдущей статье мы разобрались с тем, какие бывают числа. Мы узнали, что натуральные числа — это те, которые мы используем при счете (), а целые числа включают в себя еще и ноль с отрицательными значениями.

Сегодня мы углубимся в свойства натуральных чисел. Умение быстро определять, делится ли одно число на другое, и находить общие делители — это не просто школьная теория. Это «суперсила» для быстрого сокращения дробей и решения текстовых задач на ЕНТ. Если вы будете делить столбиком каждое число наугад, вам просто не хватит времени на экзамене.

Давайте научимся видеть структуру чисел насквозь.

Делимость чисел

Говорят, что одно натуральное число делится на другое, если при делении остаток равен нулю.

Математически это записывается так:

где — делимое, — делитель, а символ (три точки по вертикали) читается как «делится нацело».

Например, (12 делится на 3), так как (остаток 0).

Признаки делимости: математические лайфхаки

Чтобы узнать, делится ли число на , не нужно делить его столбиком. Достаточно посмотреть на последнюю цифру. Такие правила называются признаками делимости.

Разделим их на три удобные группы.

Группа 1: Смотрим на «хвост» числа (последние цифры)

Эти признаки зависят только от того, чем число заканчивается.

* На 2: Число делится на , если его последняя цифра четная (). Пример:* — делится, так как — четное. * На 5: Число делится на , если оно оканчивается на или . Пример:* — делится. * На 10: Число делится на , если оно оканчивается на . Пример:* — делится. * На 4: Число делится на , если две его последние цифры образуют число, которое делится на (или если это два нуля). Пример:* . Смотрим на . . Значит, и все число делится на .

Группа 2: Считаем сумму цифр

Это самые «магические» признаки. Само число может быть огромным, но сумма его цифр расскажет нам всё.

* На 3: Число делится на , если сумма его цифр делится на . Пример:* Возьмем число . Сложим цифры: . Число делится на . Значит, и делится на . * На 9: Число делится на , если сумма его цифр делится на . Пример:* . Сумма: . делится на , значит, и делится на .

> Важно: Если число делится на , оно автоматически делится на . Но если число делится на , оно не обязательно делится на (например, ).

Группа 3: Комбинированные признаки

Иногда нужно выполнить два условия одновременно.

* На 6: Число делится на , если оно делится и на 2, и на 3 одновременно. Пример:* . 1. Заканчивается на (четное) делится на . 2. Сумма цифр делится на . Вывод: делится на .

!Схема классификации признаков делимости для лучшего запоминания

Простые и составные числа

Все натуральные числа (кроме единицы) можно разделить на два лагеря.

1. Простые числа

Определение: Простым называется натуральное число, которое имеет ровно два делителя: единицу и само себя.

Примеры:

* Число делится только на и на . Других вариантов нет. * Число — единственное четное простое число.

2. Составные числа

Определение: Составным называется натуральное число, которое имеет более двух делителей.

Примеры:

* Число делится на (три делителя). * Число делится на (шесть делителей).

Особый случай: Единица

Число имеет только один делитель (само себя). Поэтому оно не является ни простым, ни составным.

> Ловушка ЕНТ: В вопросах типа «Сколько простых чисел на промежутке от 1 до 10?» никогда не считайте единицу!

Основная теорема арифметики

Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел. Это называется разложением на простые множители.

Например, разложим число :

Запишем это компактно с помощью степеней:

где — исходное число, — простые множители, а степени () показывают, сколько раз этот множитель встречается.

Это разложение уникально для каждого числа, как отпечаток пальца у человека.

НОД: Наибольший Общий Делитель

Представьте, что у вас есть 24 яблока и 36 груш. Вы хотите разложить их по одинаковым подарочным наборам так, чтобы фрукты не остались лишними. Какое максимальное количество наборов можно сделать?

Здесь нам поможет НОД.

Определение: НОД чисел и — это самое большое натуральное число, на которое делятся без остатка и , и .

Алгоритм нахождения НОД:

Разложить числа на простые множители.

Выбрать общие множители (те, которые есть в обоих числах).

