Современная физика для олимпиад

Специальная теория относительности: кинематика и релятивистская динамика

Добро пожаловать на курс «Современная физика для олимпиад». Сегодня мы приступаем к одной из самых захватывающих и контринтуитивных тем в физике — Специальной теории относительности (СТО). Если классическая механика Ньютона кажется нам «здравым смыслом», то СТО заставляет пересмотреть наши фундаментальные представления о пространстве и времени.

Для олимпиадника понимание СТО — это не просто запоминание формул с корнями. Это умение мыслить в четырехмерном пространстве-времени и понимать, как меняются физические величины при переходе между инерциальными системами отсчета.

Постулаты Эйнштейна

В 1905 году Альберт Эйнштейн опубликовал работу, которая базировалась на двух фундаментальных постулатах. Именно с них начинается решение любой задачи по СТО.

Принцип относительности: Все физические законы (механики, электродинамики и др.) имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета (ИСО).

Инвариантность скорости света: Скорость света в вакууме одинакова во всех ИСО и не зависит ни от скорости источника, ни от скорости приемника сигнала.

Из второго постулата следует, что привычное нам правило сложения скоростей () не работает для скоростей, близких к скорости света.

Преобразования Лоренца

В классической механике мы использовали преобразования Галилея. В релятивистской физике, чтобы удовлетворить постулату о постоянстве скорости света, мы используем преобразования Лоренца.

Пусть система движется относительно системы со скоростью вдоль оси . Координаты и время в этих системах связаны следующим образом. Сначала введем лоренц-фактор (гамма-фактор):

Где: * — лоренц-фактор (всегда ). * — скорость движения системы отсчета (или тела). * — скорость света в вакууме ( м/с).

Теперь запишем сами преобразования координат и времени:

Где: * — координата события в движущейся системе . * — координата события в неподвижной системе . * — скорость системы относительно . * — время события в системе .

Где: * — время события в движущейся системе . * — время события в неподвижной системе . * — координата события в системе .

Обратите внимание: время зависит не только от времени , но и от координаты . Это означает, что одновременность относительна. События, одновременные в одной системе отсчета, могут происходить в разное время в другой.

!Схема движения инерциальных систем отсчета K и K' друг относительно друга.

Релятивистская кинематика

Из преобразований Лоренца вытекают три важнейших кинематических эффекта, которые часто встречаются в олимпиадных задачах.

1. Релятивистское замедление времени

Если часы движутся относительно наблюдателя, то время на них течет медленнее, чем на неподвижных часах наблюдателя.

Где: * — интервал времени между событиями, измеренный в системе, относительно которой часы движутся (лабораторная система). * — собственное время (интервал времени, измеренный по часам, которые покоятся относительно происходящих событий).

Важно: всегда больше или равно . Самое короткое время всегда измеряется в той системе, где события происходят в одной точке пространства.

2. Лоренцево сокращение длины

Длина движущегося объекта, измеренная в неподвижной системе отсчета, меньше, чем его собственная длина.

Где: * — длина объекта в системе отсчета, относительно которой он движется. * — собственная длина (длина объекта в системе отсчета, где он покоится).

Важно: Сокращение происходит только вдоль направления движения. Поперечные размеры не меняются.

3. Релятивистский закон сложения скоростей

Если тело движется внутри системы со скоростью , а сама система движется относительно со скоростью , то скорость тела относительно равна:

Где: * — скорость тела относительно неподвижной системы . * — скорость тела относительно движущейся системы . * — скорость системы относительно .

Если подставить , то мы получим . Это математическое подтверждение второго постулата Эйнштейна.

Релятивистская динамика

В олимпиадных задачах часто требуется найти энергию или импульс частиц, разогнанных до околосветовых скоростей. Законы Ньютона в привычном виде здесь требуют коррекции.

Релятивистский импульс

Импульс частицы определяется формулой:

Где: * — вектор релятивистского импульса. * — масса частицы (масса покоя, инвариантная величина). * — скорость частицы.

Полная энергия и энергия покоя

Самая известная формула физики связывает энергию и массу. Полная энергия свободного тела равна:

Где: * — полная энергия тела. * — масса покоя.

