Математический анализ

Вещественные числа, функции и пределы

Зачем это нужно

Математический анализ изучает поведение величин при приближении: что происходит с функцией, когда аргумент становится очень большим, очень маленьким или стремится к некоторой точке. Чтобы говорить об этом строго, нам нужна база:

вещественные числа как универсальная числовая прямая для измерений

функции как правило соответствия между величинами

пределы как язык для описания приближения

Эта статья закладывает фундамент: определения, обозначения и ключевые свойства, без которых дальше невозможно обсуждать производные, интегралы и ряды.

> Полезные справочные статьи: Вещественные числа — Википедия, Предел — Википедия

Вещественные числа и числовая прямая

Вещественные числа образуют множество : сюда входят рациональные числа (например, ) и иррациональные (например, ).

Главная геометрическая модель — числовая прямая:

каждому числу соответствует точка

можно сравнивать числа: означает, что левее

можно измерять расстояние между числами

!x-a| как отрезок между ними, подписи a, x, и скобки модуля |x-a| | Иллюстрация числовой прямой и расстояния между двумя числами

Интервалы и лучи

Часто нас интересуют не отдельные числа, а промежутки.

— открытый интервал: все , такие что

— отрезок (закрытый интервал): все , такие что

и — полуинтервалы

и — лучи

Здесь и — вещественные числа, а символы и означают, что промежуток уходит без границы влево или вправо (это не числа, а обозначение бесконечного продолжения).

Модуль и расстояние

Модуль числа — это расстояние от до нуля на числовой прямой. Он обозначается и определяется так:

Пояснение каждого элемента:

— модуль числа .

Запись означает, что значение задаётся по случаям.

Условие означает, что число неотрицательное, тогда расстояние до нуля равно самому числу.

Условие означает, что число отрицательное, тогда становится положительным и даёт расстояние.

Расстояние между числами и равно .

выражение — это смещение от к

модуль делает расстояние неотрицательным

Окрестности

Окрестность — способ формально сказать “близко к точке”.

-окрестность точки — это множество всех , которые находятся от на расстоянии меньше :

Пояснение:

— фиксированная точка

— произвольная точка, которую мы проверяем

— радиус окрестности (насколько близко)

неравенство означает, что лежит внутри интервала

Функции

Что такое функция

Функция — это правило, которое каждому допустимому значению аргумента сопоставляет ровно одно значение.

Запись:

означает:

— имя функции

— область определения (все допустимые значения аргумента)

— множество вещественных чисел (куда попадают значения)

Если аргумент обозначен буквой , то значение функции пишут как .

Область определения и множество значений

Важно различать:

область определения: какие можно подставлять

множество значений: какие числа реально принимает функция

Пример: .

Нельзя подставлять , потому что деление на ноль не определено.

Поэтому область определения: все вещественные числа, кроме нуля.

В обозначениях:

-

множество значений также не содержит нуля, потому что ни при каком

График функции

График функции — это множество точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют равенству.

по горизонтали откладывают

по вертикали откладывают

каждая точка графика имеет вид

![Пример графика функции как множества точек (x, f(x))

Базовые свойства функций

В анализе часто используют следующие свойства.

Ограниченность

- функция ограничена сверху, если существует число , такое что для всех из области определения - ограничена снизу аналогично - ограничена, если ограничена и сверху, и снизу

Монотонность

- функция возрастает, если при выполняется - убывает, если при выполняется

Чётность и нечётность (если область определения симметрична относительно нуля)

- чётная: - нечётная:

Эти свойства важны, потому что помогают доказывать существование пределов и оценивать выражения.

Последовательности

Определение

Последовательность — это функция, определённая на натуральных числах.

Её записывают как или , где:

— номер элемента (натуральное число)

— значение на этом номере

Пример: даёт последовательность

Предел последовательности

Интуитивный смысл

Говорят, что стремится к , если элементы последовательности можно сделать как угодно близкими к , выбирая достаточно большой номер .

Строгое определение -

Последовательность имеет предел , если для любого найдётся номер , такой что для всех выполняется:

Пояснение каждого символа:

— предполагаемый предел (число, к которому приближаемся).

— произвольно маленькая точность (радиус окрестности вокруг ).

— номер, начиная с которого все члены последовательности попадают в эту окрестность.

— означает, что мы рассматриваем все элементы достаточно далеко в хвосте последовательности.

— расстояние между и .

Важно: выбирается первым (сколько точности хотим), а может зависеть от .

Пример без громоздких вычислений

Для предел равен .

Смысл: как бы близко к нулю мы ни хотели оказаться (какой бы маленькой ни была окрестность радиуса ), можно взять настолько большой , что станет меньше .

