Геометрия для 7 класса: основы планиметрии — углы, измерение и построение

Планиметрия: точки, прямые, лучи и отрезки

Зачем это нужно в курсе про углы

Почти все темы 7 класса по геометрии начинаются с простых объектов: точка, прямая, луч, отрезок. Углы строятся из двух лучей, измеряются между двумя направлениями и часто опираются на свойства пересекающихся прямых.

В этой статье мы разберём «алфавит» планиметрии — так, чтобы дальше было легко говорить про углы, измерение и построения.

Планиметрия и плоскость

Планиметрия изучает фигуры на плоскости.

Плоскость можно представить как идеально ровную бесконечную поверхность.

* В тетради плоскость «изображается» листом, но лист имеет края, а плоскость в геометрии — без края.

!Плоскость с отмеченными точками

Точка

Точка — самый простой объект геометрии. У точки нет длины, ширины и толщины, она задаёт только положение.

* Обычно точки обозначают заглавными латинскими буквами: A, B, C.

Как записывают

* «Точка A». * «Точки A и B».

Прямая

Прямая — бесконечная линия без толщины, которая не имеет ни начала, ни конца.

Обозначения прямой

В школьной геометрии используют несколько способов:

* Прямая, проходящая через точки A и B: . * Прямая с маленькой буквой: , , .

Важно: запись для прямой означает всю прямую, а не отрезок.

Точки на прямой и вне прямой

Если точка лежит на прямой, говорят: «точка принадлежит прямой».

* Если точки A, B, C лежат на одной прямой, их называют коллинеарными.

!Коллинеарные точки на прямой и точка вне прямой

Луч

Луч — часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца.

* Начало луча называют начальной точкой. * Луч задаёт направление.

Обозначение луча

Луч с началом в точке A и проходящий через точку B обозначают .

Буква A стоит первой, потому что это начало луча*. * Точка B помогает указать направление.

Отрезок

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя концами.

Обозначение отрезка

Отрезок с концами A и B обозначают .

Точки A и B — концы отрезка*.

Длина отрезка

У отрезка есть длина (её можно измерить линейкой).

* Длину отрезка часто записывают как .

Здесь важно различать:

| Запись | Что означает | |---|---| | | сам отрезок (фигура) | | | длина отрезка (число, например 5 см) |

Сравнение прямой, луча и отрезка

| Объект | Есть начало? | Есть конец? | Можно измерить длину линейкой? | |---|---:|---:|---:| | Прямая | нет | нет | нет | | Луч | да | нет | нет | | Отрезок | да | да | да |

Пересечение и общие точки

Пересечение прямых

Две прямые на плоскости могут:

* пересекаться в одной точке; * не пересекаться (быть параллельными).

Если две прямые пересекаются, то у них ровно одна общая точка — точка пересечения.

Параллельные прямые

Параллельные прямые — это прямые, которые не пересекаются.

* Параллельность обозначают так: .

Перпендикулярные прямые

Перпендикулярные прямые — это прямые, которые пересекаются под прямым углом.

* Перпендикулярность обозначают так: .

Мы подробно разберём углы (в том числе прямой угол) в следующих статьях, но уже сейчас важно понимать: перпендикулярность — это свойство двух прямых (или отрезков) на плоскости.

!Перпендикулярные прямые и отметка прямого угла

Как аккуратно строить на чертеже

Чтобы геометрия была понятной, полезно соблюдать простые правила:

* Точки ставьте маленькими, но заметными, и подписывайте рядом. * Прямые рисуйте ровно (линейкой), но помните, что на рисунке они ограничены краями листа. * Отрезки рисуйте как часть прямой между двумя точками. * Луч рисуйте как отрезок с одной начальной точкой и стрелкой в направлении продолжения.

Итоги

В планиметрии мы работаем на плоскости и используем базовые объекты:

* точка задаёт положение; * прямая бесконечна в обе стороны; * луч имеет начало и направление; * отрезок имеет два конца и измеримую длину.

Эти понятия понадобятся дальше, когда мы начнём изучать углы: угол будет строиться из двух лучей с общим началом, а многие задачи про измерение углов опираются на пересечение и взаимное расположение прямых.

