Математика 6 класс (Беларусь)

Отношения, пропорции и проценты

Приветствую тебя в курсе математики за 6 класс! Сегодня мы начинаем увлекательное путешествие в мир чисел, где узнаем, как сравнивать величины, готовить по рецептам с идеальной точностью и рассчитывать скидки в магазинах. Тема нашего первого урока — отношения и пропорции.

Возможно, эти слова звучат сложно, но на самом деле ты сталкиваешься с ними каждый день. Когда ты делишь шоколадку с другом, смешиваешь краски на рисовании или смотришь на карту в географии — ты используешь математику отношений.

Что такое отношение?

В математике мы часто сравниваем два числа. Мы можем узнать, на сколько одно число больше другого (вычитание) или во сколько раз одно число больше другого (деление). Именно деление и лежит в основе понятия отношение.

> Отношение двух чисел — это частное от деления одного числа на другое. Оно показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.

Отношение можно записать двумя способами: с помощью знака деления () или с помощью дробной черты.

Где:

— это предыдущий член отношения (числитель);

— это последующий член отношения (знаменатель), при этом , так как на ноль делить нельзя.

Пример из жизни

Представь, что ты готовишь лимонад. Рецепт гласит: «Возьми 2 стакана лимонного сока и 3 стакана воды».

Отношение сока к воде будет записываться как (читается: «два к трём»). Это значит, что на каждые 2 части сока приходится 3 части воды.

Основное свойство отношения

Так как отношение — это, по сути, дробь, для него работает то же правило, что и для обыкновенных дробей.

Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Где:

и — члены отношения;

— число, на которое мы умножаем (или делим), и .

Это свойство позволяет нам упрощать отношения. Например, отношение можно упростить, разделив оба числа на 50. Получится . Смысл тот же: 50 копеек — это половина рубля, так же как 1 — это половина от 2.

Пропорции

Теперь, когда мы знаем, что такое отношение, давай соединим два отношения знаком равенства.

> Пропорция — это равенство двух отношений.

Записывается это так:

Где:

— числа, составляющие пропорцию;

и называются крайними членами (они стоят по краям записи);

и называются средними членами (они стоят в середине записи).

!Схема крайних и средних членов пропорции

Основное свойство пропорции

Это самое важное правило, которое тебе нужно запомнить. Оно помогает решать уравнения и задачи.

Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Где:

и — крайние члены;

и — средние члены.

Давай проверим это на примере пропорции .

Крайние члены: и . Их произведение: .

Средние члены: и . Их произведение: .

. Пропорция верна!

Как найти неизвестный член пропорции?

Используя основное свойство, мы можем найти любой спрятанный элемент. Допустим, у нас есть уравнение:

Где:

— неизвестный крайний член;

и — средние члены;

— известный крайний член.

Применим правило «крест-накрест» (произведение крайних равно произведению средних):

Где — произведение крайних, а — произведение средних.

Ответ: .

Прямая и обратная пропорциональность

В жизни величины часто зависят друг от друга. В математике выделяют два основных типа такой зависимости.

1. Прямая пропорциональность

Представь, что ты покупаешь мороженое. Одно мороженое стоит 2 рубля. Сколько стоят 2 мороженых? 4 рубля. А 5 мороженых? 10 рублей.

> Прямая пропорциональность — это зависимость, при которой с увеличением одной величины в несколько раз, вторая величина увеличивается во столько же раз.

Принцип: Чем больше купил — тем больше заплатил.

2. Обратная пропорциональность

Теперь представь, что тебе нужно доехать до бабушки в деревню. Расстояние фиксированное. Если ты поедешь на велосипеде медленно, ты потратишь много времени. Если поедешь на машине быстро, времени уйдет мало.

> Обратная пропорциональность — это зависимость, при которой с увеличением одной величины в несколько раз, вторая величина уменьшается во столько же раз.

Принцип: Чем выше скорость — тем меньше времени в пути.

!Графики прямой и обратной пропорциональности

Масштаб

Особый вид отношений, с которым ты встретишься на уроках географии, — это масштаб.

> Масштаб — это отношение длины отрезка на карте или плане к длине соответствующего отрезка на местности.

