First Course in Tensor Calculus

Введение в векторы, дуальные пространства и соглашение Эйнштейна

Добро пожаловать в курс тензорного исчисления. Тензоры — это язык современной физики и геометрии. На них написаны уравнения Общей теории относительности, механики сплошных сред и квантовой механики. Но прежде чем мы сможем говорить о тензорах, нам нужно построить прочный фундамент.

В этой первой статье мы разберем три кита, на которых стоит этот предмет: векторы (в их строгом понимании), дуальные пространства (или ковекторы) и знаменитое соглашение Эйнштейна о суммировании, которое сэкономит нам тонны чернил и времени.

Векторы: больше, чем просто стрелочки

Со школы вы, вероятно, помните, что вектор — это направленный отрезок, имеющий длину и направление. В тензорном исчислении мы смотрим на векторы более абстрактно, но геометрическая интуиция остается полезной.

Вектор существует сам по себе, независимо от системы координат. Это реальный физический объект (например, скорость частицы). Однако, чтобы проводить вычисления, нам нужно выбрать базис — набор линейно независимых векторов, через которые можно выразить любой другой вектор.

Пусть у нас есть базисные векторы . Тогда любой вектор можно разложить по этому базису:

Где:

— сам вектор.

— базисные векторы.

— компоненты вектора (числа).

— размерность пространства (например, 3 для нашего обычного мира).

!Иллюстрация разложения вектора по базису на плоскости.

Важное замечание об индексах

Обратите внимание: индекс у компонентов вектора стоит сверху. Это не степень! В тензорном исчислении положение индекса (сверху или снизу) имеет критическое значение.

* Верхний индекс () обычно указывает на компоненты вектора (контравариантные компоненты). * Нижний индекс () используется для базисных векторов.

Почему так? Это связано с тем, как меняются компоненты при изменении масштаба осей, но об этом мы поговорим в следующих статьях. Пока просто запомните: компоненты вектора — индекс наверху.

Соглашение Эйнштейна о суммировании

Посмотрите на формулу выше. Она содержит сумму. В физике и математике нам постоянно приходится суммировать ряды произведений. Альберт Эйнштейн, работая над теорией относительности, заметил, что знаки суммы () загромождают формулы. Он предложил простое правило, которое стало стандартом.

Правило Эйнштейна

> Если в одночлене один и тот же индекс встречается дважды (один раз сверху и один раз снизу), то по этому индексу подразумевается суммирование по всем его возможным значениям.

Вернемся к нашему вектору. В классической записи:

Где:

— знак суммирования.

— индекс суммирования.

В записи Эйнштейна мы просто убираем знак суммы:

Где:

— компоненты вектора.

— базисные векторы.

Повторение индекса (вверху и внизу) автоматически означает .

Типы индексов

Немой индекс (Dummy index): Индекс, по которому идет суммирование. Его можно переименовать, и смысл выражения не изменится. Например, — это то же самое, что . Он

Определение тензора, алгебра и преобразование координат

В предыдущей лекции мы познакомились с векторами, дуальными пространствами и удобным соглашением Эйнштейна. Теперь мы готовы сделать решающий шаг и ответить на главный вопрос: что же такое тензор?

Многие студенты пугаются этого определения, но на самом деле оно очень логично. Тензор — это объект, который «знает», как вести себя при смене точки зрения (системы координат). Если вы поймете принцип преобразования координат, вы поймете суть тензорного исчисления.

Зачем нам менять координаты?

Представьте, что вы описываете полет мяча. Вы можете выбрать систему координат, связанную с футбольным полем. А ваш друг, наблюдающий за игрой из пролетающего самолета, выберет свою систему координат. Физическое явление (полет мяча) одно и то же, но цифры (компоненты вектора скорости), которые запишете вы и ваш друг, будут разными.

Главное требование физики: законы природы не должны зависеть от выбора системы координат. Тензоры — это именно те геометрические объекты, уравнения для которых выглядят одинаково в любой системе координат.