Угол: определение, элементы и виды

Как это связано с предыдущей темой

В прошлой статье мы разобрали базовые объекты планиметрии: точку, прямую, луч и отрезок. Теперь это сразу пригодится:

угол строится из двух лучей с общим началом*; * чтобы описать угол, нужно уметь читать и записывать обозначения точек и лучей; * многие свойства углов появляются, когда прямые пересекаются.

Что такое угол

Угол — это фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки.

* Общая точка лучей называется вершиной угла. * Лучи называются сторонами угла.

!Угол как два луча с общей вершиной и его основные элементы

Элементы угла

У любого угла выделяют:

* вершину — общую точку двух лучей; * стороны — сами лучи; * внутреннюю область угла — часть плоскости между сторонами угла; * внешнюю область угла — остальная часть плоскости.

Важно: когда в задачах говорят «угол», обычно имеют в виду и фигуру, и величину поворота от одной стороны к другой (эту величину потом измеряют).

Как обозначают углы

Есть несколько распространённых способов.

Обозначение тремя буквами

Если вершина угла — точка , а на сторонах лежат точки и , то угол обозначают так: .

* Средняя буква — вершина. * Лучи и — стороны угла.

Читают: «угол АВС».

Обозначение одной буквой

Иногда угол обозначают одной буквой, например .

Так делают, когда:

* в точке рассматривают только один угол; * по рисунку не возникает путаницы.

Обозначение цифрой или маленькой дугой

На чертеже угол могут пометить дугой и поставить рядом число (например, 1) или подписать величину (например, ). Тогда говорят: «угол 1» или «угол ».

Величина угла и единицы измерения

Величина угла показывает, насколько нужно повернуть один луч вокруг вершины, чтобы совместить его с другим лучом.

В школе углы измеряют в градусах (обозначение: ).

* Полный оборот — . * Половина оборота (развёрнутый угол) — . * Четверть оборота (прямой угол) — .

Если хотите прочитать кратко про единицу измерения, можно посмотреть: Градус (угол)).

Виды углов по величине

Ниже — основные виды углов, которые постоянно встречаются в 7 классе.

!Примеры основных видов углов по величине

Нулевой угол

Нулевой угол — это угол, у которого стороны совпадают (лучи направлены одинаково).

* Его величина равна .

Острый угол

Острый угол — угол меньше прямого.

* Его величина больше , но меньше .

Прямой угол

Прямой угол — угол, равный четверти полного оборота.

* Его величина равна .

На чертежах прямой угол часто отмечают маленьким квадратиком у вершины.

Тупой угол

Тупой угол — угол больше прямого, но меньше развёрнутого.

* Его величина больше , но меньше .

Развёрнутый угол

Развёрнутый угол — угол, у которого стороны лежат на одной прямой и направлены в разные стороны.

* Его величина равна .

Важное уточнение про стороны угла

Так как стороны угла — это лучи, они:

* имеют общее начало (вершину); * задают направления; * не имеют «конца».

Поэтому величина угла не зависит от того, насколько далеко от вершины вы выбрали точки на его сторонах (хоть близко, хоть далеко — угол один и тот же).

Итоги

* Угол — фигура из двух лучей с общим началом. * Основные элементы: вершина, стороны, внутренняя и внешняя области. * Углы обозначают, например, , где B — вершина. * Величину угла измеряют в градусах: полный оборот , прямой угол , развёрнутый . * По величине углы бывают: нулевой, острый, прямой, тупой, развёрнутый.

Измерение углов: градусы и работа с транспортиром

Связь с предыдущими темами

В прошлых статьях мы ввели базовые объекты планиметрии (точки, прямые, лучи и отрезки) и разобрали, что угол — это фигура из двух лучей с общей вершиной.

Теперь переходим к практическому вопросу: как измерять величину угла и как аккуратно откладывать (строить) угол заданной величины с помощью транспортира.

Что значит «измерить угол»

Измерить угол — значит определить, сколько градусов составляет поворот от одной стороны угла к другой.

В школьной геометрии почти всегда используют градусы (обозначение: ):

* полный оборот — ; * развёрнутый угол (половина оборота) — ; * прямой угол (четверть оборота) — .

Эти числа важны как опорные: с ними удобно сравнивать любые углы.