Если на карте написано 1 : 100 000, это значит, что 1 сантиметр на карте равен 100 000 сантиметрам в реальности.

Чтобы перевести это в понятные метры или километры, нужно вспомнить:

В 1 метре — 100 сантиметров.

В 1 километре — 1000 метров (или 100 000 сантиметров).

Значит, масштаб 1 : 100 000 говорит нам, что в 1 см карты скрывается 1 км местности.

Проценты и пропорции

Мы уже знакомились с процентами ранее, но пропорции делают работу с ними намного проще. Любую задачу на проценты можно записать в виде пропорции.

Напомним: > Процент () — это одна сотая часть числа.

Где — обозначение процента, а — его десятичная запись.

Решение задач через пропорцию

Давай решим задачу: «В классе 25 учеников. 60% из них занимаются спортом. Сколько учеников занимаются спортом?»

Составим таблицу-схему:

Все ученики (целое) — это всегда 100%.

Часть учеников (спортсмены) — это 60%.

Запишем: 25 учеников — 100% учеников — 60%

Составляем пропорцию (отношение учеников к процентам):

Где:

и — крайние члены (если записать в строчку );

и — средние члены.

Используем основное свойство пропорции:

Ответ: 15 учеников занимаются спортом.

Этот метод универсален. Неважно, ищешь ли ты часть от числа, целое по его части или сколько процентов одно число составляет от другого — просто составь правильную схему, где проценты пишутся под процентами, а числа под числами.

Заключение

Сегодня мы разобрали фундамент, на котором строится множество задач в математике, физике и химии. Отношения помогают сравнивать, пропорции — находить неизвестное, а понимание прямой и обратной зависимости убережет от логических ошибок.

В следующих статьях мы углубимся в мир геометрических фигур, но помни: пропорции будут встречаться нам повсюду!

Рациональные числа: положительные и отрицательные числа, модуль и сравнение

Приветствую тебя, юный математик! В прошлой главе мы научились делить целое на части, смешивать ингредиенты в правильных пропорциях и считать проценты. Но мир математики гораздо шире, чем просто подсчет яблок или долей пирога.

Задумывался ли ты когда-нибудь, как математики описывают мороз на улице? Или как банк записывает долг? Если у тебя есть 5 рублей — это понятно. А если ты должен другу 5 рублей? Как это записать?

Сегодня мы откроем дверь в новый мир — мир рациональных чисел, где существуют не только привычные нам положительные числа, но и их зеркальные отражения — отрицательные числа.

Положительные и отрицательные числа

Давай посмотрим на обычный уличный термометр. На нем есть шкала и заветная отметка — ноль градусов ().

Когда на улице тепло, столбик термометра ползет вверх от нуля. Мы говорим: «Плюс 20 градусов». Это положительные числа.

Когда наступает зима и мороз, столбик опускается ниже нуля. Мы говорим: «Минус 10 градусов». Это отрицательные числа.

В математике для записи отрицательных чисел используют знак «минус» ().

> Положительные числа — это числа больше нуля. Перед ними можно ставить знак «плюс» (), но обычно его не пишут (например, или — это одно и то же). > Отрицательные числа — это числа меньше нуля. Перед ними всегда стоит знак «минус» ().

А что же такое ноль? Число не является ни положительным, ни отрицательным. Оно разделяет эти два мира, являясь границей или точкой отсчета.

Координатная прямая

Чтобы лучше представить эти числа, давай нарисуем прямую линию. Это будет наша карта чисел.

!Координатная прямая с положительными числами справа и отрицательными слева от нуля

Чтобы прямая стала координатной прямой, нам нужно задать три вещи:

Начало отсчета (точка, изображающая число ).

Единичный отрезок (расстояние от до ).

Положительное направление (обычно его указывают стрелкой вправо).

Все числа, которые живут справа от нуля — положительные. Все, что слева — отрицательные. Чем правее число, тем оно больше. Чем левее — тем меньше.

Противоположные числа

Посмотри на координатную прямую еще раз. Найди число . А теперь найди число . Заметил что-то интересное? Они находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны.

> Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называются противоположными числами.

Например:

Для числа противоположным будет .

Для числа противоположным будет .