!Иллюстрация того, как один и тот же вектор имеет разные компоненты в разных системах координат.

Матрица Якоби: словарь переводчика

Пусть у нас есть старые координаты и мы переходим к новым координатам . Каждая новая координата является функцией старых координат.

Ключевым инструментом для перевода языка одной системы в другую являются частные производные. Матрица, составленная из этих производных, называется матрицей Якоби.

Прямое преобразование (от старых к новым):

Где:

— элемент матрицы Якоби.

— -я координата в новой системе.

— -я координата в старой системе.

— символ частной производной.

Обратное преобразование (от новых к старым):

Где:

— частная производная старой координаты по новой.

Определение тензора через преобразование

В физике тензоры часто определяют именно через то, как меняются их компоненты при смене координат. Давайте посмотрим на это через призму индексов.

1. Контравариантный вектор (Ранг 1)

Вектор (например, скорость) имеет верхний индекс. Его компоненты в новой системе связаны с компонентами в старой системе следующим образом:

Где:

— компонент вектора в новой системе координат.

— матрица перехода (Якоби).

— компонент вектора в старой системе.

По индексу идет суммирование (правило Эйнштейна).

Объекты, которые преобразуются с помощью матрицы (числитель — новые, знаменатель — старые), называются контравариантными векторами.

2. Ковариантный вектор (Ковектор, Ранг 1)

Ковекторы (например, градиент функции) имеют нижний индекс. Они преобразуются с помощью обратной матрицы Якоби:

Где:

— компонент ковектора в новой системе.

— обратная матрица перехода (числитель — старые, знаменатель — новые).

— компонент ковектора в старой системе.

Заметьте разницу: у векторов индекс сверху и в дроби «новые» сверху. У ковекторов индекс снизу, а в дроби «новые» снизу. Это и есть разница между «контра-» (против) и «ко-» (со) вариантностью.

3. Тензоры высших рангов

Теперь мы можем дать общее определение. Тензор ранга — это объект, который имеет верхних индексов и нижних индексов, и преобразуется как произведение векторов и ковекторов.

Например, рассмотрим тензор (ранг 3: дважды контравариантный, единожды ковариантный). Его закон преобразования:

Где:

— компоненты тензора в новой системе.

и — множители для верхних индексов (как для векторов).

— множитель для нижнего индекса (как для ковектора).

— компоненты тензора в старой системе.

Суммирование идет по всем «немым» индексам старой системы: .

Простое правило: Для каждого индекса тензора нужен свой множитель частной производной.

Тензорная алгебра

С тензорами можно производить арифметические операции, но нужно строго следить за индексами.

Сложение и вычитание

Складывать можно только тензоры одинакового строения (одинаковое количество и расположение верхних и нижних индексов).

Где:

— тензоры одного типа .

Операция производится поэлементно.

Нельзя сложить и . Это как складывать метры с килограммами.

Умножение на скаляр

Каждый компонент тензора умножается на число:

Где:

— скаляр (число).

— исходный тензор.

Тензорное произведение (Внешнее произведение)

Мы можем перемножить два тензора любого ранга. Ранг результата будет равен сумме рангов исходных тензоров. Индексы просто приписываются рядом.

Где:

— тензор ранга .

— тензор ранга .

— результирующий тензор ранга .

Это мощная операция, позволяющая создавать более сложные объекты из простых.

!Визуализация тензорного произведения как объединения индексов двух объектов.

Свертка (Contraction)

Это операция, понижающая ранг тензора. Она выполняется путем приравнивания одного верхнего и одного нижнего индекса и последующего суммирования (по правилу Эйнштейна).

Пусть у нас есть тензор . Сделаем свертку по индексам и (положим ):

Где:

— тензор, в котором индекс повторяется сверху и снизу.

По правилу Эйнштейна это означает сумму: .

