Решение интегралов: от базовых техник до прикладных задач

Неопределённый интеграл: свойства и таблица основных интегралов

Зачем нужен неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл — это основной инструмент, который позволяет восстанавливать функцию по её производной. На практике он нужен, чтобы:

находить первообразные (функции, производная которых известна)

решать дифференциальные уравнения начального уровня

вычислять определённые интегралы (позже, через формулу Ньютона–Лейбница)

В этой статье мы введём определение, разберём ключевые свойства и соберём базовую таблицу интегралов, которую вы будете постоянно применять в следующих темах (подстановка, интегрирование по частям, разложение на простые дроби и прикладные задачи).

Первообразная и неопределённый интеграл

Первообразная

Функция называется первообразной для функции на некотором промежутке, если для всех из этого промежутка выполнено:

Здесь:

— переменная

— производная функции

— заданная функция (то, что мы хотим проинтегрировать)

Если вы умеете дифференцировать, то проверка первообразной делается просто: берём производную от найденного и сравниваем с .

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл — это запись множества всех первообразных:

Здесь:

символ означает операцию интегрирования

— подынтегральная функция

показывает, что интегрирование ведётся по переменной

— одна из первообразных функции

— произвольная постоянная (любое число)

Почему появляется :

если , то и

значит, к любой первообразной можно прибавить константу и получить другую первообразную

!Семейство первообразных как вертикальные сдвиги одного графика

Основные свойства неопределённого интеграла

Ниже — свойства, которые позволяют преобразовывать интегралы и составляют основу всех техник.

Линейность

Если и — постоянные числа, а и — функции, то:

Что это означает на практике:

сумму (или разность) подынтегральных функций можно интегрировать по частям

числовой множитель можно вынести за знак интеграла

Важно: линейность не говорит, что

Это неверно в общем случае.

Эквивалентность первообразных (различие на константу)

Если и — две первообразные функции на одном промежутке, то они отличаются на постоянную:

Идея: у двух первообразных одинаковая производная, значит производная разности равна нулю, а значит разность — константа.

Как проверять результат интегрирования

Если вы получили ответ , то проверка такая:

найдите производную

убедитесь, что

Это самый надёжный способ поймать ошибки со знаками, коэффициентами и степенями.

Таблица основных неопределённых интегралов

Ниже приведены базовые формулы, которые нужно выучить и уметь мгновенно применять. Во всех формулах — произвольная постоянная.

Алгебраические функции

| Подынтегральная функция | Неопределённый интеграл | Пояснение | |---|---|---| | | | — постоянное число | | | | — постоянное число, | | | | модуль нужен, чтобы формула работала при |

Пояснение к формуле :

— показатель степени

после интегрирования показатель увеличивается на 1:

появляется деление на новый показатель

случай выделен отдельно, потому что деление на невозможно и там получается логарифм

Показательные и логарифмические функции

| | | Пояснение | |---|---|---| | | | производная равна | | | | , ; — натуральный логарифм числа | | | | обычно берут |

Тригонометрические функции

| | | Пояснение | |---|---|---| | | | потому что | | | | потому что | | | | так как | | | | так как |

Формулы, ведущие к обратным тригонометрическим функциям

| | | Пояснение | |---|---|---| | | | производная равна | | | | формула имеет смысл при (для вещественных значений) |

Как пользоваться таблицей: типичные шаблоны

Ниже — несколько коротких ориентиров, которые пригодятся до изучения более продвинутых техник.

Если видите степень , попробуйте сразу применить правило (кроме случая )

Если видите выражение вида , это почти всегда путь к

Если видите , это прямой сигнал на

Если интеграл — сумма/разность, сначала раскройте на сумму интегралов по линейности

Мини-итог

В этой статье вы:

узнали, что неопределённый интеграл — это множество первообразных

поняли, почему в ответе всегда появляется

освоили линейность интеграла как главное вычислительное свойство

получили базовую таблицу интегралов, на которой строятся дальнейшие методы

Полезные справочные страницы (для повторения определений и производных):

Первообразная функция

Таблица производных

Методы интегрирования: замена переменной и интегрирование по частям

Как эта тема связана с предыдущей

В предыдущей статье вы освоили идею первообразной, линейность и базовую таблицу интегралов. Но на практике подынтегральная функция редко выглядит точно как элемент таблицы.