Градусная мера и ориентиры на глаз

Перед измерением полезно прикинуть угол приблизительно:

* если угол меньше прямого (), он острый; * если больше , но меньше , он тупой; * если стороны лежат на одной прямой в разные стороны — это .

Такая оценка помогает заметить ошибку при чтении делений транспортира (например, если острый угол вдруг «получился» ).

Транспортир: что на нём важно

Транспортир — это инструмент с градусной шкалой для измерения и построения углов.

Обычно школьный транспортир — это полуокружность.

На нём есть:

* центр (отверстие или метка) — точка, которую совмещают с вершиной угла; * прямая кромка (основание) — по ней удобно совмещать одну сторону угла; * шкала делений от до .

Часто шкал две (внутренняя и внешняя), чтобы можно было отсчитывать градусы в обе стороны.

Для справки можно посмотреть статью: Транспортир.

!Основные элементы транспортира и две шкалы

Как измерить угол транспортиром

Пусть дан угол , где — вершина, а лучи и — стороны угла.

Пошаговый алгоритм измерения

Поставьте транспортир так, чтобы его центр точно совпал с вершиной угла (точкой ).

Совместите основание транспортира с одной стороной угла (например, с лучом ).

Найдите на шкале , который лежит на той стороне, с которой вы начали отсчёт.

Посмотрите, через какое деление проходит вторая сторона угла (луч ).

Запишите результат в градусах, например: .

Как не перепутать шкалы

У многих транспортиров две шкалы, и это главная причина ошибок.

Правило простое:

* отсчёт начинайте от того нуля, который находится на стороне угла, совмещённой с основанием.

Если вы совместили сторону угла с правой частью основания, то обычно удобнее читать шкалу, где справа стоит (но на разных транспортирах это может выглядеть по-разному — ориентируйтесь именно по «нулю на стороне угла»).

!Как выбрать правильную шкалу при измерении угла

Как построить (отложить) угол заданной величины

Иногда нужно не измерить готовый угол, а построить угол, например .

Пошаговый алгоритм построения

Проведите луч — это будет первая сторона угла (например, луч ).

Поставьте транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой (будущей вершиной).

Совместите основание транспортира с лучом так, чтобы на луче оказался выбранной шкалы.

Найдите на шкале деление и поставьте там небольшую точку (пусть это будет точка ).

Проведите луч через точку .

Получится угол .

Углы больше и что делать с полуокружностью

Полуокружность-транспортир позволяет напрямую работать с углами от до .

Если нужен угол больше (например, ), есть два распространённых подхода:

* использовать круговой транспортир (если он есть); * построить меньший «дополняющий» угол и учесть полный оборот.

Например, угол можно понимать как полный оборот минус :

.

Здесь:

* — величина полного оборота; * — угол, который проще отложить транспортиром; * разность даёт величину нужного большого угла.

На практике в 7 классе чаще всего измеряют и строят углы до , но понимать идею полезно.

Типичные ошибки и как их избежать

* Центр транспортира не в вершине угла: даже небольшой сдвиг даёт заметную ошибку. * Основание не совпадает со стороной угла: одна сторона должна лежать точно вдоль прямой кромки. * Перепутали шкалу: проверяйте, от какого нуля вы начали отсчёт. * Толстые линии и неточная отметка: ставьте тонкие линии и маленькие точки, иначе трудно читать деления.

Полезная привычка: сначала прикиньте вид угла (острый/тупой), а потом проверьте, совпадает ли измерение с ожиданием.

Итоги

* Углы измеряют в градусах (): — прямой, — развёрнутый, — полный оборот. * Для измерения угла транспортиром важно: центр в вершину, основание на одну сторону, чтение по правильной шкале. * Транспортиром можно не только измерять, но и строить углы заданной величины. * Ошибки чаще всего связаны с неверным совмещением и путаницей шкал.

Сравнение и сложение углов. Биссектриса угла

Как тема продолжает курс

Мы уже умеем:

* понимать, что угол образован двумя лучами с общей вершиной; * измерять углы в градусах с помощью транспортира; * строить угол заданной величины.

Теперь добавим три важных умения, которые постоянно нужны в задачах:

* сравнивать углы (какой больше, меньше или равен); * складывать углы (находить сумму и часть угла); * работать с биссектрисой угла (лучом, который делит угол пополам).