Даже если тело покоится (), оно обладает энергией, называемой энергией покоя:

Где: * — энергия покоя.

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия — это разность между полной энергией и энергией покоя. Забудьте формулу для быстрых частиц!

Где: * — релятивистская кинетическая энергия.

!Сравнение классической и релятивистской кинетической энергии.

Связь энергии и импульса

Это, пожалуй, самая полезная формула для решения задач по физике элементарных частиц, так как она позволяет избавиться от скорости и связывает напрямую энергию и импульс:

Где: * — полная энергия. * — модуль импульса. * — масса покоя.

Для безмассовых частиц (например, фотонов), где , эта формула упрощается до:

Где: * — энергия фотона. * — импульс фотона.

Инварианты

При решении задач важно искать величины, которые не меняются при смене системы отсчета. В СТО такой величиной является интервал между событиями, а в динамике — масса покоя (которая выражается через инвариант энергии-импульса ).

Понимание этих принципов — ключ к успеху на олимпиадах. В следующих статьях мы разберем конкретные примеры столкновения частиц и парадоксы СТО.

Квантовая природа света: фотоэффект, эффект Комптона и давление света

В предыдущей статье мы погрузились в мир Специальной теории относительности и узнали, что масса и энергия связаны, а привычные законы механики меняются при скоростях, близких к скорости света. Мы также записали важнейшее соотношение для безмассовых частиц: . Сегодня мы применим эти знания к изучению света.

Долгое время физики спорили: свет — это волна или поток частиц? Интерференция и дифракция убедительно доказывали волновую природу. Однако в начале XX века обнаружились явления, которые волновая теория объяснить не могла. Для их описания пришлось признать, что свет ведет себя и как поток частиц — фотонов.

Гипотеза Планка и энергия фотона

В 1900 году Макс Планк, пытаясь описать излучение абсолютно черного тела, предположил, что энергия испускается не непрерывно, а порциями — квантами. Альберт Эйнштейн развил эту идею, предположив, что свет не только испускается, но и распространяется и поглощается порциями.

Энергия одного фотона определяется формулой:

Где: * — энергия фотона (Дж). * — постоянная Планка ( Джс). * — частота света (Гц). * — приведенная постоянная Планка (постоянная Дирака). * — циклическая частота.

Так как фотон движется со скоростью света , он не имеет массы покоя (). Используя релятивистское соотношение , мы можем найти импульс фотона:

Где: * — импульс фотона. * — скорость света в вакууме. * — длина волны света (так как ).

Эта формула связывает корпуслярную характеристику (импульс ) с волновой характеристикой (длина волны ).

Фотоэлектрический эффект

Фотоэффект — это явление испускания электронов веществом под действием света. Это явление стало первым экспериментальным подтверждением квантовой теории.

Законы фотоэффекта

Эксперименты Александра Столетова позволили сформулировать законы, которые противоречили классической волновой теории:

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов зависит линейно от частоты света и не зависит от его интенсивности.

Для каждого вещества существует «красная граница» фотоэффекта — минимальная частота, ниже которой фотоэффект невозможен.

Количество выбиваемых электронов пропорционально интенсивности света.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

Эйнштейн объяснил эти закономерности, применив закон сохранения энергии. Один фотон взаимодействует с одним электроном, передавая ему всю свою энергию.

Где: * — энергия падающего фотона. * — работа выхода (минимальная энергия, которую нужно затратить, чтобы вырвать электрон из металла; зависит от материала). * — максимальная кинетическая энергия вылетевшего электрона.

Если энергии фотона недостаточно (), электрон не сможет покинуть металл. Отсюда находим красную границу фотоэффекта :

Где: * — минимальная частота света, вызывающая фотоэффект.

!Схема установки для наблюдения фотоэффекта и измерения задерживающего напряжения.

Задерживающее напряжение

В олимпиадных задачах часто дается не кинетическая энергия, а задерживающее напряжение (или запирающий потенциал). Это такое обратное напряжение , которое нужно приложить между катодом и анодом, чтобы даже самые быстрые электроны не достигли анода (ток в цепи прекратился).