Два главных «моста» между реальными интегралами и таблицей:

Замена переменной (подстановка): помогает «узнать» внутри сложного выражения простую функцию из таблицы.

Интегрирование по частям: помогает интегрировать произведения функций (например, , , ), опираясь на правило производной произведения.

!Карта решений: когда выбирать подстановку, а когда — по частям

Замена переменной

Идея метода

Замена переменной применяется, когда подынтегральная функция устроена как сложная функция и рядом присутствует (в явном виде или с точностью до множителя) её производная.

Ключевая связка выглядит так:

Разберём обозначения:

— исходная переменная.

— выражение внутри «внешней» функции (часто его называют внутренней функцией).

— производная .

— «шаг» по (в вычислениях помогает заменить кусок выражения на ).

— новая переменная, которую мы вводим заменой .

— «шаг» по ; формально .

— внешняя функция, которая после замены станет функцией от .

Практический смысл: если вы видите и рядом что-то похожее на , то можно «сжать» выражение до более простого интеграла по переменной и затем применить таблицу.

Алгоритм замены переменной

Выберите внутреннее выражение и обозначьте его: .

Найдите производную: .

Замените в интеграле на , а на .

Вычислите новый интеграл по по таблице.

Вернитесь к переменной , подставив обратно .

Не забудьте про (произвольную константу).

Пример

Вычислим:

Замечаем внутреннее выражение , а рядом стоит , что похоже на производную.

1) Введём замену .

2) Тогда .

3) Интеграл превращается в:

4) По таблице .

5) Возвращаемся к :

Итог:

Типичный пример на

Здесь хорошо видно выражение вида .

Берём .

Тогда .

Получаем:

Частые ошибки при подстановке

Подстановка выбрана, но не «переведён» в : всегда доводите интеграл до вида «только и ».

Забыли вернуть обратно к : в ответе для неопределённого интеграла обычно возвращаются к исходной переменной.

Потеряли множитель: если , а в интеграле стоит, например, , нужно учесть коэффициент .

Интегрирование по частям

Откуда берётся формула

Метод основан на правиле производной произведения:

Объяснение обозначений:

и — функции от .

и — их производные.

— производная произведения.

Перепишем равенство в «интегральной форме». Если проинтегрировать обе части по , получим:

Левая часть — это просто (потому что интеграл от производной возвращает функцию). Тогда:

Переносим одно слагаемое:

Это и есть формула интегрирования по частям. Её часто записывают в виде:

Здесь:

— функция, которую мы будем дифференцировать.

— часть, которую мы будем интегрировать.

.

.

Как выбирать и

Хороший выбор — тот, который упрощает задачу:

выбирают так, чтобы становилось проще.

выбирают так, чтобы легко находилось по таблице.

Типичные кандидаты для :

(после дифференцирования становится )

многочлен (степени уменьшаются)

обратные тригонометрические функции (, )

Пример: произведение многочлена и экспоненты

Вычислим:

Выбираем:

(тогда )

(тогда )

Подставляем в формулу:

А . Тогда:

Проверка идеей из прошлой статьи: если продифференцировать , получится .

Пример: интеграл

Этот интеграл уже был в таблице, но полезно увидеть, как он получается по частям:

Представим как произведение и возьмём:

(тогда )

(тогда )

Тогда:

Частые ошибки при интегрировании по частям

Перепутали знак: в формуле всегда есть минус .

Неверно нашли : сначала убедитесь, что действительно берётся по таблице.

Выбор усложнил интеграл: если после применения формулы интеграл стал сложнее, попробуйте поменять роли и (или выбрать другой метод, например подстановку).

Как выбирать метод в задачах

Обычно помогает быстрый анализ вида подынтегрального выражения:

Если видите и рядом есть (почти) , пробуйте замену переменной.

Если видите произведение разных типов функций (многочлен и экспонента, многочлен и тригонометрия, логарифм), пробуйте по частям.

Если выражение — сумма/разность, сначала применяйте линейность и разбивайте на более простые интегралы.