Сравнение углов

Что значит «один угол больше другого»

Интуитивно угол больше, если поворот от одной стороны к другой сильнее.

В школе сравнение углов делают двумя основными способами.

Способ сравнения через измерение

Измерьте первый угол транспортиром, получите число в градусах.

Измерьте второй угол.

Сравните числа.

Если, например, получилось и , то угол больше.

Способ сравнения наложением (без чисел)

Идея такая: если можно совместить вершины двух углов и одну сторону первого угла с одной стороной второго угла, то:

* если вторые стороны тоже совпали, то углы равны; если вторая сторона одного угла окажется внутри* другого, то этот угол меньше.

Этот способ важен как геометрический смысл «равных углов»: равные углы можно совместить наложением.

Равные углы

Равные углы — это углы одинаковой величины.

* Если угол и угол , то они равны.

Важно: равенство углов не зависит от длины сторон угла на рисунке (лучи можно взять длиннее или короче — угол тот же).

Сложение углов

Когда углы можно «сложить»

Сложение углов удобно рассматривать, когда у углов:

* общая вершина; * есть общая сторона; * второй угол «пристроен» к первому без наложения.

Типичная ситуация: из вершины выходят три луча , , , и луч находится внутри угла .

Тогда говорят, что большой угол состоит из двух углов: и .

!Схема, показывающая, как большой угол складывается из двух меньших

Правило сложения (в градусах)

Если луч лежит внутри угла , то меры углов складываются:

Здесь важно понимать каждый элемент записи:

* — большой угол с вершиной в точке ; * и — две части большого угла; * знак означает, что мы складываем величины углов, то есть числа в градусах.

Пример: если и , то

Вычитание углов как обратная операция

Если известен большой угол и одна часть, то вторую часть можно найти вычитанием:

Например, если , а , то

Смежные углы и их сумма

Что такое смежные углы

Смежные углы — это два угла, которые:

* имеют общую вершину; * имеют общую сторону; * две другие стороны являются противоположными лучами (то есть лежат на одной прямой в разные стороны).

В этом случае вместе они образуют развёрнутый угол.

Главное свойство смежных углов

Сумма смежных углов равна :

Почему именно :

* развёрнутый угол — это половина полного оборота; * полный оборот равен ; * половина от — это .

Пример: если один смежный угол равен , то второй равен .

Биссектриса угла

Определение

Биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол на два равных угла.

Если — биссектриса угла , то выполняется равенство:

То есть две части имеют одинаковую величину в градусах.

Термин «биссектриса» происходит от идеи разделить на две равные части.

Для справки: Биссектриса.

Как найти величины углов, если есть биссектриса

Если известна величина всего угла , то каждая половина равна половине этого числа.

Пример: если , а — биссектриса, то

* ; * .

Если известна одна половина, то весь угол в два раза больше.

Как построить биссектрису

Построение с помощью транспортира

Измерьте угол .

Разделите полученное число пополам.

Отложите от стороны угла половину величины и проведите луч из вершины.

Этот способ быстрый, но точность зависит от измерения и аккуратности.

Построение циркулем и линейкой (классическое)

Этот способ полезен тем, что не требует измерять градусы.

Поставьте иглу циркуля в вершину угла и проведите дугу, пересекающую стороны угла в точках и .

Не меняя (или примерно сохраняя) раствор циркуля, поставьте иглу в точку и проведите дугу внутри угла.

Тем же раствором поставьте иглу в точку и проведите дугу так, чтобы она пересеклась с предыдущей дугой в точке .

Проведите луч . Это и будет биссектриса.

!Построение биссектрисы циркулем и линейкой

Смысл построения: точки и расположены на одинаковом расстоянии от (потому что лежат на дуге с центром в ), а точка построена так, чтобы быть «одинаково связанной» с обеими сторонами угла. Поэтому луч делит угол на две равные части.

Итоги

* Сравнивать углы можно по градусной мере или наложением. * Если один луч делит угол на два, то мера большого угла равна сумме мер частей: . * Смежные углы в сумме дают . * Биссектриса — луч, который делит угол на два равных угла: . * Биссектрису можно построить транспортиром (через измерение) или циркулем и линейкой (без измерений).