По теореме о кинетической энергии, работа электрического поля идет на торможение электрона:

Где: * — элементарный заряд (заряд электрона, Кл). * — задерживающее напряжение.

Тогда уравнение Эйнштейна принимает вид:

Эффект Комптона

Если фотоэффект наблюдается при взаимодействии света с связанными электронами (в металле), то эффект Комптона — это рассеяние фотонов на свободных (или слабо связанных) электронах. Это явление наиболее ярко проявляется для рентгеновского излучения.

При рассеянии длина волны света увеличивается. Классическая теория не могла объяснить изменение длины волны, так как в волновой теории частота вынужденных колебаний электрона должна совпадать с частотой падающей волны.

Артур Комптон рассмотрел это как упругое столкновение двух частиц: фотона и электрона. Здесь мы обязаны использовать законы сохранения энергии и импульса в релятивистской форме (так как фотон движется со скоростью , а электрон может получить значительную скорость).

Законы сохранения

Пусть фотон с энергией и импульсом налетает на покоящийся электрон с энергией покоя . После столкновения фотон рассеивается под углом , имея новую частоту , а электрон отлетает с импульсом и энергией .

Закон сохранения энергии:

Где: * — энергия падающего фотона. * — энергия покоя электрона. * — энергия рассеянного фотона. * — полная энергия электрона отдачи.

Закон сохранения импульса (векторная сумма):

Где: * — импульс падающего фотона. * — импульс рассеянного фотона. * — импульс электрона отдачи.

!Схема эффекта Комптона и векторный треугольник импульсов.

Формула Комптона

Решая систему уравнений законов сохранения (исключая параметры электрона), можно получить формулу для изменения длины волны фотона:

Где: * — комптоновский сдвиг (изменение длины волны). * — длина волны рассеянного излучения. * — длина волны падающего излучения. * — масса покоя электрона. * — скорость света. * — угол рассеяния фотона (угол между направлением падающего и рассеянного фотона).

Величина называется комптоновской длиной волны электрона. Для электрона она равна примерно м (2.43 пм).

Важно для олимпиад: Максимальное изменение длины волны происходит при рассеянии назад (), тогда , и сдвиг равен .

Давление света

Поскольку фотоны обладают импульсом, при столкновении с поверхностью они передают ей этот импульс. Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме (), изменение импульса частиц приводит к возникновению силы.

Давление света было теоретически предсказано Максвеллом и экспериментально измерено русским физиком Петром Лебедевым в 1900 году. Это тонкий эксперимент, так как давление света крайне мало в обычных условиях.

Расчет давления

Рассмотрим поток фотонов, падающих перпендикулярно на поверхность площадью . Пусть — количество фотонов, падающих за время .

Импульс одного фотона . Суммарная энергия, падающая на поверхность, равна . Интенсивность света (мощность на единицу площади) равна:

Где: * — интенсивность света (Вт/м²).

Сила давления зависит от того, что происходит с фотонами:

Поглощение (черная поверхность): Фотон передает весь свой импульс . Изменение импульса .

Отражение (зеркальная поверхность): Фотон отскакивает обратно с тем же по модулю импульсом. Изменение импульса .

В общем случае, если коэффициент отражения поверхности равен (где ), то давление света рассчитывается по формуле:

Где: * — давление света (Па). * — интенсивность падающего света. * — скорость света. * — коэффициент отражения (0 для абсолютно черного тела, 1 для идеального зеркала).

Также полезно помнить связь интенсивности с объемной плотностью энергии электромагнитного поля :

Где: * — объемная плотность энергии излучения.

Корпускулярно-волновой дуализм

Рассмотренные явления (фотоэффект, эффект Комптона, давление света) доказывают корпускулярную природу света. Однако интерференция и дифракция доказывают волновую. Современная физика объединяет эти представления в концепции корпускулярно-волнового дуализма:

* При распространении свет проявляет волновые свойства (интерферирует, огибает препятствия). * При взаимодействии с веществом (излучение и поглощение) свет проявляет корпускулярные свойства (ведет себя как поток частиц).

Критерием применимости той или иной модели часто служит соотношение длины волны и характерных размеров задачи . Если , важны волновые свойства. Если (геометрическая оптика) или рассматриваются процессы на атомном уровне с обменом энергией, важны корпускулярные свойства.