Число противоположно самому себе.

В математике это записывается так:

Где:

— это само число;

первый минус () означает «противоположное число для...»;

— это число, противоположное .

Эта формула читается так: «Число, противоположное отрицательному числу , равно положительному числу ». Проще говоря, «минус на минус дает плюс».

Множество рациональных чисел

Мы уже знаем натуральные числа (те, которыми мы считаем предметы: ). Теперь мы добавили к ним ноль и отрицательные числа. Вместе они образуют целые числа.

Но ведь бывают и половинки! градуса или торта (если мы кому-то должны полторта). Если мы добавим к целым числам еще и все дроби (положительные и отрицательные), мы получим огромное множество рациональных чисел.

> Рациональное число — это число, которое можно записать в виде дроби , где — целое число, а — натуральное число.

Любое целое число, любую десятичную дробь и любую обыкновенную дробь можно назвать рациональным числом.

Модуль числа

Представь, что ты стоишь на отметке . Твой друг пошел вправо на 5 шагов (в точку ), а ты пошел влево на 5 шагов (в точку ). Вы находитесь в разных точках, но расстояние от нуля вы прошли одинаковое — 5 шагов.

В математике расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число, называется модулем числа.

Модуль обозначается двумя вертикальными черточками: .

Где:

— модуль числа пять;

— модуль числа минус пять;

— результат (расстояние).

Важное правило: Модуль не может быть отрицательным числом. Расстояние не может быть «минус 10 метров». Оно либо положительное, либо ноль.

Где:

— модуль некоторого числа ;

— знак «больше или равно»;

— ноль.

Примеры нахождения модуля

(расстояние от 0 до 10 равно 10).

(расстояние от 0 до -8,2 равно 8,2).

(расстояние от 0 до 0 равно 0).

Иногда нам нужно решить уравнения с модулем. Например:

Где:

— модуль неизвестного числа ;

— значение модуля.

Это уравнение спрашивает нас: «Какие числа находятся на расстоянии 7 шагов от нуля?». Таких чисел два: (справа) и (слева). Значит, или .

Сравнение рациональных чисел

Сравнивать положительные числа мы умеем с первого класса: больше, чем . Но как быть с отрицательными? Здесь нам снова поможет координатная прямая и правило «температуры».

Главное правило координатной прямой: На координатной прямой большее число всегда лежит правее, а меньшее — левее.

Давай разберем три случая.

1. Сравнение положительного и отрицательного числа

Здесь все просто. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного. Тепло всегда «больше» (выше по шкале), чем мороз. Наличие денег всегда лучше, чем долг.

Где:

— положительное число;

— отрицательное число;

— знак «больше».

Даже самое маленькое положительное число больше самого большого отрицательного.

2. Сравнение с нулем

Любое положительное число больше нуля ().

Любое отрицательное число меньше нуля ().

3. Сравнение двух отрицательных чисел

Это самый хитрый момент. Что больше: или ?

Давай посмотрим на термометр. Где теплее? При градусах теплее, чем при . Значит, больше. Посмотрим на координатную прямую. Число лежит правее, чем . Значит, оно больше.

Правило через модуль: Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

Давай проверим: Сравним и .

Найдем модули: , .

Сравним модули: . Модуль первого числа больше.

Значит, само первое число меньше.

Где:

и — сравниваемые отрицательные числа;

— знак «меньше».

Это логично: долг в 9 рублей лучше (больше), чем долг в 15 рублей. Маленький мороз лучше, чем сильный мороз.

!Иллюстрация того, что -2 больше, чем -10

Заключение

Сегодня мы значительно расширили наши математические горизонты. Мы узнали:

Числа бывают положительными, отрицательными и нулем.

Рациональные числа включают в себя целые числа и дроби (и с плюсом, и с минусом).

Модуль — это расстояние от нуля, и он никогда не бывает отрицательным.

Сравнивая отрицательные числа, нужно быть внимательным: больше то число, которое ближе к нулю.

Эти знания — база для всей алгебры, которую ты будешь изучать в старших классах. В следующей статье мы научимся выполнять арифметические действия с этими числами: складывать долги и вычитать температуру!