Взять эти множители в наименьшей степени.

Перемножить их.

Пример: Найдем НОД ().

Раскладываем:

Ищем общие основания: это и .

Выбираем наименьшие степени:

* Для двойки: у нас есть и . Меньшее — . * Для тройки: у нас есть и . Меньшее — .

Перемножаем:

Ответ: 12. Значит, можно сделать 12 наборов (в каждом будет 2 яблока и 3 груши).

НОК: Наименьшее Общее Кратное

Теперь другая задача. Один автобус ходит каждые 4 минуты, а другой — каждые 6 минут. Они встретились на остановке в 12:00. Через сколько минут они снова встретятся?

Нам нужно число, которое делится и на 4, и на 6. Таких чисел много (), но нам нужно самое первое, то есть наименьшее.

Определение: НОК чисел и — это самое маленькое натуральное число, которое делится и на , и на .

Алгоритм нахождения НОК:

Разложить числа на простые множители.

Выписать все множители, которые встречаются хотя бы в одном из чисел.

Взять каждый множитель в наибольшей степени.

Перемножить их.

Пример: Найдем НОК ().

Раскладываем (мы это уже делали):

Берем все основания: и .

Выбираем наибольшие степени:

* Для двойки: максимум — . * Для тройки: максимум — .

Перемножаем:

Ответ: 72. Число 72 — это первое число, которое делится и на 24, и на 36.

!Визуализация разницы между НОД и НОК через множества множителей

Связь между НОД и НОК

Существует красивая формула, связывающая эти два понятия. Она часто помогает проверить себя или найти одно значение через другое.

где — наибольший общий делитель чисел и , — наименьшее общее кратное этих же чисел, а произведение — это просто произведение самих чисел.

Давайте проверим на нашем примере ( и ): * НОД = * НОК = * *

Всё сходится! Если на ЕНТ вам даны два числа и их НОД, вы можете мгновенно найти НОК по этой формуле, не делая разложение заново.

Взаимно простые числа

Иногда у чисел нет общих делителей, кроме единицы. Например, и . * делится на . * делится на .

Общий делитель только .

Определение: Числа и называются взаимно простыми, если их .

Для взаимно простых чисел:

То есть их наименьшее общее кратное — это просто их произведение.

Итоги

Признаки делимости экономят время. Выучите признаки для 2, 3, 4, 5, 9, 10.

Простые числа — фундамент арифметики. Единица — не простое и не составное число.

НОД нужен, когда мы что-то «нарезаем» или делим на равные части. Берем общие множители с меньшей степенью.

НОК нужен, когда мы ищем, когда события совпадут (встреча автобусов, общий знаменатель дробей). Берем все множители с большей степенью.

В следующей статье мы применим эти знания для работы с обыкновенными дробями, где поиск НОК станет нашей главной задачей для приведения к общему знаменателю.

Обыкновенные и десятичные дроби: преобразования и арифметические действия

Мы продолжаем наш курс подготовки к ЕНТ. В первой статье мы изучили множества чисел и узнали, что такое рациональные числа (). Во второй — научились находить НОД и НОК, что является критически важным навыком для работы с дробями. Теперь пришло время объединить эти знания.

Дроби — это, пожалуй, самая «нелюбимая» тема школьников, но именно на ней строится 80% всех вычислений в экзамене. Не умея виртуозно обращаться с дробями, невозможно решить ни тригонометрическое уравнение, ни задачу на проценты, ни логарифм.

В этой статье мы разберем два «языка», на которых говорит математика: язык обыкновенных дробей и язык десятичных дробей, а также научимся переводить с одного на другой.

Часть 1. Обыкновенные дроби

Обыкновенная дробь — это запись вида , где — числитель, а — знаменатель.

где — числитель (показывает, сколько частей мы взяли), а — знаменатель (показывает, на сколько равных частей мы разделили целое).

> Мнемоническое правило: Знаменатель — Земля (внизу), Числитель — Человек (наверху).

Виды обыкновенных дробей

Правильная дробь: Числитель меньше знаменателя (). Такая дробь всегда меньше единицы.