В следующих статьях мы увидим, что этот дуализм присущ не только свету, но и всем частицам материи — электронам, протонам и даже атомам.

Волновые свойства частиц и гипотеза де Бройля

Приветствую вас на очередной лекции курса «Современная физика для олимпиад». В предыдущих статьях мы столкнулись с удивительным фактом: свет, который мы привыкли считать волной, в явлениях фотоэффекта и эффекта Комптона ведет себя как поток частиц — фотонов. Это явление мы назвали корпускулярно-волновым дуализмом.

В 1923 году французский физик Луи де Бройль задался смелым вопросом: если волны могут вести себя как частицы, то не могут ли частицы (электроны, протоны и даже атомы) вести себя как волны? Природа любит симметрию, и этот вопрос привел к рождению новой физики — квантовой механики.

Гипотеза де Бройля

Луи де Бройль выдвинул гипотезу, согласно которой каждой материальной частице, обладающей импульсом, соответствует волна.

Длина этой волны определяется той же формулой, которую мы вывели для фотона, только теперь мы применяем её к частицам вещества:

Где: * — длина волны де Бройля (м). * — постоянная Планка ( Джс). * — импульс частицы (кгм/с).

Эта простая с виду формула является мостом между миром частиц (импульс ) и миром волн (длина волны ).

Расчет длины волны для различных случаев

В олимпиадных задачах частицы часто разгоняются электрическим полем. Давайте выразим длину волны де Бройля через ускоряющее напряжение.

1. Нерелятивистский случай ()

Кинетическая энергия частицы связана с импульсом формулой . Если частица с зарядом прошла ускоряющую разность потенциалов , то . Тогда импульс:

Где: * — импульс частицы. * — масса частицы. * — кинетическая энергия. * — заряд частицы. * — ускоряющее напряжение.

Подставляя это в формулу де Бройля, получаем:

Где: * — длина волны де Бройля ускоренной частицы.

2. Релятивистский случай

Если кинетическая энергия сравнима с энергией покоя (), необходимо использовать релятивистскую связь энергии и импульса:

Где: * — полная энергия.

Отсюда выражаем импульс и находим длину волны. Это более сложный случай, который встречается на олимпиадах высокого уровня.

Почему мы не замечаем волновых свойств в быту?

Давайте оценим длину волны де Бройля для макроскопического объекта и для электрона.

Футбольный мяч: Масса кг, скорость м/с.

Эта величина на много порядков меньше размера атомного ядра ( м). Обнаружить волновые свойства (например, дифракцию) при таких длинах волн невозможно.

Электрон: Масса кг, ускорен напряжением В.

Это уже сопоставимо с размерами атомов и расстояниями между атомами в кристаллах. Следовательно, для электронов волновые свойства должны проявляться ярко.

Экспериментальное подтверждение

Гипотеза де Бройля была блестяще подтверждена экспериментально в 1927 году американскими физиками Дэвиссоном и Джермером.

Они направили пучок электронов на кристалл никеля. Кристаллическая решетка никеля сработала как естественная дифракционная решетка (так как расстояние между атомами сопоставимо с электронов). На экране наблюдалась четкая дифракционная картина — чередование максимумов и минимумов интенсивности, точно такая же, как для рентгеновских лучей.

Это доказало: электроны дифрагируют, а значит, ведут себя как волны.

Волны де Бройля и модель атома Бора

Одним из самых красивых применений гипотезы де Бройля является объяснение постулатов Бора. Нильс Бор постулировал, что электроны могут двигаться только по определенным стационарным орбитам, но не мог объяснить почему.

Де Бройль предложил следующее объяснение: стационарная орбита — это такая орбита, на которой укладывается целое число длин волн электрона. В этом случае волна, обегая ядро, интерферирует сама с собой и образует стоячую волну. Если же длина орбиты не кратна длине волны, волна гасит сама себя, и такая орбита существовать не может.

!Иллюстрация условия квантования орбит: стационарная орбита возможна только если на ней укладывается целое число волн.

Математически это записывается так:

Где: * — длина окружности орбиты радиуса . * — целое число (главное квантовое число: 1, 2, 3...). * — длина волны де Бройля.