— результирующий тензор ранга 1 (вектор). Ранг понизился на 2 (один верхний и один нижний индекс «исчезли»).

Пример из линейной алгебры: след матрицы. Если — матрица, то ее след (Trace) — это свертка .

Резюме

Тензоры определяются тем, как они преобразуются при смене координат.

Верхние индексы требуют матрицу .

Нижние индексы требуют обратную матрицу .

Тензорное произведение увеличивает ранг, объединяя индексы.

Свертка уменьшает ранг, суммируя по паре верхнего и нижнего индексов.

В следующей статье мы рассмотрим самый важный тензор в геометрии — метрический тензор, который позволит нам измерять длины и углы.

Метрический тензор: Геометрия, поднятие и опускание индексов

В предыдущих статьях мы построили каркас нашего здания: определили векторы, ковекторы и общие тензоры. Мы научились записывать уравнения компактно, используя соглашение Эйнштейна. Но чего-то важного не хватает.

Представьте, что вы архитектор, у которого есть чертеж, но нет линейки. Вы знаете, что одна стена параллельна другой (векторы), но не можете сказать, какова длина стены или под каким углом они пересекаются. В нашем абстрактном векторном пространстве пока нет понятия «расстояния» или «угла».

Сегодня мы введем инструмент, который превращает аморфное пространство в жесткую геометрию. Этот инструмент — метрический тензор.

Что такое метрический тензор?

Метрический тензор (или просто метрика) — это функция, которая берет два вектора и выдает скаляр (число). В привычном вам евклидовом пространстве это известно как скалярное произведение.

Обозначается метрический тензор обычно буквой . Если у нас есть два вектора и , то их скалярное произведение записывается как:

Где:

— скалярное произведение векторов.

— компоненты метрического тензора (два нижних индекса означают, что это ковариантный тензор ранга 2).

— компоненты первого вектора.

— компоненты второго вектора.

По индексам и идет двойное суммирование (по правилу Эйнштейна).

Метрический тензор — это симметричный тензор, то есть . Порядок векторов в скалярном произведении не важен.

!Иллюстрация того, как метрический тензор определяет геометрию (углы и длины) в локальной точке пространства.

Геометрия: Длины и Углы

Имея метрику, мы можем определить фундаментальные геометрические понятия.

1. Квадрат длины вектора

Длина (или норма) вектора , обозначаемая , определяется через скалярное произведение вектора самого на себя:

Где:

— квадрат длины вектора.

— метрический тензор.

— компоненты одного и того же вектора .

В физике часто используют понятие интервала — квадрата расстояния между двумя бесконечно близкими точками, разделенными вектором смещения :

Где:

— квадрат инфинитезимального (бесконечно малого) расстояния.

— дифференциалы координат (компоненты вектора смещения).

2. Угол между векторами

Зная длины и скалярное произведение, мы можем найти угол между векторами и :

Где:

— косинус угла между векторами.

Числитель — скалярное произведение векторов.

Знаменатель — произведение длин векторов.

Без тензора эти формулы не имеют смысла. Именно метрика говорит нам, что такое «перпендикулярно» (когда ).

Пример: От Декарта к Полярным координатам

Чтобы понять, зачем это нужно, давайте посмотрим на плоскость.

Декартовы координаты

В обычных координатах теорема Пифагора выглядит просто: . В тензорной записи это значит, что метрический тензор — это единичная матрица:

Где:

на диагонали означает, что масштаб по осям одинаковый.

вне диагонали означает, что оси перпендикулярны.

Полярные координаты

Перейдем к полярным координатам , где и . Расстояние теперь выражается сложнее:

Где:

— изменение радиуса.

— изменение угла.

— множитель, который появляется из-за того, что чем дальше от центра, тем длиннее дуга при том же угле .

Метрический тензор в полярных координатах выглядит так:

Обратите внимание: компоненты метрического тензора могут зависеть от координат! Здесь . Это ключевая особенность искривленных пространств и криволинейных координат.

