Математика 10–11 класс: Алгебра и начала анализа, геометрия

Функции и графики: преобразования и свойства

Зачем изучать преобразования графиков

В 10–11 классе функции встречаются почти в каждой теме: уравнения и неравенства, производная, тригонометрия, показательные и логарифмические выражения. Умение быстро понимать, как меняется график при изменении формулы, позволяет:

быстро строить графики без таблиц значений

находить область определения и множество значений

решать уравнения вида по графику

решать неравенства вида по графику

В этой статье мы разберём основные свойства функций и типовые преобразования графиков.

> График функции — наглядный способ понять её поведение: где растёт, где убывает, какие значения принимает.

Для справки можно использовать определения из источников: Функция и График функции.

Базовые понятия: функция и её график

Что такое функция

Функция — это правило, которое каждому допустимому значению ставит в соответствие ровно одно значение .

— аргумент (вход функции)

— значение функции (выход), часто пишут

Область определения и множество значений

Область определения — все значения , при которых выражение имеет смысл.

Множество значений — все значения , которые реально получаются при допустимых .

Примеры типовых ограничений:

В дроби нельзя делить на ноль: если , то .

Под корнем чётной степени нельзя иметь отрицательное: если , то , то есть .

Что такое график функции

График функции — это множество всех точек плоскости с координатами , где пробегает область определения.

!Пример графика функции как множества точек (x; f(x))

Ключевые свойства функций (как читать график)

Нули функции и знак функции

Нули функции — это значения , при которых . На графике это точки пересечения с осью .

Знак функции:

- если график выше оси , то - если ниже оси , то

Это напрямую связывает графики с решением неравенств.

Промежутки возрастания и убывания

Функция возрастает на промежутке, если при увеличении значения увеличиваются.

Функция убывает на промежутке, если при увеличении значения уменьшаются.

На графике:

возрастание — линия идёт вверх вправо

убывание — линия идёт вниз вправо

Чётность и нечётность (симметрии)

Пусть функция определена при и при .

Чётная функция: .

- График симметричен относительно оси . - Пример: .

Нечётная функция: .

- График симметричен относительно начала координат. - Пример: .

Важно понимать смысл записей:

В равенстве символ означает: в функцию подставили противоположный аргумент.

В равенстве справа минус означает: значение функции поменяли на противоположное.

Периодичность

Функция периодична, если существует число такое, что для всех допустимых выполнено .

называют периодом.

Примеры: и имеют период .

Ограниченность

Функция ограничена сверху, если её значения не превышают некоторого числа.

Ограничена снизу, если её значения не опускаются ниже некоторого числа.

Например, для всегда выполняется .

Преобразования графиков: главный инструмент

Далее рассматриваем базовую функцию и новые функции, получающиеся изменением формулы. Почти все преобразования удобно понимать как сдвиг, растяжение/сжатие и отражение.

Вертикальный сдвиг:

Если к значению функции прибавить число , то график поднимется (если ) или опустится (если ) на единиц.

— вверх на 3

— вниз на 2

Здесь меняются значения , но область определения обычно не меняется.

Горизонтальный сдвиг:

Замена аргумента на сдвигает график по оси :

— вправо на 2

— влево на 5

Это частая ошибка: знак внутри скобок работает наоборот направления сдвига.

Растяжение и сжатие по вертикали:

Если умножить значение функции на число , то все ординаты (координаты ) умножаются на .

при — вертикальное растяжение

при — вертикальное сжатие

при добавляется отражение относительно оси

Например, : растянули в 2 раза по вертикали и отразили относительно .

Растяжение и сжатие по горизонтали:

Здесь меняется аргумент. Чтобы получить то же значение , нужно взять другой , поэтому график «сжимается» или «растягивается» по оси :

если , то — сжатие по оси в раз

если , то — растяжение по оси в раз

если , добавляется отражение относительно оси

Пример: — график сжался к оси в 2 раза.

Отражения

Отражение относительно оси : .

- Каждая точка переходит в .

Отражение относительно оси : .

- Каждая точка переходит в .

Эти правила удобно помнить именно в терминах координат точек.

Модуль: и

С модулем возникают два разных эффекта.

:

- часть графика, которая была ниже оси , отражается вверх - часть выше оси остаётся на месте

:

- правая половина графика (при ) копируется влево симметрично относительно - левая «заменяется» отражением правой

Определение модуля: — это число , если , и число , если . Подробно: Модуль (математика)).

Как быстро строить графики сложных функций

Рабочая стратегия: построить «базовый» график и применить преобразования по очереди.

Удобный порядок действий:

Выберите базовую функцию, график которой вы знаете (например, , , , ).