Подставим сюда :

Преобразуем уравнение, перенеся и :

Где: * — момент импульса электрона. * — приведенная постоянная Планка.

Мы получили в точности правило квантования Бора: момент импульса электрона на орбите кратен постоянной Планка. То, что Бор ввел как постулат, оказалось следствием волновой природы электрона.

Принцип неопределенности Гейзенберга

Волновая природа материи приводит к фундаментальному ограничению на точность измерений, которое сформулировал Вернер Гейзенберг в 1927 году. В классической механике мы можем одновременно точно знать координату и импульс частицы. В квантовой механике это невозможно.

Представьте волну. Где именно она находится? У идеальной синусоидальной волны нет точного положения в пространстве (она бесконечна), зато есть точная длина волны (а значит, и импульс). Если же мы хотим локализовать частицу (сделать волновой пакет), нам придется сложить множество волн с разными длинами. Чем уже пакет (точнее координата), тем больше разброс импульсов.

Математическое выражение принципа неопределенности:

Где: * — неопределенность координаты (погрешность измерения положения). * — неопределенность проекции импульса на ту же ось. * — приведенная постоянная Планка.

Важные следствия для олимпиад:

Электрон не может упасть на ядро. Если бы он упал, его стало бы почти нулем, тогда (и кинетическая энергия) стали бы бесконечно большими.

Понятие «траектория» для микрочастиц теряет смысл. Мы можем говорить только о вероятности нахождения частицы в данной области.

Существует также соотношение неопределенностей для энергии и времени:

Где: * — неопределенность энергии состояния. * — время жизни этого состояния.

Это объясняет, почему спектральные линии не являются бесконечно тонкими: если атом находится в возбужденном состоянии конечное время, энергия излученного фотона имеет разброс (естественная ширина спектральной линии).

Заключение

Открытие волновых свойств частиц окончательно разрушило классическую картину мира. Материя, как и свет, обладает двойственной природой. В макромире волновые свойства скрыты из-за малости постоянной Планка, но в микромире они играют определяющую роль.

В следующих статьях мы узнаем, как описывать состояние частицы с помощью волновой функции и уравнения Шрёдингера, которое является аналогом второго закона Ньютона в квантовом мире.

Физика атома: модель Бора, спектры излучения и энергетические уровни

Добро пожаловать на следующую лекцию курса «Современная физика для олимпиад». В прошлой статье мы обсудили революционную гипотезу де Бройля, согласно которой частицы материи обладают волновыми свойствами. Мы даже успели заметить, что условие квантования орбит в атоме () естественным образом вытекает из требования, чтобы на орбите укладывалась стоячая волна электрона.

Сегодня мы детально разберем модель атома Бора. Несмотря на то, что современная квантовая механика ушла далеко вперед, модель Бора остается важнейшим инструментом для олимпиадника. Она позволяет с удивительной точностью рассчитывать энергетические уровни водородоподобных атомов и понимать природу спектров излучения, не прибегая к сложнейшему решению уравнения Шрёдингера.

Крах классической планетарной модели

В 1911 году Эрнест Резерфорд на основе опытов по рассеянию альфа-частиц предложил планетарную модель атома: в центре находится тяжелое положительно заряженное ядро, а вокруг него, подобно планетам вокруг Солнца, вращаются легкие электроны.

Однако эта красивая модель имела фатальный недостаток с точки зрения классической электродинамики.

Электрон движется по круговой орбите, а значит, обладает центростремительным ускорением.

Согласно теории Максвелла, любой ускоренно движущийся заряд обязан излучать электромагнитные волны.

Излучая, электрон теряет энергию.

Теряя энергию, он должен двигаться по спирали и за ничтожные доли секунды ( с) упасть на ядро.

Атомы же стабильны и существуют миллиарды лет. Это противоречие стало тупиком классической физики.

!Иллюстрация "катастрофы" классического атома: излучающий электрон неизбежно падает на ядро.

Постулаты Бора

В 1913 году Нильс Бор разрешил это противоречие, сформулировав три постулата. Они не выводились из классической физики, а вводились как аксиомы, необходимые для спасения теории.