Поднятие и опускание индексов

Это одна из самых частых операций в тензорном исчислении, которую иногда называют «жонглированием индексами» (index gymnastics).

В первой лекции мы говорили, что векторы () и ковекторы () — это разные объекты. Векторы — это стрелочки, ковекторы — это слои (линейные функционалы). Но в пространстве с метрикой между ними устанавливается жесткая связь.

Метрический тензор позволяет превратить вектор в ковектор и наоборот.

Опускание индекса

Чтобы превратить контравариантный вектор в ковариантный , мы умножаем его на метрический тензор:

Где:

— полученный ковектор (индекс внизу).

— метрический тензор.

— исходный вектор (индекс наверху).

Суммирование идет по индексу .

По сути, — это результат применения метрики к вектору , где один «слот» метрики остался пустым.

!Визуализация процесса опускания индекса: метрика превращает вектор в соответствующий ему ковектор.

Обратный метрический тензор и поднятие индекса

Если мы можем опустить индекс, мы должны уметь его и поднять. Для этого нам нужен обратный метрический тензор, который обозначается (с индексами наверху).

Матрица является обратной к матрице . Их произведение дает единичную матрицу (символ Кронекера):

Где:

— обратный метрический тензор.

— метрический тензор.

— символ Кронекера (равен 1, если , и 0, если ).

Суммирование по .

Теперь мы можем поднять индекс:

Где:

— полученный вектор.

— обратный метрический тензор.

— исходный ковектор.

Зачем это нужно?

В физических уравнениях часто бывает нужно свернуть два вектора. Но правило Эйнштейна требует, чтобы один индекс был сверху, а другой снизу. Если у вас есть два вектора и , вы не можете просто написать . Это запрещено правилами тензорной грамматики.

Вы должны сначала опустить индекс у одного из них:

Здесь мы сначала превратили в ковектор (), а потом свернули его с . Результат тот же, но запись короче и элегантнее.

Резюме

Метрический тензор определяет геометрию пространства: длины векторов и углы между ними.

В криволинейных координатах компоненты зависят от точки пространства.

Опускание индекса: . Превращает вектор в ковектор.

Поднятие индекса: . Превращает ковектор в вектор, используя обратную метрику .

Скалярное произведение — это свертка вектора и ковектора, полученного из второго вектора: .

Теперь, когда мы умеем измерять расстояния, мы готовы к следующему большому шагу — научиться дифференцировать тензоры. Но в криволинейных координатах обычная производная ломается. В следующей лекции мы узнаем, как это исправить с помощью ковариантной производной.

Ковариантное дифференцирование и символы Кристоффеля

Мы прошли долгий путь. Мы научились определять векторы, работать с индексами и измерять расстояния с помощью метрического тензора. Теперь мы подходим к одной из самых сложных, но и самых красивых тем тензорного исчисления — дифференцированию.

В школе и университете нас учили брать производные функций: . В векторном анализе мы узнали про градиент, дивергенцию и ротор. Но когда мы переходим в криволинейные координаты (или искривленные пространства), обычная производная перестает работать так, как мы привыкли. Она ломается.

Сегодня мы починим её, введя понятие ковариантной производной и загадочных символов Кристоффеля.

Почему обычная производная не работает?

Вспомните определение производной вектора по координате . В декартовых координатах базисные векторы постоянны. Они смотрят в одном направлении и имеют единичную длину везде.

Но что происходит в полярных координатах? Или на поверхности сферы? Базисные векторы меняются от точки к точке!

Давайте запишем вектор через базис и попробуем взять его частную производную по координате :

Где:

— скорость изменения всего вектора.

— изменение компонентов вектора (чисел).

— базисный вектор.

— компонент вектора.

— скорость изменения самого базисного вектора.

В декартовых координатах второе слагаемое равно нулю (базис не меняется). Но в криволинейных координатах . Если мы просто продифференцируем компоненты , мы потеряем информацию о том, как искривляется сама сетка координат. Результат такой операции не будет тензором.