Смежные и вертикальные углы: свойства и задачи

Как эта тема связана с предыдущими

Ранее мы научились:

* определять угол и его элементы (вершина и стороны); * измерять угол транспортиром; * складывать и вычитать углы; * понимать идею смежных углов и биссектрисы.

Теперь добавим ещё один очень важный «набор» углов, который появляется почти в каждой теме планиметрии: смежные и вертикальные углы при пересечении двух прямых. Их свойства позволяют решать задачи даже без транспортира.

Пересечение прямых и противоположные лучи

Когда две прямые пересекаются, они образуют четыре угла вокруг точки пересечения.

Полезное напоминание из темы про лучи:

* два луча с общим началом называются противоположными, если они лежат на одной прямой и направлены в разные стороны; * такие лучи вместе образуют развёрнутый угол, равный .

!Пересечение прямых образует четыре угла и пары противоположных (вертикальных) углов

Смежные углы

Определение

Смежные углы — это два угла, которые:

* имеют общую вершину; * имеют общую сторону; * две другие стороны являются противоположными лучами.

Иными словами, смежные углы «стоят рядом» и вместе образуют развёрнутый угол.

Для справки: Смежные углы (Википедия)

Главное свойство смежных углов

Сумма смежных углов равна .

Если углы и смежные, то:

Разберём, что означает каждая часть записи:

* и — величины двух углов в градусах; * знак означает сложение величин углов; * — величина развёрнутого угла.

Как находить неизвестный смежный угол

Если известен один смежный угол, то второй находится вычитанием из :

Здесь:

* — известный угол; * — «сколько не хватает до развёрнутого угла».

Пример: если , то .

Вертикальные углы

Определение

Вертикальные углы — это углы, которые получаются при пересечении двух прямых и лежат напротив друг друга.

Если две прямые пересекаются, то вертикальные углы образуют пары:

* верхний и нижний; * левый и правый.

Для справки: Вертикальные углы (Википедия)

Главное свойство вертикальных углов

Вертикальные углы равны.

Если и — вертикальные, то:

Почему вертикальные углы равны (короткое объяснение через смежные)

Рассмотрим пересечение прямых, где и — смежные, и и — тоже смежные.

Тогда по свойству смежных углов:

и

В обеих суммах справа стоит одно и то же число , и в обеих суммах присутствует один и тот же угол .

Значит, величины оставшихся углов равны:

Именно так связь «смежные дают » приводит к правилу «вертикальные равны».

Как быстро решать задачи на смежные и вертикальные углы

Алгоритм

* Найдите точку пересечения прямых (вершина всех четырёх углов). * Отметьте, какие углы вертикальные (напротив) — они равны. * Отметьте, какие углы смежные (рядом на одной прямой) — их сумма . * Если в задаче углы выражены через , составьте уравнение: * для вертикальных: «равны»; * для смежных: «в сумме ».

Типовые задачи

#### Задача 1 Один из углов при пересечении прямых равен . Найдите:

* вертикальный к нему угол; * два смежных с ним угла.

Решение по свойствам:

* вертикальный равен (вертикальные углы равны); * каждый смежный равен .

#### Задача 2 При пересечении прямых один угол равен , а вертикальный к нему — . Найдите .

Так как углы вертикальные, они равны:

Что означает эта запись:

* и — два выражения, которые дают величины углов в градусах; * равенство означает, что величины этих углов одинаковые.

Решаем уравнение словами:

* перенесём вправо: ; * прибавим к обеим частям: ; * разделим на : .

Частые ошибки

Путать вертикальные и смежные: вертикальные напротив, смежные рядом*. * Складывать вертикальные до : это неверно, относится именно к смежным. * Не проверять «на глаз» острый/тупой угол: если дан острый, то смежный обязан быть тупым.

Краткое резюме

| Пара углов | Как расположены | Главное свойство | |---|---|---| | Смежные | рядом, общая сторона, другие стороны — противоположные лучи | в сумме | | Вертикальные | напротив при пересечении прямых | равны |

Эти два свойства — один из главных инструментов для решения задач на углы в 7 классе: часто достаточно увидеть «напротив» или «в одной прямой», чтобы сразу составить равенство или сумму .