Пример:* .

Неправильная дробь: Числитель больше или равен знаменателю (). Такая дробь больше или равна единице.

Пример:* .

Смешанное число: Это запись, состоящая из целой части и дробной части.

Пример:* (читается как «две целых одна третья»).

!Изображение показывает, что смешанное число состоит из полных объектов и их частей

Перевод смешанного числа в неправильную дробь

Для выполнения умножения и деления нам часто нужно превращать смешанные числа в неправильные дроби.

где — целая часть, — числитель дробной части, — знаменатель дробной части.

Пример: Переведем в неправильную дробь.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

где — натуральное число (множитель).

Это свойство позволяет нам сокращать дроби (делим числитель и знаменатель на их НОД) и приводить к общему знаменателю.

Часть 2. Арифметические действия с обыкновенными дробями

Сложение и вычитание

Случай 1: Одинаковые знаменатели. Просто складываем или вычитаем числители, знаменатель оставляем без изменений.

где — числители, — общий знаменатель.

Случай 2: Разные знаменатели. Здесь нам пригодится НОК (Наименьшее Общее Кратное), который мы изучали в прошлой статье.

Алгоритм:

Найти НОК знаменателей. Это будет новый общий знаменатель.

Найти дополнительные множители для каждой дроби (новый знаменатель разделить на старый).

Умножить числители на дополнительные множители.

Выполнить сложение или вычитание.

Пример: .

НОК .

Доп. множитель для первой дроби: . Для второй: .

.

Результат: .

Умножение

Самое простое действие. Числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель.

где — числители, — знаменатели.

> Совет: Перед тем как перемножать, всегда старайтесь сократить числа (числитель одной дроби со знаменателем другой). Это упростит вычисления.

Деление

Деление на дробь заменяется умножением на перевернутую дробь (обратную).

где — делитель, а — дробь, обратная делителю.

Часть 3. Десятичные дроби

Десятичная дробь — это особый способ записи обыкновенных дробей, у которых в знаменателе стоят числа и так далее.

Примеры: * * *

Действия с десятичными дробями

Сложение и вычитание: Записываем числа «столбиком» так, чтобы запятая стояла под запятой. Если знаков после запятой не хватает, приписываем нули.

Умножение: Умножаем числа как натуральные, не обращая внимания на запятые. В ответе отделяем запятой справа столько цифр, сколько их было после запятых в обоих множителях вместе.

Пример:* . Считаем . Всего знаков после запятой: . Ответ: .

Деление: Чтобы разделить на десятичную дробь, нужно перенести запятую в делителе и делимом вправо на столько знаков, чтобы делитель стал целым числом.

Пример:* . Переносим запятую на 2 знака вправо: .

Часть 4. Преобразования между видами дробей

На ЕНТ часто встречаются примеры, где смешаны оба вида дробей. Например: . Чтобы решить это, нужно привести всё к одному виду.

Перевод из десятичной в обыкновенную

Это просто: как слышим, так и пишем. . Сокращаем на 25, получаем .

Перевод из обыкновенной в десятичную

Есть два способа:

Домножение: Превратить знаменатель в

* .

Деление уголком: Разделить числитель на знаменатель.

* .

> Важно: Не все обыкновенные дроби можно перевести в конечную десятичную. Если в разложении знаменателя на простые множители есть что-то кроме и (например, ), то десятичная дробь будет бесконечной периодической.

Пример: .

Перевод периодической дроби в обыкновенную (Лайфхак для ЕНТ)

Иногда в заданиях попадаются числа вида или . Работать с ними в таком виде нельзя, нужно переводить в обыкновенную дробь.

Правило: В числителе пишем число, образующее период. В знаменателе пишем столько девяток, сколько цифр в периоде.

где — цифра периода.

Пример: .

Сложный случай (смешанная периодическая дробь): Если есть цифры между запятой и периодом.

Формула словами:

В числителе: записываем всё число после запятой (включая период) минус число, стоящее до периода.

В знаменателе: пишем столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей, сколько цифр между запятой и периодом.

Пример: Переведем .

Числитель: .