Свойства предела последовательности

Если предел существует, то он:

единственный (невозможно одновременно стремиться к двум разным числам)

хорошо сочетается с арифметикой: если и , то

- - - при и если начиная с некоторого места:

Здесь записи и означают “имеет предел”.

Предел функции

Идея

Предел функции описывает поведение при приближении к точке .

Главное отличие от значения функции:

— что происходит в точке

— что происходит рядом с точкой, при приближении

Функция может даже не быть определена в , но её предел при может существовать.

Определение -

Говорят, что предел функции при равен , если для любого найдётся такое, что из условия

следует

Пояснение:

— точка, к которой приближается аргумент.

— текущий аргумент, близкий к .

— запрещает брать ровно (мы смотрим поведение вокруг точки).

— радиус окрестности вокруг по оси .

— число, к которому должны приближаться значения .

— желаемая точность по оси значений .

Ключевая логика: какую бы точность по значениям функции () мы ни потребовали, можно подобрать достаточно малую окрестность по аргументу (), чтобы значения функции попали в нужную точность.

!Геометрический смысл определения предела ε-δ

Односторонние пределы

Иногда важно, как функция ведёт себя при подходе к слева или справа.

— предел при , подход слева

— предел при , подход справа

Двусторонний предел существует тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела и они равны.

Предел при бесконечности

Запись означает: при очень больших значения становятся близкими к .

Аналогично для .

Бесконечные пределы

Иногда функция не приближается к числу, а неограниченно растёт.

означает, что при значения становятся сколь угодно большими.

Здесь — не число, а описание поведения.

Непрерывность как связующее понятие

Функция непрерывна в точке , если выполнены три условия:

функция определена в точке, то есть существует

существует предел

предел равен значению:

Непрерывность — это ситуация, когда поведение вокруг точки согласовано с поведением в самой точке. Позже мы увидим, что большинство стандартных функций (полиномы, синус, экспонента) непрерывны на своих областях определения.

Типичные ошибки

Путать значение и предел

- возможно, что не существует, но предел существует - возможно, что существует, но предел не существует

Забывать про область определения

- перед любыми рассуждениями проверьте, где выражение имеет смысл

Неправильно понимать односторонние пределы

- означает строго больше , а не “приближение по времени” или “увеличение функции”

Что дальше в курсе

Дальше эти понятия будут использованы постоянно:

пределы станут основой определения производной

непрерывность поможет доказывать важные теоремы о функциях

последовательности и их пределы приведут к пониманию рядов и приближений

Непрерывность и основные теоремы

Как эта тема связана с предыдущей

В предыдущей статье мы ввели предел функции и дали определение непрерывности в точке как согласованность значения функции и её поведения вблизи точки. Теперь мы сделаем следующий шаг:

разберём как проверять непрерывность (в том числе через последовательности);

перечислим основные операции, которые сохраняют непрерывность;

изучим теоремы, которые делают непрерывность мощным инструментом: про промежуточные значения, про существование максимумов/минимумов и про равномерную непрерывность.

Справочно: Непрерывная функция

Непрерывность в точке

Определение через предел

Функция непрерывна в точке , если выполнено равенство

Разберём, что означает каждый элемент записи:

— функция, которая каждому допустимому ставит в соответствие число.

— фиксированная точка, в которой мы проверяем непрерывность.

— аргумент приближается к , но мы анализируем поведение вокруг точки.

— число, к которому стремятся значения функции при приближении к (если такой предел существует).

— значение функции в самой точке.

Равенство означает: сколь бы близко к мы ни подходили, значения приближаются к тому же числу, которое функция выдаёт в точке .

Из этого определения сразу видно, что для непрерывности в нужно:

чтобы была определена сама точка ;

чтобы существовал предел ;

чтобы предел совпал со значением.

Непрерывность и односторонние пределы

Если точка — край промежутка (например, функция задана только при ), то говорят о непрерывности справа или слева:

непрерывность справа в : ;

непрерывность слева в : .

Здесь символы и означают приближение соответственно справа (при ) и слева (при ).

Эквивалентный признак: через последовательности

Иногда удобнее проверять непрерывность не через -, а через последовательности.

Критерий (последовательностный): функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда для любой последовательности , которая стремится к и при этом лежат в области определения, выполняется

Пояснение элементов:

— номер элемента последовательности.

— -й элемент последовательности аргументов.

— аргументы становятся всё ближе к при больших .

— значения функции на этих аргументах.

— к какому числу стремятся значения функции вдоль выбранного приближения.

Смысл: непрерывность запрещает ситуации, когда к одной и той же точке можно подойти разными способами и получить разные предельные значения.

Как «строить» непрерывные функции

В анализе редко доказывают непрерывность «с нуля». Чаще используют набор устойчивых операций.