Выделите преобразования:

- что происходит внутри аргумента (сдвиги и масштабирование по ) - что происходит снаружи (сдвиги и масштабирование по )

Применяйте их по одному, каждый раз понимая, как меняется график.

В конце проверьте:

- область определения - пересечения с осями (если существуют) - характерные точки (вершина, асимптоты, максимум/минимум, период)

Пример: парабола с преобразованиями

Рассмотрим .

базовая функция: (парабола, вершина в )

означает сдвиг вправо на 2

означает сдвиг вверх на 3

Итог: вершина переедет из в , форма останется той же.

!Сдвиг параболы вправо и вверх

Пример: тригонометрическая функция

Рассмотрим .

базовая функция:

— сдвиг вправо на

множитель 2 — растяжение по вертикали в 2 раза (амплитуда становится 2)

Это полезно, когда нужно быстро представить график и по нему решать уравнения/неравенства.

Типичные ошибки и как их избегать

Путать и :

- двигает вверх/вниз - двигает влево/вправо

Неправильно определять направление горизонтального сдвига:

- — вправо на 2 - — влево на 2

Смешивать отражения:

- — отражение относительно - — отражение относительно

Забывать про область определения после преобразований:

- например, в обязательно нужно учитывать

Что важно запомнить

График — это множество точек .

Внутренние изменения () отвечают за преобразования по оси .

Внешние изменения (, ) отвечают за преобразования по оси .

Симметрии задаются формулами и .

Модуль даёт особые «склейки»: поднимает отрицательную часть вверх, а делает график симметричным относительно .

Тригонометрия: формулы, уравнения и неравенства

Зачем нужна тригонометрия в 10–11 классе

Тригонометрия связывает геометрию (углы и треугольники) и алгебру (функции, уравнения и неравенства). В заданиях 10–11 класса тригонометрия встречается:

в исследовании свойств функций (периодичность, чётность/нечётность)

в построении графиков и чтении графика

в решении уравнений и неравенств

Связь с предыдущей темой курса про преобразования графиков прямая: , , — это функции, а значит, к ним применимы те же сдвиги, растяжения и отражения, которые мы уже обсуждали.

Для справки: Тригонометрические функции.

Угол: градусы и радианы

В школьной тригонометрии углы часто измеряют в радианах.

Полный оборот — это и одновременно радиан.

Половина оборота — и радиан.

Связь между градусами и радианами:

Здесь:

— величина развёрнутого угла в градусах

— число (примерно ), соответствующее этому углу в радианах

Отсюда удобно переводить:

Единичная окружность: главный способ понимать тригонометрию

Единичная окружность — это окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Если отложить угол от положительного направления оси , то луч пересечёт единичную окружность в точке .

Ключевой факт:

— это абсцисса точки (координата точки)

— это ордината точки (координата точки)

То есть точка имеет координаты:

Здесь — угол (обычно в радианах), а и — числа от до .

!Единичная окружность, показывающая смысл sin и cos как координат точки

Определения , , , и области определения

Синус и косинус

Функции и определены при всех действительных .

область определения: все

множество значений: и

Тангенс и котангенс

Тангенс и котангенс удобно выражать через синус и косинус:

Здесь:

и — значения синуса и косинуса угла

дробь имеет смысл, только если знаменатель не равен нулю

Отсюда ограничения:

не определён, когда (например, при )

не определён, когда (например, при )

В этих формулах — любое целое число, то есть . Это нужно, чтобы описывать все такие углы сразу.

Важные свойства тригонометрических функций

Периодичность

и имеют период , то есть

и имеют период , то есть

Чётность и нечётность

— чётная функция:

— нечётная функция:

Это согласуется с симметриями графиков, которые мы обсуждали в теме про функции и графики.

Знаки в четвертях

По единичной окружности легко запомнить:

в I четверти (): ,

во II: ,

в III: ,

в IV: ,

Отсюда знак тоже определяется быстро.

Графики , , и преобразования

Базовые графики

— волна с амплитудой 1 и периодом

— такая же волна, но сдвинутая относительно

— функция с периодом и вертикальными асимптотами

!Базовые графики sin, cos и tan и их ключевые особенности

Универсальная форма преобразований

Для тригонометрии часто встречается вид:

Здесь:

отвечает за вертикальное растяжение/сжатие и возможное отражение относительно

- амплитуда равна

меняет период (масштаб по оси )

- период синуса и косинуса становится

задаёт горизонтальный сдвиг вправо на (если записано )

задаёт вертикальный сдвиг вверх на

Это ровно те же преобразования , , , , которые мы изучали в статье про функции и графики.

Основные тригонометрические тождества

Тождество — равенство, верное при всех допустимых .

Основное тригонометрическое тождество

Здесь означает , а означает .