Знаменатель: одна цифра в периоде () одна девятка. Одна цифра до периода () один ноль. Итого .

Дробь: . Сокращаем на 15, получаем .

Стратегия решения на ЕНТ

Когда вы видите пример с разными типами дробей, задайте себе вопрос: «Могу ли я перевести всё в десятичные дроби без потери точности?»

* ДА, если знаменатели содержат только множители 2 и 5 (например, ). Десятичные дроби обычно удобнее для сложения и вычитания. * НЕТ, если есть знаменатели 3, 7, 9 и т.д. (например, ). В этом случае обязательно переводите всё в обыкновенные дроби. Иначе вы получите приближенный ответ, который не засчитают.

В следующей статье мы применим эти навыки для решения задач на проценты и пропорции, где умение сокращать дроби сэкономит вам драгоценные минуты экзамена.

Отношения, пропорции и решение задач на проценты

Мы продолжаем наш курс подготовки к ЕНТ. В предыдущих статьях мы проделали большой путь: разобрали виды чисел, научились находить НОД и НОК, а также освоили работу с обыкновенными и десятичными дробями.

Сегодняшняя тема — это логическое продолжение темы дробей. Ведь что такое дробь ? Это не просто число, это способ показать связь между частью и целым. Именно на этом строятся понятия отношения и пропорции. А проценты — это, пожалуй, самая прикладная тема математики, которая нужна не только для экзамена, но и для того, чтобы понимать скидки в магазинах или условия кредитов.

Отношения чисел

В математике часто нужно сравнить две величины. Например, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно число составляет от другого. Для этого используют деление.

Определение: Отношением двух чисел называется их частное.

Отношение чисел и (где ) записывают как или .

где — предыдущий член отношения, — последующий член отношения, а — значение отношения.

Что показывает отношение?

Если , отношение показывает, во сколько раз больше .

Если , отношение показывает, какую часть число составляет от числа .

Пример: В классе 20 девочек и 10 мальчиков. * Отношение девочек к мальчикам: . Девочек в 2 раза больше. * Отношение мальчиков к девочкам: . Мальчики составляют половину от количества девочек.

> Основное свойство отношения: Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Это то же самое, что и основное свойство дроби.

Пропорции

Если у нас есть два равных отношения, мы можем поставить между ними знак равенства. Так рождается пропорция.

Определение: Пропорция — это равенство двух отношений.

где — члены пропорции. При этом и .

У пропорции есть свои «имена» для чисел: * и — это крайние члены (они стоят по краям записи). * и — это средние члены (они стоят в середине).

!Визуализация основного свойства пропорции через перекрестное умножение

Основное свойство пропорции

Это «золотой ключ» к решению множества задач на ЕНТ.

Произведение крайних членов равно произведению средних членов.

где и — крайние члены, и — средние члены, а знак обозначает умножение.

Это свойство позволяет находить неизвестный член пропорции. Допустим, нам нужно найти :

Используем правило «крестика» (перемножаем диагонали):

Прямая и обратная пропорциональность

В текстовых задачах величины могут зависеть друг от друга по-разному.

Прямая пропорциональность: Чем больше одна величина, тем больше другая (во столько же раз).

Пример:* Чем больше конфет вы покупаете, тем больше вы платите. Схема:* .

Обратная пропорциональность: Чем больше одна величина, тем меньше другая (во столько же раз).

Пример:* Чем больше рабочих строят дом, тем меньше дней им понадобится. Чем выше скорость, тем меньше времени в пути. Схема:* (произведение величин постоянно).

Проценты

Проценты пугают многих, но на самом деле это просто другой способ записи дробей.

Определение: Процент — это одна сотая часть числа.

Обозначается знаком .

где — один процент, — обыкновенная дробь, — десятичная дробь.

Соответственно, всё целое — это .

Как переводить проценты в дроби и обратно?

* Из процентов в число: Разделите число процентов на 100. * . * . * .

* Из числа в проценты: Умножьте число на 100 и припишите знак . * . * . * .

Три главных типа задач на проценты

На ЕНТ встречаются три базовых типа задач. Давайте разберем их алгоритмы.