Арифметические действия с рациональными числами

Приветствую тебя! Мы продолжаем наше путешествие по миру математики. В прошлых статьях мы узнали, что числа бывают не только положительными, но и отрицательными, научились находить их модуль и сравнивать между собой. Теперь пришло время самого интересного — мы заставим эти числа работать.

Представь, что ты ведешь учет своих финансов. Доходы — это положительные числа, а расходы и долги — отрицательные. Или представь, что ты метеоролог, которому нужно рассчитать среднюю температуру за неделю, когда столбик термометра скакал то вверх, то вниз через ноль. Без умения складывать, вычитать, умножать и делить рациональные числа здесь не обойтись.

Сегодня мы разберем все четыре арифметических действия с рациональными числами. Правила здесь немного отличаются от тех, к которым ты привык в начальной школе, но они очень логичны.

Сложение рациональных чисел

Сложение — это база. Если ты поймешь, как складывать положительные и отрицательные числа, остальные действия дадутся тебе легко. Здесь есть два основных случая.

Случай 1: Сложение чисел с одинаковыми знаками

Представь простую ситуацию. У тебя был долг другу 5 рублей (). Потом ты занял у него еще 3 рубля (). Что произошло с твоим общим долгом? Он увеличился! Теперь ты должен 8 рублей ().

Математически это выглядит так: мы сложили два отрицательных числа и получили отрицательное число.

> Правило: Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить перед полученным результатом знак «минус».

Запишем это на языке математики:

Где:

и — отрицательные слагаемые;

и — модули этих чисел (их «размер» без учета знака);

— знак минус перед результатом суммы модулей.

Пример: Сложим и .

Модули чисел: , .

Складываем модули: .

Ставим минус перед результатом: .

С положительными числами все работает точно так же, как ты учил в 1 классе: . Плюс на плюс дает плюс.

Случай 2: Сложение чисел с разными знаками

Это самая интересная часть. Представь, что на улице мороз градусов. К обеду потеплело на градуса (температура изменилась на ). Какая стала температура?

Мы понимаем, что мороз стал слабее, но он не исчез полностью. Температура будет .

Или другой пример: у тебя был долг 100 рублей (), и ты вернул 120 рублей (). Теперь у тебя нет долга, и даже осталось 20 рублей ().

Здесь происходит «битва» чисел. Побеждает то число, чей модуль больше. А результат равен разности их модулей.

> Правило: Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно: > 1. Найти модули слагаемых. > 2. Из большего модуля вычесть меньший модуль. > 3. Перед полученным числом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше.

!Иллюстрация сложения чисел с разными знаками на координатной прямой

Давай разберем пример: .

Находим модули: , .

Сравниваем модули: . Значит, «победит» минус. Результат будет отрицательным.

Вычитаем из большего модуля меньший: .

Ставим знак победителя (минус): .

Ответ: .

Особый случай: Сумма двух противоположных чисел всегда равна нулю.

Где:

— любое рациональное число;

— число, противоположное ;

— результат сложения.

Например: . Если ты прошел 5 шагов вперед, а потом 5 шагов назад, ты вернулся в исходную точку.

Вычитание рациональных чисел

Вычитание в мире рациональных чисел — это на самом деле замаскированное сложение. Вспомни, как мы говорили в прошлой статье: вычесть число — это то же самое, что прибавить противоположное ему.

> Правило: Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Формула выглядит так:

Где:

— уменьшаемое;

— вычитаемое;

— число, противоположное вычитаемому.

Это правило позволяет нам превратить любой пример на вычитание в пример на сложение, который мы уже умеем решать.

Примеры

Пример 1: Из меньшего вычитаем большее

Заменяем вычитание на сложение с противоположным числом:

Теперь применяем правило сложения чисел с разными знаками. Модуль больше, значит, ответ будет с минусом.

Пример 2: Вычитание отрицательного числа Это тот случай, где ученики часто делают ошибки. Внимательно следи за знаками.

Мы вычитаем число . Противоположное для — это . Значит:

Запомни простое мнемоническое правило: «Минус на минус дает плюс». Если два минуса стоят рядом (один знак действия, другой знак числа), они превращаются в плюс.