Углы при пересечении параллельных прямых секущей

Как эта тема продолжает курс

Раньше мы научились измерять углы транспортиром и решать задачи на смежные углы (в сумме ) и вертикальные углы (они равны). Теперь мы добавляем ещё один ключевой инструмент планиметрии: связи между углами, которые возникают, когда секущая пересекает параллельные прямые.

Эти свойства позволяют находить много углов без измерений, только по логике и нескольким правилам.

Параллельные прямые и секущая

Параллельные прямые

Параллельные прямые на плоскости — это прямые, которые не пересекаются.

Обозначение: .

Для справки можно посмотреть: Параллельные прямые.

Секущая

Секущая — это прямая, которая пересекает две другие прямые (в нашем случае — две параллельные).

Если секущая пересекает прямую в точке , а прямую в точке , то вокруг точек и образуется по 4 угла, всего 8 углов.

Для справки: Секущая.

!Схема параллельных прямых, секущей и восьми углов для дальнейших правил

Внутренние и внешние углы

Чтобы не путаться в названиях пар углов, полезно сначала разделить все углы на две группы.

Внутренние углы — те, которые лежат между* параллельными прямыми. Внешние углы — те, которые лежат вне* полосы между параллельными прямыми.

На схеме выше внутренними будут углы у верхнего пересечения, которые смотрят вниз, и у нижнего пересечения, которые смотрят вверх.

Главные пары углов при секущей

В задачах чаще всего используются три типа пар: соответственные, накрест лежащие, односторонние.

Соответственные углы

Соответственные углы — это углы, которые занимают одинаковое положение относительно секущей и каждой параллельной прямой.

На схеме типичные пары:

* и * и * и * и

Для справки: Соответственные углы.

Накрест лежащие углы

Накрест лежащие углы — это углы, которые:

лежат по разные стороны* от секущей; * при этом оба либо внутренние, либо внешние.

Примеры накрест лежащих внутренних пар:

* и * и

Примеры накрест лежащих внешних пар:

* и * и

Для справки: Накрест лежащие углы.

Односторонние внутренние углы

Односторонние внутренние углы — это углы, которые:

лежат по одну сторону* от секущей; * и оба являются внутренними.

Примеры пар:

* и * и

Для справки: Односторонние углы.

Свойства углов, если прямые параллельны

Дальше главная идея такая: если и секущая их пересекает, то между углами возникают строгие равенства и суммы.

Свойство соответствственных углов

Если , то соответственные углы равны.

Например:

Что означает эта запись:

* — величина первого угла (число в градусах); * — величина соответствственного ему угла; * знак означает, что эти величины одинаковые.

Свойство накрест лежащих углов

Если , то накрест лежащие углы равны.

Например, для накрест лежащих внутренних:

Здесь и :

* лежат между параллельными прямыми; * находятся по разные стороны секущей; * поэтому при параллельности прямых их меры равны.

Свойство односторонних внутренних углов

Если , то сумма односторонних внутренних углов равна .

Например:

Объяснение элементов формулы:

* и — величины двух внутренних углов по одну сторону секущей; * знак означает сложение величин углов; * — величина развёрнутого угла, которую мы уже использовали в теме про смежные углы.

Важно: в отличие от вертикальных и накрест лежащих, односторонние внутренние углы обычно не равны, а именно дополняют друг друга до .

Обратные признаки параллельности (очень полезны в задачах)

Иногда в задаче не говорят, что прямые параллельны. Тогда параллельность можно доказать по углам.

Если секущая пересекает две прямые, то эти прямые параллельны, если выполняется хотя бы одно из условий:

* соответствственные углы равны; * накрест лежащие углы равны; * сумма односторонних внутренних углов равна .

В школьных задачах это часто записывают коротко, например:

Здесь символ читают как следовательно.

Как решать задачи: практический алгоритм

В задачах обычно нужно найти угол, зная один или два других.

Удобный порядок действий:

Отметьте на рисунке известный угол и подпишите его величину.

В той же точке пересечения сразу найдите:

* вертикальный угол (он равен известному); * смежный угол (он равен минус известный).

Перенесите информацию на вторую точку пересечения, используя параллельность:

* соответствственные равны; * накрест лежащие равны; * односторонние внутренние дают сумму .