Мини-итог

После этой статьи вы умеете:

сводить интегралы к табличным через замену переменной

интегрировать произведения функций с помощью формулы

выбирать между подстановкой и интегрированием по частям по внешнему виду выражения

Полезные справочные страницы:

Интегрирование по частям

Замена переменной

Рациональные и иррациональные функции: разложение на простые дроби и тригподстановки

Как эта тема продолжает курс

В прошлых статьях вы научились сводить интегралы к табличным с помощью замены переменной и интегрирования по частям. Следующий большой пласт задач возникает, когда подынтегральное выражение:

является рациональной функцией (дробь из многочленов)

содержит корни от многочленов и выглядит как иррациональная функция

Для рациональных функций ключевой инструмент называется разложение на простые дроби. Для типичных иррациональных выражений с квадратными корнями работает тригонометрическая подстановка.

!Карта выбора между разложением на простые дроби и тригподстановкой

Рациональные функции и стратегия их интегрирования

Что такое рациональная функция

Рациональная функция имеет вид:

где:

и это многочлены по

на рассматриваемом промежутке

Пример: .

Главная развилка: правильная и неправильная дробь

Сравнивают степени многочленов:

если степень меньше степени , дробь правильная и обычно сразу раскладывается на простые дроби

если степень не меньше степени , дробь неправильная и сначала делят многочлены

#### Деление многочленов перед разложением Идея: представить дробь как сумму многочлена и правильной дроби:

где:

это результат деления (многочлен)

это остаток (многочлен меньшей степени, чем )

После этого интегрируют по таблице, а раскладывают на простые дроби.

Разложение на простые дроби

Зачем оно нужно

После разложения исходная дробь превращается в сумму простых выражений, каждое из которых интегрируется по таблице или простой подстановкой.

Какие бывают "простые" дроби

Разложение зависит от того, как раскладывается знаменатель на множители.

| Вид множителя в | Как выглядит вклад в разложение | |---|---| | Линейный множитель | | | Повторяющийся линейный | | | Неразложимый квадратный | | | Повторяющийся квадратный | |

Здесь это неизвестные числа, которые находят из равенства дробей.

Алгоритм разложения

Приведите дробь к правильной (если нужно, выполните деление многочленов).

Разложите знаменатель на множители над вещественными числами.

Запишите общий вид разложения по таблице выше.

Найдите неизвестные коэффициенты, приравнивая числители после приведения к общему знаменателю.

Проинтегрируйте получившуюся сумму.

Пример с разными линейными множителями

Вычислим:

Шаги:

Разложим знаменатель: .

Ищем разложение:

Приведём к общему знаменателю:

Значит числители должны совпасть:

Раскроем скобки и сгруппируем по степеням :

при :

при константе:

Отсюда , .

Интегрируем:

Пояснение к ответу:

логарифм появляется из формулы

модуль нужен, потому что корректен и при отрицательных значениях аргумента

Пример с повторяющимся линейным множителем

Вычислим:

Знаменатель уже разложен: .

Записываем:

Дальше коэффициенты находят стандартно, а интегрирование идёт по формулам:

- -

Главная идея: степени вида интегрируются как степени, а не как логарифм.

Пример с неразложимым квадратным множителем

Вычислим:

Здесь знаменатель не раскладывается на линейные множители над вещественными числами.

Разделим числитель на удобные части:

Теперь интегрируем каждую:

берётся подстановкой , тогда , результат

-

Итог:

Пояснение:

это внутренняя функция, а это её производная, поэтому подстановка работает

появляется из табличной формулы

Иррациональные функции и тригонометрические подстановки

Когда тригподстановка уместна

Тригонометрические подстановки применяют, когда встречается корень из квадратичного выражения и нужно его упростить, например:

- - -

Здесь это постоянное число.

Ключевая идея: выбрать замену так, чтобы подкоренное выражение превращалось в квадрат тригонометрической функции и корень убирался.

Три стандартные подстановки

| Корень в интеграле | Подстановка | Почему упрощается | |---|---|---| | | | | | | | | | | | |

Пояснение обозначений:

это новая переменная

, , это тригонометрические функции

это секанс,

Пример для

Вычислим:

Делаем подстановку .

Тогда .

Корень:

На практике обычно выбирают промежуток , где , и тогда .

Подставляем:

Возвращаемся к . Из получаем .