Пример 3: Из отрицательного вычитаем положительное

Превращаем в сложение:

Складываем два долга:

Умножение рациональных чисел

С умножением все гораздо проще, чем со сложением. Здесь не нужно сравнивать модули. Нужно просто умножить числа, как обычные натуральные, а потом разобраться со знаком.

Правила знаков при умножении

Плюс на плюс дает плюс. (Положительное Положительное = Положительное).

.

Минус на минус дает плюс. (Отрицательное Отрицательное = Положительное).

. Логика: «Враг моего врага — мой друг». Или отмена отрицания.

Плюс на минус (или минус на плюс) дает минус. (Числа с разными знаками дают отрицательный результат).

. .

> Правило: > - Произведение двух чисел с одинаковыми знаками — число положительное. > - Произведение двух чисел с разными знаками — число отрицательное.

Запишем формулу для модулей:

Где:

и — множители;

и — их модули.

!Схематичная таблица правил знаков при умножении

Умножение нескольких чисел

А что, если множителей много? Например: .

Здесь работает правило подсчета минусов:

Если количество отрицательных множителей четное (2, 4, 6...), то результат будет положительным (минусы разбиваются на пары и уничтожают друг друга).

Если количество отрицательных множителей нечетное (1, 3, 5...), то результат будет отрицательным (один минус остается без пары).

В примере выше 4 минуса (четное число). Значит, ответ будет положительным: .

Свойства умножения

Для рациональных чисел сохраняются все свойства, которые мы учили раньше:

Переместительное: .

Сочетательное: .

Распределительное: .

Умножение на ноль: .

Умножение на единицу: .

Особый интерес представляет умножение на -1. При умножении на число просто меняет свой знак на противоположный.

Деление рациональных чисел

Деление — это действие, обратное умножению. Поэтому правила знаков здесь абсолютно такие же, как и при умножении.

> Правило: > - Частное двух чисел с одинаковыми знаками — число положительное. > - Частное двух чисел с разными знаками — число отрицательное.

Чтобы разделить одно рациональное число на другое, нужно разделить их модули, а перед результатом поставить нужный знак.

Где:

— делимое;

— делитель ();

и — модули чисел.

Примеры:

(Минус на минус дал плюс).

(Плюс на минус дал минус).

(Минус на плюс дал минус).

Важное напоминание: На ноль делить по-прежнему нельзя! Это правило не меняется никогда, какие бы числа мы ни изучали.

Порядок действий

Когда в примере встречаются разные действия, порядок их выполнения остается стандартным:

Сначала действия в скобках.

Затем умножение и деление (слева направо).

В конце сложение и вычитание (слева направо).

Давай разберем сложный пример:

Деление: . Знаки разные, будет минус. . Результат: .

Пример стал таким: .

Умножение: . Знаки разные, будет минус. . Результат: .

Пример стал таким: .

Сложение: . Знаки одинаковые (оба минуса). Складываем модули , ставим минус. Результат: .

Пример стал таким: .

Вычитание: . Два минуса подряд дают плюс. . Знаки разные. Модуль больше модуля . Вычитаем: . Знак плюса.

Ответ: .

Заключение

Сегодня мы освоили мощный инструмент — арифметику рациональных чисел. Теперь ты можешь:

Складывать долги и доходы.

Вычислять изменения температуры.

Решать сложные уравнения, где может быть отрицательным.

Главное, что нужно запомнить:

При сложении смотри на знаки: одинаковые — дружат (складываются), разные — воюют (вычитаются).

При умножении и делении считай минусы: «минус на минус — плюс», «плюс на минус — минус».

Вычитание — это сложение с противоположным числом.

В следующих уроках мы будем применять эти знания для решения уравнений и задач с координатами. Практикуйся, и знаки перестанут тебя путать!

Линейные уравнения и решение текстовых задач

Приветствую тебя, мой юный друг! Мы уже проделали огромный путь: научились работать с дробями, освоили пропорции и, самое главное, подружились с отрицательными числами. Теперь у нас есть полный арсенал инструментов, чтобы стать настоящими детективами в мире математики.

Сегодняшняя тема — линейные уравнения. Это сердце алгебры. Если раньше мы просто считали примеры (), то теперь мы будем искать спрятанные числа. А затем применим эту магию для решения задач, которые без уравнений казались бы неразрешимыми головоломками.