#### Тип 1. Нахождение процента от числа

Задача: Найти от числа .

Правило: Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на этот процент (выраженный дробью).

где — искомая часть, — исходное число, — количество процентов.

Решение: Переведем в дробь: .

Ответ: 100.

#### Тип 2. Нахождение числа по его проценту

Задача: Число составляет от неизвестного числа. Найдите это число.

Правило: Чтобы найти число по значению его процента, нужно известную часть разделить на этот процент (выраженный дробью).

где — искомое целое число, — известная часть, — количество процентов, соответствующее этой части.

Решение: Переведем в дробь: .

Ответ: 400.

#### Тип 3. Нахождение процентного отношения двух чисел

Задача: Сколько процентов число составляет от числа ?

Правило: Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно первое число разделить на второе и умножить на .

где — искомый процент, — часть, — целое.

Решение:

Ответ: .

Сложные задачи и ловушки ЕНТ

Ловушка «Изменение цены»

Это классическая ошибка абитуриентов.

Задача: Цену товара повысили на , а потом новую цену понизили на . Вернулась ли цена к исходной?

Интуитивный ответ: Да. (). Правильный ответ: НЕТ!

Давайте проверим на числах. Пусть товар стоил тенге.

Повышение на : тенге.

Понижение на . Внимание! Теперь мы берем не от старой цены, а от новой ( тенге).

Финальная цена: тенге.

Итог: Цена уменьшилась на . Всегда считайте проценты последовательно!

Задачи на концентрацию (смеси и сплавы)

В таких задачах часто используется понятие концентрации раствора.

где — концентрация в процентах, — масса чистого вещества (соли, кислоты, золота), — общая масса раствора или сплава.

Главный принцип решения таких задач: Масса смеси равна сумме масс компонентов, а масса чистого вещества складывается из масс вещества в компонентах.

!Иллюстрация принципа сложения масс при смешивании растворов

Пример: Смешали г -го раствора соли и г -го раствора. Какова концентрация нового раствора?

Найдем соль в первом растворе: г.

Найдем соль во втором растворе: г.

Общая масса соли: г.

Общая масса раствора: г.

Новая концентрация:

Итоги

Пропорция — это равенство двух отношений (). Помните про «крестик»: .

Процент — это сотая часть числа. .

В задачах на изменение цены база для процента меняется на каждом шаге.

В задачах на растворы следите за массой чистого вещества.

В следующей главе мы перейдем от арифметики к алгебре и начнем работать с переменными, одночленами и многочленами. Но умение работать с пропорциями останется с вами до самого конца курса.

Степень с действительным показателем, свойства корней и модуль числа

Мы продолжаем наш курс подготовки к ЕНТ. В предыдущих статьях мы научились работать с дробями, пропорциями и процентами. Теперь пришло время вооружиться более мощными инструментами.

Представьте, что вам нужно умножить число на само себя раз. Записывать долго и неудобно. Математики — люди ленивые (в хорошем смысле), поэтому они придумали степень. А обратное действие породило понятие корня. Ну а чтобы не путаться со знаками, нам понадобится модуль.

Эти три понятия — «киты», на которых держится вся алгебра ЕНТ. Ошибки здесь стоят очень дорого, поэтому давайте разбираться детально.

Степень с действительным показателем

Начнем с определения. Степень — это способ краткой записи многократного умножения числа на само себя.

где — основание степени (число, которое мы умножаем), — показатель степени (сколько раз мы умножаем), а — само значение степени.

Виды показателей степени

В зависимости от того, какое число стоит в показателе , правила игры немного меняются.

#### 1. Натуральный показатель () Это классика. * . * (минус на минус дает плюс). * (минус сохранился).

> Правило знаков: Если отрицательное число возводится в четную степень, результат будет положительным. Если в нечетную — отрицательным.

#### 2. Нулевой показатель () Это нужно просто запомнить как аксиому.

где — любое число, кроме нуля ().

Любое число в нулевой степени равно единице. , , .