Арифметические операции

Если функции и непрерывны в точке , то в точке непрерывны:

- - -

, но только если

В дроби :

— числитель;

— знаменатель;

условие нужно, чтобы деление имело смысл в точке .

Составление функций (композиция)

Если непрерывна в , а непрерывна в точке , то составная функция непрерывна в .

сначала подаётся в ;

результат подаётся в .

Непрерывность элементарных функций

Без доказательств (их обычно разбирают в отдельном теоретическом блоке) принимают, что на своих областях определения непрерывны:

многочлены;

рациональные функции (где знаменатель не равен нулю);

, ;

, (на ) и другие стандартные элементарные функции.

Практический вывод: почти все «обычные» формулы, составленные из этих функций с помощью арифметики и композиции, будут непрерывными там, где они определены.

Разрывы: как функция может быть не непрерывной

Непрерывность может нарушаться по разным причинам. Полезно уметь классифицировать разрыв в точке .

!Сравнение устранимого разрыва и разрыва скачком

Устранимый разрыв

Ситуация: предел существует, но

либо не определено,

либо определено, но не равно пределу.

Тогда можно «исправить» функцию, переопределив значение в точке так, чтобы стало .

Разрыв скачком

Ситуация: существуют односторонние пределы, но они разные:

существует;

существует;

но .

Бесконечный разрыв

Ситуация: при подходе к значения функции становятся сколь угодно большими по модулю, например

Здесь:

— не число, а описание поведения;

запись означает: значения превышают любой заранее заданный порог, если подойти достаточно близко к .

Основные теоремы о непрерывных функциях

Дальше — три теоремы, которые делают непрерывность особенно важной.

Теорема о промежуточных значениях

Если функция непрерывна на отрезке , то она принимает все значения между и .

То есть для любого числа между и найдётся точка такая, что .

— все числа от до включительно;

«между» означает: либо , либо .

Справочно: Теорема о промежуточных значениях

#### Важное следствие: существование корня (теорема Больцано) Если непрерывна на и значения на концах имеют разные знаки:

то существует , что .

Объяснение записи :

и — значения функции на концах;

произведение отрицательно тогда и только тогда, когда одно число положительно, а другое отрицательно;

значит, график должен «пересечь» уровень где-то между и .

Теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме

Если функция непрерывна на отрезке , то она:

ограничена на ;

достигает на своего наибольшего и наименьшего значений.

Это означает, что существуют точки и из такие, что

для всех ;

для всех .

В этих неравенствах:

— любой аргумент на отрезке;

— точка, где достигается максимум;

— точка, где достигается минимум.

Справочно: Теорема Вейерштрасса (о достижении экстремумов)

Равномерная непрерывность на отрезке (теорема Гейне—Кантора)

Обычная непрерывность в точке допускает, что «качество» непрерывности может зависеть от точки. Равномерная непрерывность требует одной и той же точности по аргументу для всех точек сразу.

Функция равномерно непрерывна на множестве , если

Пояснение каждого элемента:

— множество, на котором рассматриваем функцию (например, отрезок ).

— для любой требуемой точности по значениям функции.

— найдётся число , которое задаёт «насколько близко» должны быть аргументы.

— условие должно работать для любых двух точек из .

— расстояние между аргументами меньше .

— «из этого следует».

— значения функции тоже близки.

Теорема Гейне—Кантора: если функция непрерывна на отрезке , то она равномерно непрерывна на .

Справочно: Равномерная непрерывность

Зачем эти теоремы нужны на практике

Непрерывность превращается в «гарантии»:

теорема о промежуточных значениях позволяет доказывать существование решений уравнений вида без явного нахождения ;

теорема Вейерштрасса позволяет уверенно говорить о максимумах и минимумах на отрезке (это база для задач оптимизации);

равномерная непрерывность на отрезке нужна, когда важно контролировать ошибку одним параметром для всех точек сразу (это всплывёт в теме интеграла и приближений).

Типичные ошибки

Считать, что «непрерывная на » автоматически означает «достигает максимум на ». Теорема Вейерштрасса требует именно отрезок .

Путать «предел существует» и «функция непрерывна». Непрерывность дополнительно требует, чтобы значение в точке существовало и совпало с пределом.

Забывать условие для непрерывности дроби .

Что дальше в курсе

Далее непрерывность станет базой для:

определения производной (через предел разностного отношения);

теорем о дифференцируемых функциях (например, теорема Лагранжа);

методов исследования функций и задач на оптимизацию.

Дифференциальное исчисление и приложения

Связь с предыдущими темами

Пределы и непрерывность были введены как язык для описания приближения и поведения функции около точки. Дифференциальное исчисление делает следующий шаг: оно измеряет скорость изменения функции.