Первый постулат (о стационарных состояниях)

Атомная система может находиться только в особых стационарных, или квантовых, состояниях, каждому из которых соответствует определенная энергия . В стационарном состоянии атом не излучает энергию.

Второй постулат (правило частот)

Излучение или поглощение света происходит только при переходе атома из одного стационарного состояния в другое. Энергия фотона равна разности энергий этих состояний:

Где: * — постоянная Планка ( Джс). * — частота излученного или поглощенного фотона. * — энергия начального состояния. * — энергия конечного состояния.

Если , происходит излучение фотона (переход «сверху вниз»). Если , происходит поглощение (переход «снизу вверх»).

Третий постулат (правило квантования орбит)

В стационарном состоянии момент импульса электрона, движущегося по круговой орбите, должен быть кратен постоянной Планка:

Где: * — момент импульса электрона. * — масса электрона. * — скорость электрона на -й орбите. * — радиус -й орбиты. * — главное квантовое число (). * — приведенная постоянная Планка.

Именно это условие, как мы выяснили в прошлой статье, эквивалентно требованию .

Математика модели Бора: расчет параметров атома

Для олимпиад крайне важно уметь выводить формулы для радиуса, скорости и энергии электрона. Давайте сделаем это для водородоподобного иона (система из ядра с зарядом и одного электрона ). Для водорода , для иона гелия , для лития .

Запишем второй закон Ньютона для электрона. Сила кулоновского притяжения сообщает ему центростремительное ускорение:

Где: * — коэффициент в законе Кулона ( Нм/Кл). * — зарядовое число ядра (количество протонов). * — элементарный заряд ( Кл). * — радиус орбиты. * — масса электрона. * — скорость электрона.

У нас есть система из двух уравнений:

Динамическое: (сократили на )

Квантовое:

Радиус орбиты

Выразим скорость из второго уравнения: . Подставим это выражение в первое уравнение:

Сокращаем и один , затем выражаем :

Где: * — радиус -й орбиты.

Для атома водорода () на первой орбите () мы получаем фундаментальную константу — Боровский радиус :

Общая формула для радиуса:

Вывод: Радиус орбиты растет пропорционально квадрату номера орбиты () и обратно пропорционален заряду ядра ().

Скорость электрона

Подставим найденный радиус обратно в формулу квантования момента:

Где: * — скорость электрона на -й орбите.

Для первой орбиты водорода () скорость составляет примерно от скорости света ( м/с).

Вывод: Скорость убывает с ростом номера орбиты (). Чем дальше электрон, тем медленнее он движется.

Энергия электрона

Полная механическая энергия электрона складывается из кинетической и потенциальной:

Где: * — потенциальная энергия взаимодействия (знак минус означает притяжение).

Вспомним динамическое уравнение . Отсюда следует, что .

Заметим интересное соотношение (теорема вириала для кулоновского поля): . Тогда полная энергия:

Подставим сюда выражение для радиуса :

Это громоздкое выражение обычно записывают проще, вычислив константу для водорода (). Эта энергия называется энергией ионизации водорода или постоянной Ридберга в энергетических единицах ().

Тогда общая формула для энергетических уровней:

Где: * — энергия уровня (в электрон-вольтах). * — заряд ядра. * — номер уровня.

Важно: Энергия отрицательна, так как электрон связан с ядром. Чтобы оторвать электрон (ионизировать атом), нужно сообщить ему энергию, достаточную для перехода в состояние с (на бесконечность).

!Энергетическая диаграмма атома водорода с указанием значений энергии для первых уровней.

Спектры излучения

Теперь мы можем объяснить линейчатые спектры. Когда возбужденный атом переходит с высокого уровня на более низкий уровень , излучается фотон с энергией:

Часто используют формулу для длины волны . Обозначим как постоянную Ридберга ( м):

Где: * — номер нижнего уровня (куда прыгаем). * — номер верхнего уровня (откуда прыгаем, ).

Спектральные серии водорода

Для водорода () переходы группируются в серии в зависимости от нижнего уровня :

Серия Лаймана (): Переходы на 1-й уровень (). Энергии фотонов большие, это ультрафиолетовый диапазон.