Если появилось выражение с неизвестным (например, ), составьте уравнение по равенству или по сумме .

Разбор типовых примеров

Пример с нахождением угла по равенству

Даны . Один из углов при верхнем пересечении равен и это угол . Найдём .

Решение:

и — соответствственные.

При параллельных прямых соответствственные углы равны.

Значит:

Пример с суммой

Даны . Угол . Найдём угол .

Решение:

и — односторонние внутренние.

При параллельных прямых их сумма равна .

То есть:

Подставляем и находим, сколько не хватает до :

Частые ошибки

Путать, какие углы называются внутренними: внутренние всегда между* параллельными прямыми. Считать, что односторонние внутренние углы равны: они обычно не равны, а дают сумму *. * Использовать правило накрест лежащих, когда углы лежат по одну сторону секущей: тогда это уже не накрест лежащие.

Итоги

* Секущая, пересекающая две параллельные прямые, образует пары углов с особыми свойствами. * Если , то: * соответствственные углы равны; * накрест лежащие углы равны; * сумма односторонних внутренних углов равна . * Эти свойства работают вместе со смежными и вертикальными углами и дают основной набор приёмов для решения задач на углы в 7 классе.

Построение углов: транспортир, циркуль и линейка

Зачем уметь строить углы, а не только измерять

В предыдущих статьях курса мы научились:

* понимать, что угол образован двумя лучами с общей вершиной; * измерять углы в градусах транспортиром; * использовать сложение углов, смежные и вертикальные углы, а также углы при параллельных прямых.

Теперь важный практический шаг: построение углов. Это умение нужно, чтобы:

* аккуратно выполнять чертежи к задачам; * строить лучи под заданным углом; * делить угол пополам (через биссектрису) и переносить угол на другое место; * получать нужные углы без измерений, опираясь на свойства фигур.

Инструменты и правила аккуратного чертежа

В школьной геометрии чаще всего используют три инструмента.

* Линейка нужна, чтобы проводить прямые линии. * Транспортир нужен, чтобы откладывать угол заданной градусной меры. * Циркуль нужен, чтобы откладывать равные расстояния и строить дуги и окружности.

Полезные справочные страницы:

* Транспортир * Циркуль * Линейка

Базовые правила точности

Ошибки в построениях чаще всего появляются из-за мелочей, поэтому полезно придерживаться правил.

* Проводите линии тонко (карандашом), точки ставьте маленькими. * Центр транспортира совмещайте с вершиной угла максимально точно. * Перед тем как провести луч, убедитесь, что он проходит через отмеченную точку. * При работе циркулем старайтесь не менять раствор циркуля, если по шагам он должен оставаться одинаковым.

Построение угла заданной величины транспортиром

Это самый прямой и быстрый способ: мы сразу откладываем нужное число градусов.

Что именно мы строим

Напомним смысл: угол строится из двух лучей с общим началом.

* Начальная точка лучей будет вершиной угла. * Один луч рисуем сразу, второй получаем по отметке на транспортире.

Алгоритм построения угла

Пусть нужно построить угол величиной с вершиной в точке .

Проведите луч : это первая сторона будущего угла.

Приложите транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой .

Совместите прямую кромку транспортира с лучом .

Найдите на шкале деление и поставьте маленькую точку на этом делении.

Проведите луч .

Тогда угол между лучами и будет равен .

!Как откладывать угол транспортиром: центр в вершине, основание на стороне, отметка на нужном делении

Как не перепутать две шкалы на транспортире

У многих транспортиров две шкалы, и показания у них разные.

Главное правило:

* отсчёт ведите от того нуля, который лежит на стороне угла, совмещённой с основанием.

Проверка здравым смыслом:

* если вы строите острый угол (меньше ), он не должен получиться тупым; * если строите угол около , он должен быть почти развёрнутым.

Построения циркулем и линейкой без измерения градусов

Построения циркулем и линейкой ценны тем, что не требуют шкалы градусов. В них используются идеи равных расстояний и симметрии.

Что означает "циркуль и линейка"

В геометрических построениях линейка рассматривается как инструмент, который:

* проводит прямую через две точки; * не используется для измерения длины по делениям.

Циркуль используется для:

* построения окружностей и дуг; * переноса расстояния (одинаковый раствор циркуля даёт одинаковую длину).