Смысл: точка лежит на единичной окружности, а у окружности уравнение .

Связь с тангенсом

Если , можно разделить основное тождество на :

Аналогично, если , делят на и получают формулу с :

Здесь важно помнить: эти преобразования нельзя делать в точках, где делим на ноль.

Формулы сложения

Здесь:

и — углы

справа стоят произведения значений синуса и косинуса этих углов

Эти формулы позволяют раскрывать выражения, где аргумент — сумма.

Формулы двойного угла

Они следуют из формул сложения при .

Также полезны варианты для через одно выражение:

Здесь означает угол, вдвое больший, чем .

Как решать тригонометрические уравнения

Общий принцип: свести уравнение к базовому виду и учесть периодичность.

Базовые уравнения для синуса и косинуса

#### Уравнение

Если , решений нет, потому что не выходит за отрезок .

Если , то решения можно описывать как два семейства:

Здесь:

— угол, синус которого равен (берут главное значение)

добавляют из-за периода

второе решение отражает симметрию синуса на окружности

#### Уравнение

Если , то:

Здесь — угол, косинус которого равен .

Базовое уравнение для тангенса

Если решаем , то из периода получаем одно семейство:

Здесь — угол, тангенс которого равен .

Как сводить уравнения к базовым

Типовые приёмы:

использовать тождества (например, )

выносить общий множитель и применять правило нуля произведения

приводить всё к одному тригонометрическому выражению

Пример с правилом нуля произведения:

По формуле двойного угла это то же самое, что , но можно решить и напрямую:

либо , тогда

либо , тогда

Здесь .

Как решать тригонометрические неравенства

С неравенствами обычно работают двумя способами:

по единичной окружности (особенно для и )

по графику и периодичности (особенно если есть преобразования вида )

Алгоритм для неравенств вида или

Проверьте, достижимо ли значение .

- если для синуса или косинуса, то решений нет - если для , то решения будут при всех

Найдите на окружности углы, где функция равна .

Определите дуги, где функция больше или меньше .

Добавьте периодичность.

Пример-идея: для на окружности отмечают углы, где , то есть и в одном периоде, и берут дугу сверху между ними, затем прибавляют .

Неравенства с тангенсом

С нужно помнить про разрывы: точки вида не входят в область определения. Поэтому на числовой прямой решение обычно получается по интервалам между асимптотами.

!Решение неравенства с tan через интервалы между асимптотами

Типичные ошибки

Путать период:

- у и период - у период

Забывать про область определения при и .

Терять решения при делении на выражение, которое может быть нулём.

Неправильно переносить решения на все периоды (нужно добавлять или в зависимости от функции).

Ошибаться в сдвигах графика: в сдвиг вправо на (как и в общей теме про преобразования графиков).

Что важно запомнить

и удобно понимать через координаты точки на единичной окружности.

Периодичность задаёт добавки (для и ) и (для ).

Основное тождество — фундамент для преобразований.

Уравнения решают сведением к базовым видам , , .

Неравенства решают по окружности или по графику, обязательно учитывая период и область определения.

Производная: правила, исследования и прикладные задачи

Как эта тема связана с предыдущими статьями

В теме функций и графиков мы учились читать график: где функция растёт, убывает, где пересекает оси, как меняется при сдвигах и растяжениях. В теме тригонометрии мы рассматривали функции , , и решали уравнения и неравенства.

Производная объединяет эти идеи: она даёт точный числовой способ описывать поведение функции по графику и по формуле.

По производной определяют, где функция растёт или убывает.

По производной находят точки максимума и минимума.

Производная помогает решать прикладные задачи на скорость, оптимизацию, наибольшее и наименьшее значения.

Для справки: Производная.

Интуитивный смысл производной

Геометрический смысл

Возьмём график и точку на нём при . Проведём через эту точку касательную.

Производная в точке — это угловой коэффициент касательной к графику в этой точке.

То есть производная показывает, насколько резко наклонён график:

— касательная наклонена вверх вправо, функция вблизи растёт

— касательная наклонена вниз вправо, функция вблизи убывает

— касательная горизонтальна, часто это признак экстремума (но не всегда)

!Иллюстрация: касательная как предел секущих и смысл f'(x0) как наклона

Физический смысл

Если — путь (в метрах), пройденный телом к моменту времени (в секундах), то производная — это мгновенная скорость (в м/с) в момент .

Идея такая:

Средняя скорость на промежутке времени равна отношению прироста пути к приросту времени.

Мгновенная скорость получается, когда становится очень маленьким.