Серия Бальмера (): Переходы на 2-й уровень (). Это видимый диапазон света (именно эти линии мы видим в газоразрядных трубках).

Серия Пашена (): Переходы на 3-й уровень. Инфракрасный диапазон.

Олимпиадные нюансы

1. Эффект отдачи ядра

В наших расчетах мы считали ядро неподвижным. На самом деле электрон и ядро вращаются вокруг общего центра масс. В олимпиадных задачах высокого уровня это учитывается заменой массы электрона на приведенную массу :

Где: * — масса ядра.

Поскольку , поправка обычно мала (для водорода около 0.05%), но для позитрония (система электрон-позитрон) она критична, так как там массы равны.

2. Изотопический сдвиг

Из-за эффекта приведенной массы уровни энергии у дейтерия (ядро: протон + нейтрон) чуть глубже, чем у протия (ядро: протон). Это позволяет спектрально различать изотопы.

3. Водородоподобные ионы

Не забывайте про множитель в энергии! Энергия ионизации гелия () будет в раза больше, чем у водорода: эВ.

Заключение

Модель Бора — это триумф полуклассической физики. Она объяснила стабильность атома и загадку линейчатых спектров. Однако она не могла объяснить интенсивность спектральных линий, тонкую структуру спектров и строение сложных атомов (даже для гелия с двумя электронами она дает сбой).

Для полного описания микромира потребовался отказ от понятия «траектория» и переход к волновой функции, о чем мы поговорим в следующей статье, посвященной уравнению Шрёдингера.

Ядерная физика: закон радиоактивного распада и энергия связи

Приветствую вас на курсе «Современная физика для олимпиад». В предыдущих лекциях мы спускались всё глубже в структуру материи: от макроскопических тел к молекулам, затем к атомам и их электронным оболочкам. Мы узнали, что электроны ведут себя как волны и занимают дискретные энергетические уровни.

Сегодня мы сделаем следующий шаг и заглянем в самое сердце атома — в его ядро. Ядерная физика оперирует энергиями, в миллионы раз превышающими химические, и именно здесь скрыты секреты звезд и атомной энергетики.

Строение атомного ядра

Атомное ядро состоит из двух типов частиц, называемых нуклонами: протонов и нейтронов. Протоны имеют положительный заряд, нейтроны электрически нейтральны. Поскольку массы протона и нейтрона очень близки (и почти в 2000 раз больше массы электрона), именно ядро определяет массу атома.

Для обозначения ядра химического элемента используется следующая запись:

Где: * — символ химического элемента. * — массовое число (общее количество нуклонов в ядре). * — зарядовое число (количество протонов, оно же порядковый номер элемента в таблице Менделеева).

Количество нейтронов в ядре можно легко найти:

Где: * — число нейтронов. * — массовое число. * — число протонов.

Ядра с одинаковым числом протонов , но разным числом нейтронов (и, следовательно, разным ), называются изотопами. Химические свойства изотопов практически идентичны, так как они определяются электронной оболочкой, но физические свойства (стабильность, масса) могут кардинально отличаться.

Энергия связи и дефект массы

Возникает резонный вопрос: как ядро держится вместе? Ведь в нем плотно упакованы одноименно заряженные протоны, которые отталкиваются с колоссальной кулоновской силой. Гравитация на таких масштабах ничтожна. Ответ кроется в наличии сильного ядерного взаимодействия — фундаментальной силы, которая на очень малых расстояниях ( м) притягивает нуклоны друг к другу намного сильнее, чем электричество их отталкивает.

Дефект массы

Если мы возьмем отдельные протоны и нейтроны и соберем из них ядро, то обнаружим удивительный факт: масса получившегося ядра всегда меньше, чем сумма масс составляющих его нуклонов. Эта разница называется дефектом массы :

Где: * — дефект массы. * — число протонов. * — масса свободного протона ( кг). * — число нейтронов. * — масса свободного нейтрона ( кг). * — масса ядра.

Энергия связи

Куда исчезла масса? Согласно Специальной теории относительности, она перешла в энергию. Эта энергия выделилась при образовании ядра. Чтобы разорвать ядро обратно на отдельные нуклоны, нужно затратить ту же самую энергию. Она называется энергией связи:

Где: * — энергия связи ядра. * — дефект массы. * — скорость света в вакууме.