Как перенести (скопировать) угол циркулем и линейкой

Задача: дан угол . Нужно построить равный ему угол с вершиной в новой точке .

Идея: мы переносим "форму" угла с помощью дуг.

Поставьте иглу циркуля в вершину и проведите дугу, которая пересечёт стороны угла в точках и .

Не меняя раствор циркуля, поставьте иглу в точку и проведите дугу, пересекающую заранее проведённый луч в точке .

* Здесь луч можно выбрать любым и провести заранее: он будет первой стороной нового угла.

Теперь измерьте циркулем расстояние .

* Для этого поставьте иглу в и раздвиньте циркуль до точки .

С тем же раствором (равным ) поставьте иглу в точку и сделайте отметку пересечения с дугой из шага 2. Обозначьте эту точку .

Проведите луч .

Получившийся угол при вершине будет равен исходному углу .

!Перенос угла циркулем и линейкой: одинаковая дуга и одинаковая хорда дают равный угол

Почему это работает (простыми словами)

Дуга с центром в вершине пересекает стороны угла на одинаковом расстоянии от вершины. Если на новом месте построить такую же дугу и отложить на ней такое же расстояние между точками пересечения, то "раскрытие" угла получится таким же.

Построение биссектрисы как частный случай построений

Мы уже разбирали биссектрису как луч, делящий угол на два равных угла. Здесь важно увидеть, что её можно строить без транспортира.

Пусть дан угол с вершиной .

С центром в точке проведите дугу, пересекающую стороны угла в точках и .

С центрами в точках и одним и тем же раствором циркуля проведите две дуги внутри угла так, чтобы они пересеклись в точке .

Проведите луч .

Луч и будет биссектрисой: он делит угол на две равные части.

Важно понимать, что это построение опирается на идею "одинаково далеко от двух сторон", а не на измерение градусов.

Построение некоторых "опорных" углов без транспортира

Иногда удобно уметь получать углы через известные фигуры. Это помогает и в задачах, и в построениях.

Как построить прямой угол

Прямой угол возникает, когда прямая перпендикулярна другой.

Один из способов построения перпендикуляра к прямой в точке :

Проведите прямую и отметьте на ней точку .

С центром в проведите окружность (или дугу), пересекающую прямую в двух точках и .

С центрами в и одним и тем же раствором циркуля проведите дуги, пересекающиеся в точке по одну сторону от прямой.

Проведите прямую .

Прямая будет перпендикулярна прямой , а значит, в точке получаются углы по .

Как построить угол через равносторонний треугольник

Если все стороны треугольника равны, то он равносторонний, и каждый его угол равен .

Построение:

Проведите отрезок .

С центром в проведите окружность радиуса .

С центром в проведите окружность радиуса .

Обозначьте одну из точек пересечения окружностей как .

Соедините с и с .

Тогда треугольник равносторонний, и угол равен .

!Равносторонний треугольник как способ получить угол 60° без транспортира

Как получить , , из опорных углов

Дальше можно использовать уже знакомые операции с углами.

* можно получить, если построить и провести биссектрису этого угла (деление пополам). * можно получить как смежный к (так как сумма смежных углов ). * можно получить как смежный к .

Здесь используется свойство смежных углов: если один угол , то смежный равен .

Важно: запись означает "величина развёрнутого угла минус величина известного угла ".

Как выбрать способ построения в задаче

Ниже удобная памятка.

| Что требуется | Чем удобнее делать | Почему | |---|---|---| | Построить угол точной градусной меры (например, ) | транспортир | сразу откладываем число градусов | | Перенести угол без измерения | циркуль и линейка | не нужна шкала, важна форма угла | | Разделить угол пополам | циркуль и линейка | биссектриса строится точно | | Построить , и производные | циркуль и линейка | строим через фигуры и свойства |

Итоги

* Транспортир удобен для построения углов заданной градусной меры: главное точно совместить центр с вершиной и правильно выбрать шкалу. * Циркуль и линейка позволяют: * переносить угол без измерения градусов; * строить биссектрису; * получать опорные углы (, ) через стандартные построения. * Многие углы можно получать не измерением, а через свойства: смежные углы дают , биссектриса делит угол пополам.