Производная строится из предела, поэтому логическая цепочка такая:

вещественные числа и модуль дают понятие расстояния;

пределы формализуют приближение;

непрерывность гарантирует согласованность поведения функции около точки;

производная уточняет, насколько быстро меняется функция около точки и позволяет исследовать графики и решать задачи оптимизации.

Справочно: Производная

Производная в точке

Интуиция: средняя и мгновенная скорость

Если функция описывает путь , то средняя скорость на промежутке от до равна

Если мы уменьшаем и смотрим, к чему стремится эта дробь, мы получаем мгновенную скорость. В общем случае это и есть производная.

Определение через предел

Функция имеет производную в точке , если существует конечный предел

Разберём каждый элемент формулы:

— производная функции в точке , то есть число, описывающее скорость изменения около .

— предел при стремлении к нулю; это означает, что мы берём всё меньшие приращения аргумента.

— приращение аргумента: мы сравниваем значения в точках и .

— приращение функции: насколько изменилось значение функции при переходе от к .

— отношение приращения функции к приращению аргумента; это средняя скорость изменения на маленьком промежутке.

Важно: в этой формуле внутри дроби, потому что деление на ноль не определено, но затем мы рассматриваем поведение при .

Геометрический смысл: наклон касательной

Производная — это угловой коэффициент касательной к графику в точке .

Если касательная существует, её уравнение можно записать так:

Пояснение:

— переменная по вертикальной оси.

— переменная по горизонтальной оси.

— значение функции в точке касания.

— горизонтальное смещение от точки касания.

— вертикальное изменение вдоль касательной при таком смещении.

!Иллюстрация перехода от секущей к касательной и смысл производной как предела наклонов

Дифференцируемость и непрерывность

Если производная в точке существует, то функция обязательно непрерывна в этой точке.

Дифференцируемость в означает существование .

Непрерывность в означает .

Обратное неверно: функция может быть непрерывной, но не иметь производной.

Классический пример — в точке :

функция непрерывна в ;

но касательная в не имеет единственного наклона: слева наклон , справа наклон , поэтому производной нет.

Правила дифференцирования

На практике производную почти никогда не находят напрямую по определению. Вместо этого используют правила.

Основные правила

Ниже и — функции, имеющие производные в рассматриваемой точке, а — постоянное число.

| Операция | Производная | |---|---| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

Пояснения к обозначениям, которые используются в таблице:

и — производные функций и .

В правиле дроби важно, что в точках, где мы применяем формулу.

В правиле композиции :

- сначала считается внутреннее значение ; - затем внешняя функция применяется к результату; - производная равна произведению производных внешней и внутренней частей, но внешняя производная берётся в точке .

Справочно: Правило цепочки

Производные элементарных функций

Ниже приведены наиболее часто используемые производные.

| Функция | Производная | Где определено | |---|---|---| | (целое ) | | для всех | | | | для всех | | | | для всех | | | | для всех | | | | только при |

Замечание про запись :

— показатель степени;

— степень на единицу меньше;

правило говорит, что производная степенной функции пропорциональна степени.

Дифференциал и линейная аппроксимация

Производная позволяет приближать функцию около точки прямой.

Линейное приближение

Если дифференцируема в точке , то при малом верно приближение

Пояснение:

— небольшое приращение аргумента.

— приближённое приращение функции.

Знак означает, что равенство не точное, но ошибка становится малой при уменьшении .

Дифференциал

Дифференциал вводят как удобную запись линейной части приращения:

Пояснение:

— малое приращение аргумента (его часто отождествляют с в приближениях).

— соответствующее линейное приближение приращения функции.

— коэффициент пропорциональности между малыми изменениями и .

Практический смысл: можно быстро оценивать, как изменится функция при небольшом изменении входа.

Теоремы о дифференцируемых функциях

Эти результаты превращают производную в инструмент доказательств и исследования.

Теорема Ферма (необходимое условие экстремума)

Если функция имеет локальный максимум или минимум в точке и при этом производная существует, то

Смысл: в точках внутреннего экстремума касательная горизонтальна.

Теорема Ролля

Если функция :

непрерывна на отрезке ;

дифференцируема на интервале ;

и ,

то найдётся , что

Теорема Лагранжа (теорема о среднем значении)

Если функция :

непрерывна на ;

дифференцируема на ,

то найдётся , что

Пояснение:

— средняя скорость изменения функции на отрезке.

— мгновенная скорость в некоторой внутренней точке.

Теорема утверждает: где-то внутри отрезка мгновенная скорость равна средней.

!Геометрический смысл теоремы Лагранжа: касательная параллельна хорде

Справочно: Теорема Лагранжа (о среднем значении)

Приложения: исследование функций

Производные дают компактный алгоритм для анализа поведения функции.