Итог:

Пояснение:

это функция, обратная на выбранном промежутке

выражение безразмерно и лежит в диапазоне , если

Пример для

Вычислим:

Этот интеграл табличный, но его полезно увидеть в связке с заменой.

Подстановка , тогда .

Знаменатель:

Интеграл:

Возврат: , значит .

Итог:

Пример для

Вычислим:

Подстановка , тогда .

Корень:

На промежутке, где , получаем:

Далее используют известную первообразную:

Возвращаемся к . Так как , а , получаем:

Пояснение:

логарифм допускает умножение аргумента на положительную константу, поэтому множитель можно "спрятать" в константу

Типичные ошибки и как их избегать

При разложении на простые дроби забывают сначала сделать дробь правильной через деление многочленов.

Для повторяющихся множителей записывают только одну дробь вместо целой цепочки до степени .

Для неразложимого квадратичного множителя пишут числитель-константу, хотя должен быть линейный .

В тригподстановках забывают заменить и пытаются интегрировать выражение, где одновременно остались и , и .

При упрощении корней теряют модуль, например , и не контролируют допустимый промежуток для .

Мини-итог

В этой статье вы получили два мощных инструмента для интегралов, которые не сводятся напрямую к таблице:

для рациональных функций вы умеете делать деление многочленов и разложение на простые дроби

для корней вида , , вы знаете стандартные тригподстановки и логику, почему они убирают корень

Полезные справочные страницы:

Разложение на простые дроби

Тригонометрическая подстановка

Определённый интеграл: Ньютон–Лейбниц, вычисление и типовые приёмы

Как эта тема связывает весь курс

В предыдущих статьях вы научились находить неопределённые интегралы с помощью таблицы, замены переменной, интегрирования по частям, разложения на простые дроби и тригподстановок. Теперь мы используем эти навыки как инструмент для вычисления определённых интегралов.

Главная идея проста:

неопределённый интеграл даёт первообразную для

определённый интеграл превращает первообразную в конкретное число на отрезке

Это число часто интерпретируют как площадь с учётом знака под графиком функции.

!Иллюстрация смысла определённого интеграла как площади с учётом знака

Что такое определённый интеграл

Обозначение

Определённый интеграл записывают так:

Разберём все части записи:

— знак интеграла (операция «суммирования» бесконечно малых вкладов)

— подынтегральная функция

— переменная, по которой идёт интегрирование

— обозначение, что «шаг» берётся по переменной

— нижний предел интегрирования

— верхний предел интегрирования

Результат — это число, а не функция.

Геометрический смысл (интуиция)

Если на , то интеграл можно понимать как площадь под графиком на этом отрезке.

Если на части отрезка функция отрицательная, то вклад этой части идёт со знаком минус. Поэтому корректнее говорить: площадь с учётом знака.

Формула Ньютона–Лейбница

Суть теоремы

Если функция — первообразная для на отрезке , то есть

то справедлива формула Ньютона–Лейбница:

Разбор частей формулы:

— искомое число (значение определённого интеграла)

— первообразная (её вы находите методами предыдущих статей)

— значение первообразной в верхней границе

— значение первообразной в нижней границе

разность превращает «семейство первообразных» в единственное число

Почему в определённом интеграле не пишут :

первообразная имеет вид

при подстановке пределов получается , константа сокращается

!Пошаговая схема применения формулы Ньютона–Лейбница

Базовые свойства определённого интеграла

Эти свойства помогают быстро упрощать выражения до вычисления по Ньютону–Лейбницу.

Линейность

Здесь и — числа, и — функции.

Смена пределов меняет знак

Интеграл на отрезке нулевой длины равен нулю

Аддитивность по промежутку

Если точка лежит между и , то

Смысл: «площадь» на большом отрезке складывается из «площадей» на частях.

Как вычислять определённый интеграл на практике

Надёжный алгоритм:

Упростить подынтегральное выражение (раскрыть скобки, разложить на сумму по линейности, если это помогает).

Найти первообразную для любым методом из прошлых тем (таблица, подстановка, по частям, простые дроби, тригподстановка).

Применить формулу Ньютона–Лейбница: вычислить .

При необходимости проверить себя здравым смыслом (например, если , интеграл не должен быть отрицательным).