!Иллюстрация изменения базисных векторов в криволинейных координатах: при перемещении из точки в точку базис поворачивается.

Символы Кристоффеля

Нам нужно как-то описать это изменение базисных векторов. Поскольку производная вектора — это тоже вектор, мы можем разложить по нашему же базису .

Коэффициенты этого разложения называются символами Кристоффеля второго рода и обозначаются буквой гамма :

Где:

— скорость изменения -го базисного вектора при движении вдоль -й координаты.

— символ Кристоффеля (числовой коэффициент).

— -й базисный вектор, по которому мы раскладываем результат.

По индексу идет суммирование.

Физический смысл: Символ говорит нам: «Насколько сильно -й базисный вектор поворачивается в сторону -го базисного вектора, когда мы движемся в направлении ».

Важное предупреждение

Хотя у символов Кристоффеля есть индексы, они НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ТЕНЗОРАМИ. Они не преобразуются по тензорным правилам при смене координат. Это вспомогательные объекты, описывающие кривизну координатной сетки.

Ковариантная производная вектора

Теперь мы можем собрать правильную производную, которая будет учитывать и изменение компонентов, и изменение базиса. Она называется ковариантной производной и обозначается символом набла (или точкой с запятой в индексах).

Подставим определение символов Кристоффеля в формулу производной вектора:

Где:

— компонента ковариантной производной вектора (это уже настоящий тензор).

— обычная частная производная компонентов (часто обозначается или ).

— поправочный член, учитывающий поворот базиса.

— компоненты исходного вектора.

Заметьте: мы суммируем по индексу . Индексы и остаются свободными, что логично, так как результат — тензор ранга .

Ковариантная производная ковектора

А что насчет ковекторов (нижний индекс)? Ковекторы дуальны векторам, поэтому их базис меняется «в противоположную сторону», чтобы скалярное произведение оставалось неизменным. Из-за этого знак перед поправкой меняется на минус.

Где:

— ковариантная производная ковектора.

— обычная частная производная.

— поправочный член с минусом.

Мнемоническое правило: * Если индекс дифференцируемого вектора сверху (), то ставим плюс (мы добавляем поправку). * Если индекс снизу (), то ставим минус.

Как вычислить символы Кристоффеля?

Откуда брать эти ? Они полностью определяются геометрией пространства, то есть метрическим тензором .

Существует знаменитая формула, связывающая метрику и символы Кристоффеля:

Где:

— искомый символ Кристоффеля.

— обратный метрический тензор (поднимает индекс).

— обычные частные производные компонентов метрического тензора.

Индексы — немые, по ним идет суммирование.

Эта формула показывает глубокую связь: если вы знаете, как измерять расстояния (метрику), вы знаете всё о кривизне координат (символы Кристоффеля) и о том, как брать производные.

В декартовых координатах все компоненты — константы (0 или 1). Их производные равны нулю. Следовательно, все . И ковариантная производная превращается в обычную. Всё сходится!

Свойства ковариантной производной

Ковариантная производная обладает замечательными свойствами, которые делают её идеальным инструментом для физики.

1. Правило Лейбница

Она работает с произведениями так же, как обычная производная:

Где:

— оператор ковариантной производной.

— тензоры.

2. Метрическая совместимость

Это, пожалуй, самое важное свойство. Ковариантная производная метрического тензора равна нулю:

Где:

— ковариантная производная.

— метрический тензор.

Это означает, что метрика (наша «линейка») не меняется при параллельном переносе. Пространство «согласовано» само с собой. Это свойство позволяет нам вносить и выносить метрический тензор из-под знака производной как константу.

Резюме

В криволинейных координатах базисные векторы меняются, поэтому обычная частная производная компонент вектора не дает тензор.

Символы Кристоффеля описывают скорость изменения базисных векторов.