Монотонность

Если на интервале:

, то функция возрастает;

, то функция убывает.

Идея: знак производной показывает знак наклона касательной, а значит направление изменения функции.

Критические точки

Точка называется критической, если:

, или

производная не существует, но функция определена.

Критические точки — кандидаты на экстремумы.

Локальные экстремумы

Практический тест через знак первой производной:

Найти критические точки.

Посмотреть знак слева и справа от точки .

Сделать вывод:

- если меняет знак с на , то в локальный максимум; - если меняет знак с на , то в локальный минимум; - если знак не меняется, экстремума нет.

Вторая производная: выпуклость и перегиб

Если существует вторая производная , то она описывает изменение наклона.

если , график выпуклый вверх;

если , график выпуклый вниз;

если выпуклость меняется, возможна точка перегиба.

Справочно: Вторая производная

Приложения: задачи оптимизации

Задачи на максимум или минимум обычно решаются по одному шаблону.

Типовой план решения

Ввести переменную и выразить искомую величину как функцию .

Указать область допустимых значений (интервал или отрезок), исходя из смысла задачи.

Найти производную .

Найти критические точки внутри области.

Если область — отрезок , сравнить значения :

- в критических точках; - на концах и .

Выбрать наибольшее или наименьшее значение в зависимости от условия.

Почему в пункте про отрезок нужны концы: даже если внутри есть критические точки, глобальный максимум или минимум может оказаться на границе.

Как эта тема продолжит курс

Дифференциальное исчисление связывает пределы с практикой:

производная определяет касательную и скорость изменения;

теоремы Ролля и Лагранжа дают строгие выводы о поведении функции;

исследования и оптимизация становятся системными.

Дальше эти идеи будут использоваться при изучении интеграла: там тоже ключевую роль играют пределы, но уже для сумм и площадей.

Интегральное исчисление и методы вычисления

Связь с предыдущими темами

В дифференциальном исчислении мы изучали скорость изменения функции через производную и использовали её для исследования графиков и оптимизации. Интегральное исчисление решает «обратную» и одновременно более геометрическую задачу:

как суммировать бесконечно много малых вкладов (площади, приросты, массы, работу);

как по скорости изменения восстановить само изменение.

Логическая связь такая:

пределы дают смысл фразе «складываем всё более мелкие кусочки»;

непрерывность гарантирует хорошее поведение функции на отрезке;

производная ведёт к интегралу через основную теорему анализа.

Справочно: Интеграл, Определённый интеграл

Определённый интеграл как предел сумм

Интуиция: площадь под графиком

Если функция неотрицательна на отрезке , то определённый интеграл можно понимать как площадь фигуры под графиком между вертикалями и .

Если принимает и отрицательные значения, то интеграл считается как ориентированная площадь: участки ниже оси дают отрицательный вклад.

!Прямоугольники Римана иллюстрируют приближение площади суммой площадей прямоугольников

Разбиение и суммы Римана

Разобьём отрезок точками

Пояснение элементов:

и — левый и правый концы отрезка.

— точки разбиения.

Знак означает, что точки идут слева направо по числовой прямой.

Число — количество частей, на которые мы делим отрезок.

Длина -й части (подотрезка) равна

Пояснение:

— длина -го подотрезка.

— разность правого и левого конца этого подотрезка.

Выберем внутри каждого подотрезка точку и составим сумму

Пояснение элементов:

— знак суммирования.

Индекс означает, что начинаем с первого подотрезка.

Верхняя граница означает, что складываем вклады всех подотрезков.

— значение функции в выбранной точке внутри -го подотрезка.

Произведение — площадь прямоугольника: высота умножить на ширину .

Определение определённого интеграла

Если при «измельчении» разбиения суммы Римана стремятся к одному и тому же числу, то это число называют определённым интегралом:

Пояснение элементов:

— знак интеграла с пределами от до .

— интегрируемая функция.

— стандартное обозначение «переменной интегрирования»; формально оно связано с тем, что мы складываем вклады ширины по оси .

— предел.

— длина самого большого подотрезка в разбиении.

Условие означает: мы делаем разбиение всё более мелким.

Сумма — приближение интеграла площадями прямоугольников.

Практический факт, который сильно упрощает жизнь: если непрерывна на , то она интегрируема на в смысле Римана.

Свойства определённого интеграла

Пусть функции интегрируемы на , а и — числа.

Линейность

Пояснение:

— линейная комбинация функций.

Интеграл от суммы равен сумме интегралов.

Константы и можно «вынести» за знак интеграла.

Аддитивность по промежутку

Если — точка между и , то

Пояснение:

— точка разбиения отрезка на две части.

Интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям.

Монотонность и оценка

Если для всех , то

Пояснение:

Неравенство сравнивает значения функций в каждой точке.

Тогда «суммарная площадь» (ориентированная) у не больше, чем у .

Если на , то

Пояснение:

и — нижняя и верхняя оценки функции на отрезке.

— длина отрезка.

Интеграл лежит между площадями прямоугольников высоты и .

Неопределённый интеграл и первообразная

Первообразная

Функция называется первообразной для на промежутке, если

Пояснение:

— производная функции .

Равенство означает: производная первообразной возвращает исходную функцию.

Неопределённый интеграл

Множество всех первообразных записывают так:

Пояснение:

— неопределённый интеграл.

— одна конкретная первообразная.

— произвольная постоянная, потому что производная константы равна .

Справочно: Первообразная

Основная теорема анализа (Ньютон—Лейбниц)

Это ключ к вычислению определённых интегралов через первообразные.

Формула Ньютона—Лейбница

Если непрерывна на и — её первообразная, то

Пояснение элементов:

— ориентированная площадь (или суммарный вклад) на отрезке.

— значение первообразной в правом конце.

— значение первообразной в левом конце.

Разность — чистое изменение первообразной на отрезке.

!Иллюстрация связи площади под f и приращения первообразной F

Производная от интеграла с переменным верхним пределом

Если определить новую функцию

то при непрерывной выполняется

Пояснение:

— функция, которая на каждом возвращает интеграл от до .

Буква — внутренняя переменная интегрирования; она нужна, чтобы не путать её с внешним .

Равенство говорит: интегрирование и дифференцирование в этом смысле являются взаимно обратными операциями.

Справочно: Основная теорема анализа

Базовые таблицы первообразных

Эти формулы обычно запоминают, потому что они используются постоянно.

| | Одна из первообразных | Важные условия | |---|---|---| | | | | | | | | | | | для всех | | | | для всех | | | | для всех |

Пояснение на примере :

— степенная функция.

— выражение, производная которого равна .

Условие нужно, потому что при появляется деление на ноль, и этот случай отдельно даёт .

Методы вычисления интегралов

Замена переменной

Идея: если в интеграле встречается «сложная внутренняя функция», удобно обозначить её новой переменной.

Если , то часто работает формула

Пояснение элементов:

— внутренняя функция.

— её производная.

— типичный вид подынтегрального выражения для замены.

— новая переменная, равная .

— дифференциал новой переменной; он соответствует .

Для определённого интеграла важно менять и пределы: если , то

Пояснение:

Старые пределы и относятся к переменной .

Новые пределы и относятся к переменной .

Справочно: Замена переменной в интеграле

Интегрирование по частям

Идея: «перенести производную» с одного множителя на другой.

Формула:

Пояснение элементов:

— функция (обычно выбирают так, чтобы её было легко дифференцировать).

— дифференциал другой части (обычно выбирают так, чтобы её было легко интегрировать).

— первообразная для .

— дифференциал функции .

Правая часть часто превращает исходный интеграл в более простой.

Версия с переменной выглядит так:

Пояснение:

— производная функции .

— производная функции .

Смысл тот же, просто всё записано через производные по .

Справочно: Интегрирование по частям

Интегралы рациональных функций

Рациональная функция имеет вид , где и — многочлены, а .

Типовой план:

если степень не меньше степени , выполнить деление многочленов, чтобы выделить «целую часть»;

разложить правильную дробь на простые дроби (метод разложения на простейшие) и интегрировать по таблице.

Справочно: Разложение на простейшие дроби

Тригонометрические интегралы

Часто используются тождества, чтобы привести выражение к табличным интегралам, например:

;

формулы двойного угла и понижения степени.

Вычислительная идея: преобразовать подынтегральную функцию так, чтобы увидеть замену переменной или табличный вид.

Несобственные интегралы

Иногда интеграл берут на бесконечном промежутке или у функции есть «плохая точка» (например, разрыв с бесконечным ростом).

Бесконечный промежуток

Определение:

Пояснение:

— не число, а указание, что верхняя граница уходит вправо без ограничения.

— временная верхняя граница.

Предел означает: смотрим, к чему стремится интеграл по мере роста .

Особая точка внутри или на границе

Если функция не определена (или неограниченна) в точке , то интеграл на задают как предел:

Пояснение:

означает, что приближается к слева.

Мы интегрируем только там, где функция имеет смысл, и затем берём предел.

Если соответствующий предел конечен, говорят, что несобственный интеграл сходится. Иначе — расходится.

Справочно: [Несобственный интеграл

Прикладные смыслы интеграла

Накопление и «чистое изменение»

Если — скорость, то перемещение на отрезке времени равно

Пояснение:

— скорость как функция времени.