Типовые приёмы и «короткие пути»

Замена переменной в определённом интеграле

Подстановка работает так же, как и в неопределённом интеграле, но есть важное отличие: можно сразу менять пределы.

Если вы вводите замену , то:

-

при новый нижний предел становится

при новый верхний предел становится

Пример:

Здесь удобно взять .

- -

при получаем

при получаем

Тогда интеграл становится:

Обозначение означает «подставить верхний предел и вычесть подстановку нижнего». Здесь:

— значение в верхнем пределе

— значение в нижнем пределе

Интегрирование по частям с пределами

Формула по частям для определённого интеграла:

Расшифровка:

— то, что дифференцируем

— то, что интегрируем (производная некоторой функции)

— первообразная для

означает

Пример:

Выбор:

, тогда

, тогда

Подставляем:

Считаем каждую часть:

- -

Итог:

Симметрия: чётность и нечётность

Этот приём экономит время, когда пределы симметричны относительно нуля, то есть от до .

Если чётная, то есть , то

Если нечётная, то есть , то

Интуиция: у нечётной функции «площади» слева и справа одинаковы по модулю и противоположны по знаку.

Пример:

потому что — нечётная функция.

Быстрые преобразования пределов

Иногда полезно помнить:

можно разрезать интеграл в удобной точке по аддитивности

можно поменять пределы местами, но тогда появится минус

Пример разрезания:

Это удобно, если на разных частях отрезка функция упрощается по-разному.

Мини-примеры «чисто по Ньютону–Лейбницу»

Полином

Первообразная находится по таблице (правило степеней из первой статьи):

для первообразная (потому что производная равна )

для первообразная

для первообразная

Значит можно взять

Тогда

Рациональная функция, сводимая к логарифму

Из таблицы: первообразная для — это . На промежутке модуль можно опустить, потому что .

Типичные ошибки

Забывают, что в определённом интеграле ответ — число, поэтому в конце не пишут .

Находят первообразную верно, но путают порядок подстановки: всегда .

Делают подстановку, но не меняют пределы и забывают вернуться к переменной (или наоборот смешивают оба подхода).

Применяют симметрию, не проверив чётность/нечётность на всём выражении.

Мини-итог

В этой статье вы научились:

понимать определённый интеграл как число на отрезке и как «площадь с учётом знака»

вычислять интегралы по формуле Ньютона–Лейбница

применять подстановку и интегрирование по частям с пределами

ускорять вычисления с помощью свойств интеграла и симметрии

Полезные справочные страницы:

Определённый интеграл

Основная теорема анализа

Приложения интегралов: площади, объёмы, длины дуг и средние значения

Как эта тема завершает курс

В прошлых темах вы научились вычислять интегралы: сначала неопределённые (через таблицу и свойства), затем определённые (через формулу Ньютона–Лейбница), а также освоили основные техники (подстановка, по частям, простые дроби, тригподстановки). Теперь важный шаг: понять, что именно вычисляет определённый интеграл в прикладных задачах.

В этой статье разберём четыре классических применения:

площади (под графиком и между графиками)

объёмы (в частности, тела вращения)

длины дуг (геометрия кривых)

средние значения (усреднение величин по промежутку)

!Карта основных применений определённого интеграла

Площадь: под графиком и между графиками

Площадь под графиком (когда функция неотрицательна)

Если функция на отрезке не уходит ниже оси , то площадь области под графиком равна

Здесь:

— площадь

— знак интеграла (суммирование «малых площадей»)

и — границы по оси (левый и правый край области)

— высота «вертикальной полоски» над точкой

— очень маленькая ширина полоски

Что делать, если функция бывает отрицательной

Определённый интеграл даёт площадь с учётом знака: участки, где , вычитаются.

Если нужна именно геометрическая площадь, используют модуль:

Практическое правило:

если знаете, где и где , разбейте отрезок на части и снимите модуль по знаку

Площадь между двумя графиками

Пусть на отрезке один график находится выше другого: . Тогда площадь между ними равна

Что означают части формулы:

— верхняя граница (верхний график)

— нижняя граница (нижний график)

— «толщина» вертикальной полоски между кривыми

Если графики пересекаются, то:

находят точки пересечения из уравнения

разбивают интеграл по этим точкам

на каждом кусочке берут «верхняя минус нижняя»

!Площадь между двумя графиками как интеграл разности

Пример на площадь между графиками

Найдём площадь между и на отрезке .