Ковариантная производная — это «исправленная» производная, которая учитывает кривизну координат.

Для вектора (верхний индекс) поправка идет с плюсом: .

Для ковектора (нижний индекс) поправка идет с минусом: .

Символы Кристоффеля вычисляются через производные метрического тензора.

Теперь у нас есть полный набор инструментов: алгебра (тензоры), геометрия (метрика) и анализ (производная). В следующих статьях мы применим это, чтобы описать движение частиц по геодезическим линиям — аналогам прямых в искривленном пространстве.

Тензор кривизны Римана и геодезические

Добро пожаловать на пятую лекцию курса тензорного исчисления. В прошлый раз мы совершили прорыв: мы научились дифференцировать тензоры в криволинейных координатах, введя понятие ковариантной производной и символов Кристоффеля. Мы узнали, что базисные векторы могут поворачиваться и растягиваться.

Но остался фундаментальный вопрос: как отличить «кривую» систему координат на плоском листе бумаги (например, полярные координаты) от пространства, которое искривлено само по себе (например, поверхность сферы)?

Сегодня мы найдем ответ. Мы введем тензор кривизны Римана — окончательный детектор искривления пространства, и узнаем, как объекты движутся в таком пространстве по геодезическим линиям.

Параллельный перенос: Путешествие вектора

Чтобы понять кривизну, нам нужно провести мысленный эксперимент. Представьте, что вы стоите на экваторе Земли с копьем (вектором), указывающим строго на Север. Вы начинаете путешествие:

Идите вдоль экватора на Восток на 90 градусов долготы, стараясь держать копье параллельно самому себе (все время указывая на Север).

Повернитесь и идите к Северному полюсу. Копье все еще указывает вдоль меридиана.

На Северном полюсе остановитесь. Теперь ваше копье указывает... куда? Вдоль линии, по которой вы пришли.

Теперь вернитесь в исходную точку по прямой (вдоль нулевого меридиана), не вращая копье.

Если бы вы проделали это на плоском столе, копье вернулось бы в том же положении. Но на сфере, вернувшись в исходную точку, вы обнаружите, что копье повернулось относительно своего начального положения!

!Иллюстрация параллельного переноса вектора по замкнутому контуру на сфере, показывающая появление угла расхождения.

Это явление называется голономией. Если при параллельном переносе вектора по замкнутому контуру он меняет свое направление, значит, пространство искривлено.

Определение Тензора Римана через коммутатор

В математике «параллельный перенос по замкнутому контуру» эквивалентен взятию двух ковариантных производных в разном порядке.

В плоском пространстве порядок дифференцирования не важен: . Но в искривленном пространстве ковариантные производные не коммутируют.

Разница между результатами дифференцирования в разном порядке и определяет тензор Римана:

Где:

— коммутатор ковариантных производных (операция «сначала по , потом по » минус «сначала по , потом по »).

— произвольный вектор, который мы дифференцируем.

— тензор кривизны Римана.

— тот же вектор, свернутый с тензором Римана.

Индексы указывают направления, по которым мы строим наш «замкнутый контур».

Физический смысл: Тензор Римана — это оператор, который берет вектор и два направления и , и выдает изменение этого вектора после переноса по бесконечно малому параллелограмму, образованному этими направлениями.

Если во всех точках, пространство плоское. Если хотя бы одна компонента не равна нулю — пространство искривлено.

Структура Тензора Римана

Тензор Римана — это монстр с 4 индексами (1 верхний, 3 нижних). В 4-мерном пространстве-времени у него компонентов! К счастью, благодаря симметриям, независимых компонент гораздо меньше (всего 20 в 4D).

Его можно выразить через символы Кристоффеля (и их производные):

Где:

— компоненты тензора Римана.

— символы Кристоффеля.

— обычные частные производные.

— индекс суммирования.