В ядерной физике энергию принято измерять не в Джоулях, а в мегаэлектронвольтах (МэВ), а массу — в атомных единицах массы (а.е.м.). Полезно помнить энергетический эквивалент 1 а.е.м.:

Удельная энергия связи

Для сравнения прочности разных ядер используют удельную энергию связи — энергию связи, приходящуюся на один нуклон:

Где: * — удельная энергия связи. * — полная энергия связи ядра. * — массовое число.

!График зависимости удельной энергии связи от массового числа, показывающий, что наиболее стабильными являются ядра в районе железа.

Из графика видно, что наиболее прочно связаны ядра в середине таблицы Менделеева (в районе железа ). Это объясняет два пути получения ядерной энергии:

Термоядерный синтез: Легкие ядра (водород, гелий) объединяются в более тяжелые, при этом удельная энергия связи растет, и избыток энергии выделяется.

Деление ядер: Тяжелые ядра (уран, плутоний) распадаются на более легкие осколки, также переходя в состояние с большей удельной энергией связи.

Радиоактивность

Не все ядра стабильны. Если соотношение протонов и нейтронов неоптимально, ядро самопроизвольно превращается в другое ядро, испуская частицы. Это явление называется радиоактивностью.

Основные виды распада

Альфа-распад (-распад):

Ядро испускает альфа-частицу — ядро атома гелия . Это характерно для тяжелых ядер. Где: * — материнское ядро. * — дочернее ядро. * — альфа-частица.

Бета-распад (-распад):

Внутри ядра нейтрон превращается в протон, испуская электрон () и электронное антинейтрино (). Где: * — электрон (бета-частица). * — электронное антинейтрино (безмассовая нейтральная частица, уносящая часть энергии). Важно для олимпиад: Спектр энергий электронов при бета-распаде непрерывный именно из-за того, что энергия распада делится между электроном и антинейтрино в случайной пропорции.

Гамма-излучение (-излучение):

Ядро переходит из возбужденного состояния в основное, испуская фотон высокой энергии. Состав ядра ( и ) не меняется.

Закон радиоактивного распада

Радиоактивный распад — процесс случайный. Мы не можем предсказать, когда распадется конкретное ядро, но для огромного количества ядер работает строгая статистика.

Скорость распада пропорциональна количеству имеющихся ядер:

Где: * — скорость изменения числа ядер. * — постоянная распада (вероятность распада одного ядра в единицу времени). * — текущее число нераспавшихся ядер.

Решением этого уравнения является экспоненциальный закон радиоактивного распада:

Где: * — число нераспавшихся ядер в момент времени . * — начальное число ядер (при ). * — основание натурального логарифма.

Период полураспада

На практике удобнее использовать период полураспада — время, за которое распадается ровно половина начального количества ядер.

Связь между постоянной распада и периодом полураспада:

Где: * — период полураспада.

Используя период полураспада, закон можно записать в более удобной для задач форме:

Где: * — прошедшее время. * — период полураспада.

!Графическая иллюстрация закона радиоактивного распада: за каждый период полураспада количество ядер уменьшается в два раза.

Активность источника

Величину, показывающую число распадов в секунду, называют активностью :

Где: * — активность в момент времени (измеряется в Беккерелях, Бк; 1 Бк = 1 распад/с).

Активность также убывает по экспоненциальному закону:

Где: * — начальная активность.

Олимпиадные советы

Законы сохранения: В любой ядерной реакции выполняются законы сохранения электрического заряда (сумма слева равна сумме справа) и массового числа (сумма слева равна сумме справа).

Энергия реакции: Если сумма масс частиц до реакции больше суммы масс после, энергия выделяется (). Эту энергию уносят продукты реакции в виде кинетической энергии.

Импульс: Не забывайте про закон сохранения импульса. Если распадается покоящееся ядро, продукты разлетаются так, что их суммарный векторный импульс равен нулю.

В следующей статье мы рассмотрим ядерные реакции деления и синтеза более подробно, а также познакомимся с элементарными частицами.