Проверим, кто выше: на верно .

Тогда

Первообразная для берётся по таблице степеней:

для первообразная

для первообразная

Значит

Объёмы: метод дисков и колец (тела вращения)

Один из самых частых прикладных сюжетов: строим фигуру на плоскости и вращаем её вокруг оси. Объём получается как интеграл от площадей поперечных сечений.

Метод дисков (вращение вокруг оси )

Если на и мы вращаем область под графиком вокруг оси , то сечение перпендикулярно оси — это круг радиуса .

Площадь такого круга: . Тогда объём

Разбор обозначений:

— объём

— число пи из формулы площади круга

— квадрат радиуса сечения

— границы по

Метод колец (если есть «дырка»)

Если вращается область между (сверху) и (снизу), где , то сечение — кольцо.

внешний радиус

внутренний радиус

площадь кольца:

Объём:

!Метод колец: объём тела вращения как интеграл разности площадей

Пример на объём (диски)

Вычислим объём тела, полученного вращением графика на вокруг оси .

Здесь .

Формула дисков:

Первообразная для равна , значит

Длина дуги графика

Интеграл позволяет считать длину кривой, если кривая задана графиком .

Формула длины дуги

Если функция дифференцируема на , то длина дуги графика на этом отрезке равна

Что означает каждая часть:

— длина дуги

— производная функции (угловой коэффициент касательной, то есть «наклон»)

— квадрат наклона (чтобы вклад был неотрицательным)

— выражение из теоремы Пифагора при переходе от маленького отрезка по к маленькому отрезку длины

— превращает квадрат длины в длину

— маленький шаг по

Важно: чаще всего в таких задачах нужно уметь интегрировать выражения с корнями. Здесь помогают методы из предыдущих статей: подстановка и тригподстановки.

!Откуда берётся формула длины дуги через производную

Пример на длину дуги

Найдём длину дуги на .

Производная: .

Подставляем в формулу:

Этот интеграл уже не табличный «в один шаг»: обычно его берут подстановкой (например, сводят к виду ), что относится к техникам интегрирования из предыдущих тем. В рамках этой статьи важнее понимать: почему именно такое подкоренное выражение появляется и как правильно его составить.

Среднее значение функции на отрезке

Интеграл естественно описывает усреднение величины, которая меняется по .

Формула среднего значения

Среднее значение функции на равно

Объяснение частей:

— среднее (иногда пишут )

— «накопленная сумма» значений по отрезку

— длина отрезка (сколько «по » мы усредняем)

деление на превращает суммарный накопленный эффект в средний уровень

Полезная интерпретация: если представить, что — скорость, то — путь, а — средняя скорость (путь, делённый на время).

Пример на среднее значение

Пусть на . Тогда

первообразная для равна

значение интеграла:

Значит

Теорема о среднем значении для интегралов (смысл)

Если непрерывна на , то существует точка , такая что

Смысл: где-то на отрезке функция действительно принимает своё среднее значение.

Источник: Теорема о среднем для интегралов

Универсальный алгоритм решения прикладной задачи через интеграл

Сделайте рисунок и подпишите границы и .

Определите, что именно считается: площадь , объём , длина или среднее .

Запишите правильную «модельную» формулу для величины.

Упростите подынтегральное выражение (линейность, алгебраические преобразования).

Вычислите интеграл методами курса:

таблица и свойства

замена переменной

интегрирование по частям

разложение на простые дроби

тригподстановка

Проверьте результат здравым смыслом:

площади и длины не бывают отрицательными

объёмы не бывают отрицательными

среднее значение должно лежать между минимумом и максимумом функции на отрезке

Мини-итог

В этой статье вы связали техники интегрирования с прикладным смыслом определённого интеграла:

площадь под графиком и между графиками выражается через

объём тела вращения выражается через интеграл от площадей сечений (диски/кольца)

длина дуги графика задаётся интегралом

среднее значение функции — это интеграл, делённый на длину отрезка

Справка:

Определённый интеграл

Длина дуги

Объём тела вращения