Что такое уравнение?

Представь весы. Обычные чашечные весы, которые находятся в равновесии. На одной чаше лежит арбуз неизвестного веса и гиря в 2 кг, а на другой — гиря в 5 кг. Как узнать вес арбуза, не снимая его с весов?

!Иллюстрация принципа уравнения как равновесия весов

В математике эту ситуацию записывают так:

Где:

— неизвестное число (вес арбуза), которое нам нужно найти;

и — известные числа;

— знак сложения;

— знак равенства, показывающий, что левая и правая части весят одинаково.

> Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти.

Значение переменной, которое превращает уравнение в верное числовое равенство, называют корнем уравнения.

> Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.

В 6 классе мы изучаем линейные уравнения с одной переменной. В общем виде они выглядят так:

Где:

— переменная (неизвестное);

— коэффициент при переменной (число, на которое умножается );

— свободный член (просто число).

Основные свойства уравнений

Чтобы решать сложные уравнения, нам нужно научиться видоизменять их, не нарушая равновесия. Представь снова наши весы. Что можно сделать, чтобы они остались в равновесии?

1. Перенос слагаемых

Если с одной чаши весов убрать гирю и переложить её на другую, равновесие нарушится. Но в математике есть хитрость.

Если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.

Это правило похоже на пересечение границы: переходишь через знак «равно» — меняй «паспорт» (знак плюс на минус, или минус на плюс).

Рассмотрим уравнение:

Где:

и — слагаемые левой части;

и — слагаемые правой части.

Давай соберем все «иксы» слева, а обычные числа — справа.

переезжает влево и становится .

переезжает вправо и становится .

Где:

— новая левая часть после переноса;

— новая правая часть после переноса.

2. Умножение и деление обеих частей

Вернемся к весам. Если мы увеличим груз на обеих чашах в 3 раза, равновесие сохранится. Если уменьшим в 2 раза — тоже сохранится.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.

Это свойство помогает нам избавиться от коэффициента перед .

Алгоритм решения линейного уравнения

Давай соберем все знания в четкую инструкцию. Решим уравнение:

Где:

— множитель перед скобкой;

— выражение в скобках;

— правая часть уравнения.

Шаг 1. Раскрытие скобок

Если в уравнении есть скобки, сначала раскроем их, используя распределительный закон умножения.

Где:

— результат умножения на ;

— результат умножения на ;

остальные члены остались без изменений.

Шаг 2. Перенос слагаемых

Перенесем слагаемые с переменной () в левую часть, а числа — в правую. Не забываем менять знаки!

Где:

— это бывшее , перенесенное влево;

— это бывшее , перенесенное вправо.

Шаг 3. Приведение подобных слагаемых

Выполним действия в каждой части.

Где:

— результат вычитания ;

— результат сложения .

Шаг 4. Нахождение корня

Теперь у нас простейшее уравнение вида . Чтобы найти , нужно произведение разделить на известный множитель (или разделить обе части уравнения на коэффициент при ).

Где:

— искомая переменная;

— свободный член;

— коэффициент при .

Где — корень уравнения.

Ответ: .

Решение текстовых задач с помощью уравнений

Многие ученики боятся текстовых задач. «Из пункта А в пункт Б...», «У Маши было в 3 раза больше яблок...». Но уравнение — это лучший переводчик с русского языка на язык математики.

Давай разберем метод решения задач на примере.

Задача: На первой полке стояло в 3 раза больше книг, чем на второй. Когда с первой полки переставили 8 книг на вторую, то книг на полках стало поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально?

Этап 1. Выбор переменной

Обычно за принимают наименьшую величину. В нашей задаче на второй полке книг меньше.

Пусть — количество книг на второй полке. Тогда — количество книг на первой полке (так как их в 3 раза больше).

Где:

— множитель «в 3 раза больше»;

— количество книг на второй полке.

Этап 2. Описание изменений

Что произошло потом?

С первой полки забрали 8 книг: стало .

На вторую полку поставили эти 8 книг: стало .