Интеграл суммирует маленькие вклады вида «скорость маленький промежуток времени».

Среднее значение функции

Среднее значение непрерывной функции на :

Пояснение:

— суммарный «вклад» функции на отрезке.

Деление на (длину отрезка) превращает суммарный вклад в средний уровень.

— число, которое можно понимать как высоту прямоугольника той же площади, что и под графиком.

Типичные ошибки

Путать определённый и неопределённый интеграл: — число, а — семейство функций .

Забывать константу в неопределённом интеграле.

При замене переменной в определённом интеграле оставлять старые пределы вместо .

Неверно выбирать и в интегрировании по частям, из-за чего интеграл становится сложнее.

Не проверять сходимость несобственного интеграла: формальная запись с ещё не означает, что значение существует.

Что дальше в курсе

Интеграл завершает базовую связку анализа:

производная описывает локальное изменение;

интеграл описывает суммарный эффект;

основная теорема анализа связывает их в единый механизм.

Дальше эти идеи обычно ведут к более продвинутым темам: техникам вычисления площадей и объёмов, численным методам интегрирования, рядам и дифференциальным уравнениям.

Числовые и функциональные ряды

Зачем в анализе нужны ряды

Ряд — это способ записать бесконечную сумму и строго ответить на вопросы:

имеет ли смысл выражение вида ;

можно ли приближать сложные функции суммой простых (например, многочленов);

можно ли интегрировать и дифференцировать “почленно” бесконечную сумму.

Эта тема напрямую опирается на предыдущие статьи курса:

из темы про пределы берём идею приближения;

из темы про непрерывность — условия, при которых свойства “переходят к пределу”;

из темы про производные и интегралы — смысл почленного дифференцирования и интегрирования.

Справочно: Числовой ряд, Степенной ряд

Числовые ряды

Определение через частичные суммы

Пусть дана последовательность чисел : .

Числовой ряд записывают так:

Разберём элементы записи:

— знак суммирования.

— индекс (номер члена).

— с какого члена начинаем.

— суммируем бесконечно много слагаемых (это не число, а указание на бесконечный процесс).

— -й член ряда.

Чтобы придать “бесконечной сумме” строгий смысл, вводят частичные суммы:

Пояснение:

— сумма первых членов ряда.

— сколько членов мы реально сложили (конечное число).

— обычная конечная сумма.

Определение сходимости: ряд называется сходящимся, если существует конечный предел

Пояснение:

означает, что мы берём всё более длинные частичные суммы.

— последовательность частичных сумм.

— число, к которому стремятся .

Если такого конечного нет, ряд расходится.

!Иллюстрация идеи: ряд сходится, если частичные суммы имеют предел

Необходимое условие сходимости

Если ряд сходится, то обязательно

Пояснение:

— отдельные слагаемые.

означает: члены ряда должны становиться сколь угодно малыми.

Важно: это условие не является достаточным. То есть из ещё не следует, что ряд сходится.

Классические примеры

#### Геометрический ряд Ряд вида

сходится тогда и только тогда, когда , и его сумма равна

Пояснение формулы суммы:

— знаменатель геометрической прогрессии.

Условие означает: степени убывают по модулю к нулю.

— предел частичных сумм при .

Если , частичные суммы не стабилизируются (ряд расходится).

#### Гармонический ряд

расходится, хотя . Это главный пример, показывающий, что “члены стремятся к нулю” — недостаточно.

#### -ряды Ряд

сходится при и расходится при . Пояснение:

— параметр, определяющий скорость убывания членов.

При большом члены убывают быстрее, и сумма “успевает накопить” конечное значение.

Признаки сходимости для рядов с неотрицательными членами

Во многих задачах рассматривают ряды, где . Тогда частичные суммы не убывают, и вопрос сходимости сводится к тому, ограничены ли они сверху.

Признак сравнения

Пусть для всех достаточно больших .

Если сходится, то тоже сходится.

Если расходится, то тоже расходится.

Смысл: если “больший” ряд уже имеет конечную сумму, то “меньший” тем более не может уйти в бесконечность.

Предельный признак сравнения

Если , и существует конечный ненулевой предел

где , то ряды и ведут себя одинаково: либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Пояснение:

сравнивает скорость убывания членов.

означает: и одного порядка (примерно пропорциональны).

Признак Д’Аламбера (отношений)

Если и существует предел

то:

если , ряд сходится;

если , ряд расходится;

если , признак не даёт ответа.

Пояснение:

показывает, насколько следующий член меньше (или больше) предыдущего.

означает: члены убывают примерно геометрически.