#### 3. Целый отрицательный показатель () Отрицательная степень не делает число отрицательным! Она его «переворачивает».

где — основание (не равное нулю), — отрицательный показатель, который превращается в положительный в знаменателе дроби.

Примеры: * * * (дробь просто перевернулась).

!Схема, показывающая, что минус в степени отправляет число в знаменатель или переворачивает дробь.

Свойства степеней

Эти формулы нужно знать наизусть, чтобы быстро упрощать выражения на ЕНТ.

Умножение степеней с одинаковым основанием:

где — основание, и — показатели. При умножении показатели складываются.

Деление степеней с одинаковым основанием:

где — основание, и — показатели. При делении показатели вычитаются.

Возведение степени в степень:

где и — показатели. В этом случае они перемножаются.

Степень произведения:

где и — множители основания. Степень относится к каждому множителю.

Степень частного:

где — числитель, — знаменатель. Степень возводит и числитель, и знаменатель.

Корни и степень с рациональным показателем

Корень — это операция, обратная возведению в степень. Если , то корень квадратный из равен .

Определение: Корнем -й степени из числа называется такое число , которое при возведении в степень дает .

где — знак радикала, — показатель корня (если , его обычно не пишут), — подкоренное выражение.

Связь корня и степени

Любой корень можно записать как степень с дробным (рациональным) показателем. Это очень удобно для вычислений.

где — основание, — степень числа под корнем (числитель дроби), — степень корня (знаменатель дроби).

> Мнемоника: Корень — это как дерево. Показатель корня () находится внизу (в корнях, в знаменателе), а степень самого числа () — наверху (в кроне, в числителе).

Примеры: * * * (так как ).

Свойства корней

Так как корни — это те же степени, свойства у них аналогичные:

Корень из произведения:

где и — множители. Корень можно извлекать из каждого множителя отдельно.

Корень из частного:

где — числитель, — знаменатель.

Корень из корня:

где и — показатели корней. Они перемножаются.

Модуль числа

Теперь перейдем к теме, на которой срезается половина абитуриентов. Что такое модуль?

Геометрический смысл

Определение: Модуль числа — это расстояние от начала координат (нуля) до точки, изображающей это число на координатной прямой.

Обозначается: .

где — число, а — расстояние от до (5 шагов).

Так как расстояние не может быть отрицательным, модуль всегда неотрицателен ().

!Геометрическая интерпретация модуля как расстояния от нуля.

Алгебраическое определение

Для решения уравнений нам нужно строгое определение:

Это значит:

Если под модулем стоит положительное число или ноль, мы просто убираем палочки: .

Если под модулем стоит отрицательное число, мы меняем его знак на противоположный, чтобы получить плюс: .

Главная ловушка ЕНТ:

Чему равен ? Многие не задумываясь отвечают: . Это ошибка!

Давайте проверим. Пусть . . Если бы мы ответили просто , то получили бы . А корень четной степени не может быть отрицательным.

Правильная формула:

где — любое действительное число. Квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа.

Это свойство критически важно при упрощении выражений с переменными.

Свойства модуля

(модуль неотрицателен).

(модули противоположных чисел равны).

(модуль произведения равен произведению модулей).

(модуль частного равен частному модулей, при ).

(при ). Это схема решения простейших уравнений с модулем.

Практический пример объединения тем

Давайте решим пример, который мог бы встретиться на ЕНТ.

Задание: Упростить выражение .

Решение:

Разберемся с первым слагаемым. Используем свойство для четных .

.

Разберемся со вторым слагаемым .

Нам нужно узнать знак выражения внутри модуля. Так как , а , значит . Следовательно, — это отрицательное число. По определению модуля, если внутри минус, мы меняем знаки раскрывая скобки: .

Складываем результаты:

.

Ответ: .

Заключение

Сегодня мы заложили фундамент для работы с алгебраическими выражениями. Помните: * Отрицательная степень переворачивает дробь. * Дробная степень — это корень. * Корень из квадрата — это модуль.

В следующей статье мы перейдем к тождественным преобразованиям алгебраических выражений и формулам сокращенного умножения, где эти навыки нам очень пригодятся.