Этап 3. Составление уравнения

В условии сказано, что после перестановки книг стало поровну. Это слово — сигнал для знака «равно».

Где:

— количество книг на первой полке после изменения;

— количество книг на второй полке после изменения;

— знак равенства количеств.

Этап 4. Решение уравнения

Решаем по нашему алгоритму.

Переносим слагаемые:

Где:

— перенесенный из правой части;

— перенесенная из левой части.

Приводим подобные:

Где:

— результат ;

— сумма .

Находим корень:

Где:

— произведение;

— известный множитель.

Где — значение (книг на второй полке).

Этап 5. Ответ на вопрос задачи

Мы нашли , но задача спрашивала про обе полки.

На второй полке: 8 книг.

На первой полке: книги.

Где:

— коэффициент увеличения;

— найденное значение ;

— итоговое количество книг на первой полке.

Проверка: Было 24 и 8. С первой убрали 8 (). На вторую добавили 8 (). . Верно!

Ответ: 24 книги и 8 книг.

Советы по решению задач

Рисуй схемы. Даже простой набросок поможет понять условие.

Внимательно читай предлоги.

- «На 5 больше» . - «В 5 раз больше» . - «На 5 меньше» . - «В 5 раз меньше» .

Не забывай про смысл. Если в ответе получилось «полтора землекопа» или отрицательное количество яблок — ищи ошибку в уравнении.

Заключение

Сегодня ты получил ключ к решению тысяч задач. Линейные уравнения — это база, на которой строится вся физика, химия и экономика. Умение переводить жизненные ситуации на язык и — это суперсила, которая останется с тобой навсегда.

В следующем уроке мы поговорим о координатной плоскости и научимся рисовать портреты уравнений!

Координатная плоскость, графики и диаграммы

Приветствую тебя, исследователь! Мы прошли долгий путь: научились управлять дробями, разгадывать тайны пропорций и даже приручили отрицательные числа. До этого момента все наши числа жили на одной линии — координатной прямой. Это было похоже на движение по узкой тропинке: можно идти только вперед или назад.

Но наш мир не плоский, как нитка! Представь, что ты пришел в кинотеатр. Чтобы найти свое место, тебе мало знать только номер места. Тебе нужно знать ряд и место. Или представь игру в «Морской бой»: чтобы сделать выстрел, ты называешь букву и цифру (например, А-4).

Сегодня мы научимся ориентироваться на плоскости. Мы создадим карту для чисел, научимся рисовать портреты уравнений и строить красивые диаграммы.

Координатная плоскость

В 17 веке французский математик и философ Рене Декарт придумал систему, которая позволяет описывать положение любой точки на плоскости с помощью двух чисел. Говорят, эта идея пришла ему в голову, когда он лежал в кровати и наблюдал за мухой, ползающей по потолку. Он подумал: «Я могу описать положение мухи, зная расстояние от неё до двух соседних стен».

Чтобы создать такую систему, нам понадобятся две координатные прямые.

Как построить координатную плоскость?

Рисуем горизонтальную прямую. Это ось абсцисс (обычно обозначается буквой ).

Рисуем вертикальную прямую, которая пересекает первую под прямым углом (). Это ось ординат (обычно обозначается буквой ).

Точку их пересечения называем началом координат (обозначается буквой , от латинского Origo — начало).

Задаем единичный отрезок (например, 1 клетка тетради) и указываем стрелками положительное направление (вправо и вверх).

!Схема координатной плоскости с осями абсцисс и ординат

> Плоскость, на которой выбрана система координат, называется координатной плоскостью.

Оси координат

Запомни эти названия, они будут встречаться постоянно: * Ось — ось абсцисс (горизонтальная). * Ось — ось ординат (вертикальная).

Эти две оси делят плоскость на 4 части, которые называются координатными четвертями (или квадрантами). Их нумеруют римскими цифрами против часовой стрелки.

Координаты точки

Теперь любую точку на этой плоскости можно описать парой чисел. Эта пара называется координатами точки.

Записывается это так:

Где: * — название точки (обычно заглавная латинская буква); * — абсцисса точки (координата по горизонтальной оси); * — ордината точки (координата по вертикальной оси).