Признак Коши (корней)

Если и существует предел

то:

если , ряд сходится;

если , ряд расходится;

если , признак не даёт ответа.

Пояснение:

— “средний” множитель роста/убывания члена на шаг.

По смыслу это тоже сравнение с геометрической прогрессией.

Интегральный признак

Если положительна, непрерывна и убывает на , и , то ряд

сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл

Пояснение:

связывает ряд и функцию.

Интеграл оценивает “площадь под графиком” — это близко по смыслу к суммированию площадей прямоугольников (идея Римана из темы интеграла).

Знакопеременные ряды и абсолютная сходимость

Знакопеременный ряд

Типичный вид:

где .

Пояснение:

меняет знак:

задаёт величину члена без знака.

Признак Лейбница

Ряд сходится, если выполнены оба условия:

убывает (начиная с некоторого места), то есть .

при .

Интуиция: положительные и отрицательные вклады компенсируют друг друга, а амплитуда компенсации постепенно уменьшается.

Абсолютная и условная сходимость

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей:

Пояснение:

— модуль, то есть “размер” члена без знака.

Если даже сумма размеров конечна, то исходная сумма тем более имеет смысл.

Факт: если ряд сходится абсолютно, то он сходится (как обычный числовой ряд).

Если сходится, но расходится, то говорят о условной сходимости.

Практический смысл различия:

абсолютная сходимость даёт устойчивость (знак “не играет решающей роли”);

условная сходимость более “хрупкая”: перестановки членов могут менять сумму.

Функциональные ряды

Числовой ряд суммирует числа. Функциональный ряд суммирует функции.

Определение

Пусть задана последовательность функций на некотором множестве . Функциональный ряд:

Для каждого фиксированного это превращается в числовой ряд.

Частичные суммы — это функции:

Пояснение:

— сумма первых функций, вычисленная в точке .

При каждом это обычная конечная сумма.

Поточечная сходимость

Ряд сходится поточечно на , если для каждого существует предел

Пояснение:

— предельная функция.

Предел берётся по при фиксированном .

Проблема: поточечной сходимости часто недостаточно, чтобы “переносить” непрерывность, интегрирование или дифференцирование на сумму ряда.

Равномерная сходимость

Ряд сходится равномерно на , если можно контролировать ошибку одной оценкой, одинаково для всех :

Пояснение каждого элемента:

— заранее заданная точность.

— номер, после которого частичные суммы близки к пределу.

Условие должно работать для всех одним и тем же .

— ошибка приближения суммы ряда частичной суммой.

Почему равномерная сходимость важна

Если непрерывны на отрезке и ряд сходится на равномерно, то сумма тоже непрерывна на .

То же относится к интегрированию: при стандартных условиях равномерной сходимости можно менять местами предел и интеграл, то есть интегрировать почленно.

Справочно: Равномерная сходимость

Степенные ряды как главный пример функциональных рядов

Определение степенного ряда

Степенной ряд с центром в :

Пояснение:

— числовые коэффициенты.

— степень расстояния от до центра .

При разных один и тот же ряд может сходиться или расходиться.

Радиус сходимости

Для степенного ряда существует число , называемое радиусом сходимости, такое что:

при ряд сходится (причём абсолютно);

при ряд расходится;

при нужна отдельная проверка (на концах возможно разное поведение).

!Геометрический смысл радиуса сходимости степенного ряда

Как находят на практике

Чаще всего применяют признак отношений или корней к ряду из модулей. Например, по признаку отношений рассматривают предел

Пояснение:

Дробь сравнивает соседние члены ряда.

Степени и сокращаются до множителя .

Затем выбирают те , для которых получающийся предел меньше .

Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда

Внутри интервала сходимости () степенной ряд ведёт себя особенно хорошо:

его можно дифференцировать почленно,

его можно интегрировать почленно,

получающиеся ряды имеют тот же радиус сходимости.

Это связывает тему рядов с дифференциальным и интегральным исчислением: степенные ряды становятся инструментом приближений и вывода формул (например, рядов Тейлора) в задачах анализа.

Справочно: Ряд Тейлора

Типичные ошибки

Считать, что если , то ряд обязательно сходится (гармонический ряд — контрпример).

Применять признак отношений или корней и делать вывод при результате (в этом случае нужен другой признак).

Путать поточечную и равномерную сходимость функциональных рядов.

Для степенного ряда находить и забывать отдельно проверить точки .

Как эта тема дополняет картину курса

Ряды замыкают базовую связку анализа:

пределы объясняют, как понимать “бесконечный процесс”;

интегралы дают смысл суммированию бесконечно многих вкладов (через предел сумм);

степенные ряды связывают всё вместе и дают универсальный способ приближать функции, интегрировать и дифференцировать сложные выражения.