Эта формула выглядит пугающе, но она говорит простую вещь: кривизна состоит из изменений символов Кристоффеля (первые два слагаемых) и их произведений (вторые два слагаемых). Поскольку символы Кристоффеля строятся из метрики, тензор Римана полностью определяется метрическим тензором .

Свертки Тензора Римана

Часто нам не нужна вся информация о кривизне, а только усредненная. Мы можем упростить тензор Римана с помощью операции свертки (суммирования по верхнему и нижнему индексу).

Тензор Риччи ():

Где: - — тензор Риччи (ранг 2). - — тензор Римана, свернутый по первому верхнему и второму нижнему индексам. Именно этот тензор входит в уравнения Эйнштейна в Общей теории относительности.

Скалярная кривизна ():

Где: - — скаляр (просто число в каждой точке). - — обратный метрический тензор. - — тензор Риччи. Скалярная кривизна — это одно число, описывающее «общую» кривизну в точке. Для сферы радиуса скалярная кривизна равна . Для плоскости она равна .

Геодезические: Прямые линии в искривленном мире

Теперь, когда мы описали арену (искривленное пространство), давайте выпустим на нее игрока. Как движется частица, если на нее не действуют никакие силы?

В классической механике Ньютона закон инерции гласит: тело движется равномерно и прямолинейно. Уравнение движения:

Где:

— вектор ускорения.

— вектор положения.

— время.

В искривленном пространстве понятие «прямая линия» заменяется на геодезическую. Геодезическая — это линия, которая является «наиболее прямой» из всех возможных. Например, на сфере это дуги больших кругов (как маршруты самолетов).

Уравнение геодезических

Чтобы получить уравнение движения, мы должны потребовать, чтобы ковариантное ускорение было равно нулю. Обычное ускорение не является вектором в кривых координатах, потому что базис меняется вдоль пути.

Мы заменяем обычную производную на ковариантную. Пусть частица движется по траектории , где — параметр вдоль пути (например, собственное время).

Вектор скорости :

Где:

— 4-скорость (или просто вектор касательной к траектории).

— координаты.

— параметр.

Условие «свободного движения» (автопараллельный перенос вектора скорости вдоль самого себя):

Где:

— обозначение абсолютной (ковариантной) производной вдоль кривой.

Раскрывая это через символы Кристоффеля, мы получаем знаменитое уравнение геодезических:

Где:

— обычное ускорение (вторая производная координат).

— символы Кристоффеля, описывающие инерциальные силы (как центробежная сила или сила Кориолиса) и гравитацию.

— компоненты скорости.

!Геодезическая линия на искривленной поверхности: вектор скорости переносится параллельно самому себе вдоль пути.

Физический смысл уравнения

Посмотрите на уравнение еще раз. Если (плоское пространство, декартовы координаты), то уравнение превращается в , то есть ускорение равно нулю. Мы вернулись к Ньютону!

Однако, если , то даже если вы не давите на педаль газа (нет внешних сил), ваша координатная скорость будет меняться. В Общей теории относительности гравитация — это не сила, а именно наличие этих слагаемых с . Земля вращается вокруг Солнца не потому, что Солнце тянет её силой, а потому что она движется по прямой (геодезической) в пространстве, искривленном массой Солнца.

Резюме

Параллельный перенос вектора по замкнутому контуру в искривленном пространстве меняет направление вектора.

Тензор кривизны Римана количественно описывает это изменение. Он определяется через коммутатор ковариантных производных: .

Если тензор Римана равен нулю везде, пространство плоское.

Тензор Риччи и скалярная кривизна — это упрощенные характеристики кривизны, полученные сверткой тензора Римана.

Геодезическая — это траектория свободного движения в искривленном пространстве. Ее уравнение показывает, как геометрия () управляет движением материи.

Мы завершили построение основного аппарата тензорного исчисления. Теперь вы владеете языком, на котором говорит Вселенная. В заключительных материалах курса мы рассмотрим практические примеры и закрепим полученные знания.