Важно: Порядок имеет значение! На первом месте всегда стоит (абсцисса), на втором — (ордината). Это как в алфавите: идет раньше .

Как найти координаты точки?

Представь, что точка — это твой дом. Чтобы узнать его адрес:

Опусти перпендикуляр (взгляд) на ось . Число, которое ты там увидишь — это первая координата (абсцисса).

Опусти перпендикуляр на ось . Число, которое ты там увидишь — это вторая координата (ордината).

Как построить точку по координатам?

Давай построить точку .

Старт: Встаем в начало координат (точку ).

Движение по : Первая координата . Она положительная, значит, шагаем на 3 единицы вправо.

Движение по : Вторая координата . Она отрицательная, значит, оттуда, где мы остановились, шагаем на 2 единицы вниз.

Финиш: Ставим точку и подписываем её буквой .

!Построение точки A с координатами (3; -2)

Знаки в четвертях

В зависимости от того, в какой четверти находится точка, знаки её координат будут разными: * I четверть (правый верхний угол): . Пример: . * II четверть (левый верхний угол): . Пример: . * III четверть (левый нижний угол): . Пример: . * IV четверть (правый нижний угол): . Пример: .

Особые случаи: * Если точка лежит на оси , её ордината равна нулю. Пример: . * Если точка лежит на оси , её абсцисса равна нулю. Пример: . * Начало координат имеет координаты .

Графики

Координатная плоскость нужна не только для того, чтобы расставлять точки. Она позволяет нам увидеть, как одна величина зависит от другой. Это называется график.

Вспомни, мы изучали прямую пропорциональность. Если ты идешь с постоянной скоростью, то чем больше времени прошло, тем дальше ты ушел. Если мы отметим время на оси , а расстояние на оси , и соединим точки, мы получим линию.

Пример: График температуры

Представь, что метеорологи измеряли температуру воздуха каждые 2 часа в течение дня. У них получилась такая таблица:

| Время (ч) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | Температура () | -4 | -6 | -3 | 0 | 4 | 7 |

Давай нанесем эти точки на плоскость: * Ось — это время (часы). * Ось — это температура (градусы).

Первая точка , вторая и так далее. Если мы соединим эти точки плавной линией, мы получим график изменения температуры.

!График зависимости температуры воздуха от времени суток

Глядя на этот график, мы сразу видим: * Когда было холоднее всего? (В 2 часа ночи, график в самой нижней точке). * Когда температура была нулевой? (В 6 утра, график пересекает ось ). * Когда температура росла? (С 2 часов до 10 часов, линия идет вверх).

Диаграммы

Иногда нам не нужно показывать плавное изменение (как температуру), а нужно просто сравнить величины или показать состав чего-либо. Для этого используют диаграммы.

1. Столбчатые диаграммы

Они идеально подходят для сравнения. Представь, что мы хотим сравнить высоту гор в Беларуси (хотя они и не очень высокие, но всё же!).

* Гора Дзержинская: 345 м. * Гора Лысая: 342 м. * Гора Маяк: 335 м.

Мы рисуем столбики. Высота каждого столбика соответствует высоте горы. Сразу видно, кто «победитель», а кто отстает.

2. Круговые диаграммы

Они используются, когда нужно показать доли целого (проценты). Весь круг — это .

Пример: Состав воздуха. * Азот: . * Кислород: . * Другие газы: .

Круг делится на секторы, как пицца. Самый большой кусок — у азота, поменьше — у кислорода, и совсем тоненький кусочек — у остальных газов.

!Круговая диаграмма, показывающая состав воздуха

Чтобы построить такую диаграмму точно, нужно помнить, что полный круг — это . Значит, — это .

Где: * — угол сектора в градусах; * — количество процентов; * — градусная мера одного процента ().

Например, для кислорода () угол сектора будет:

Заключение

Сегодня мы получили в руки мощный инструмент визуализации. Координатная плоскость связывает алгебру (числа и уравнения) с геометрией (линии и фигуры). Графики помогают врачам следить за сердцем пациента, экономистам — за курсом валют, а инженерам — строить мосты.

В следующих уроках мы будем использовать эти знания все чаще. А пока — тренируйся находить координаты и не путай с !

Удачи в выполнении домашнего задания!