Определение производной через предел

Пусть функция задана формулой . Рассмотрим число

Разберём, что означает каждый элемент:

— точка, в которой ищем производную

— маленькое приращение аргумента (на сколько сдвинулись по оси )

— значение функции в точке

— значение функции в точке, сдвинутой на

— приращение функции (на сколько изменился )

деление на даёт средний прирост на единицу прироста (наклон секущей)

Производной называется предел этой дроби при , если он существует:

Здесь запись означает: мы рассматриваем значения дроби при всё меньших и меньших .

Обозначения производной:

— производная функции

— производная функции

— производная по (эта запись особенно удобна в задачах)

Таблица производных и правила дифференцирования

На практике производные чаще находят не по определению, а по правилам.

Базовые производные

| Функция | Производная | Что означает | |---|---|---| | (константа) | | график горизонтален | | | | наклон прямой | | (где — целое) | | степенное правило | | | | связь с тригонометрией | | | | минус важен |

Замечание про :

— показатель степени

означает: умножили на показатель и уменьшили степень на 1

Правила

Пусть и — дифференцируемые функции.

Производная суммы:

Производная разности:

Производная произведения:

Здесь важно: производная произведения не равна произведению производных.

Производная частного (если ):

Разбор формулы:

в числителе разность двух произведений

знаменатель всегда неотрицателен, но важно помнить условие

Правило цепочки (производная сложной функции)

Если и , то и

Смысл:

— производная внешней функции, но вместо аргумента подставили

— производная внутренней функции

Это правило напрямую связано с темой преобразований графиков: замена на выражение меняет график по оси , а цепочка показывает, как при этом меняется скорость изменения.

Мини-пример на тригонометрии

Пусть .

внешняя функция: , тогда

внутренняя функция: , тогда

По правилу цепочки:

Здесь число появляется именно из производной внутренней функции .

Производная и исследование функции по графику

Возрастание и убывание

Главный критерий:

если на промежутке , то функция возрастает на этом промежутке

если на промежутке , то функция убывает на этом промежутке

Это делает связь с первой статьёй очень прямой: то, что мы раньше видели на глаз по графику, теперь можно доказать вычислением производной.

Критические точки

Точки , в которых возможен максимум или минимум, часто ищут среди критических точек.

Критические точки — это такие , где:

, или

не существует, но сама функция существует

После нахождения критических точек область определения разбивают на интервалы и анализируют знак .

Экстремумы: максимум и минимум

Если при переходе через точку знак производной меняется, то в есть экстремум:

было , стало — максимум

было , стало — минимум

Говоря языком графика: максимум — это вершина горба, минимум — вершина впадины.

!Две картинки в одной: f(x) и f'(x), показывающие связь нулей производной с экстремумами

Касательная и уравнение касательной

Если известна производная в точке, можно записать уравнение касательной.

Пусть:

— точка касания

— значение функции в этой точке

— наклон касательной

Тогда уравнение касательной:

Разбор:

— насколько мы поднялись или опустились относительно точки касания

— насколько ушли вправо или влево от точки касания

множитель переводит горизонтальный сдвиг в вертикальный, согласно наклону

Это уравнение особенно полезно в задачах на приближение значений функции около точки.

Прикладные задачи: как производная помогает находить оптимум

Во многих задачах нужно найти наибольшее или наименьшее значение величины. Общая схема обычно такая.

Универсальный алгоритм оптимизации

Ввести переменную и выразить через неё искомую величину как функцию .

Выписать область допустимых значений .

Найти производную .

Решить уравнение и найти критические точки (с учётом области допустимых значений).

Сравнить значения :

1. в критических точках внутри области 2. на концах промежутка, если область ограничена

Сделать вывод, где достигается максимум или минимум.

Важно: если область допустимых значений — отрезок, то ответ может быть на конце отрезка, даже если производная там не равна нулю.

Пример-тип задачи без громоздких вычислений

Нужно максимизировать площадь прямоугольника при фиксированном периметре. Если периметр равен , то при сторонах и :

периметр: , значит

площадь:

Дальше:

находят

решают

получают оптимум при , то есть максимальная площадь при квадрате

Смысл результата понятен и геометрически, но производная даёт строгий метод, который работает и там, где интуиция не помогает.

Типичные ошибки

Пытаться применять формулы производных, не учитывая область определения исходной функции.

Забывать правило цепочки: например, путать производную с .

Считать, что из обязательно следует максимум или минимум. Это только кандидат.

В задачах на наибольшее и наименьшее значение на отрезке проверять только точки и забывать про концы отрезка.

Что важно запомнить

Производная описывает скорость изменения функции и наклон касательной.

Знак определяет возрастание и убывание.

Нули производной и точки, где она не существует, дают кандидатов на экстремумы.

Уравнение касательной: .

Для тригонометрических функций важны производные и и правило цепочки.

Интеграл и первообразная: площади и простые приложения

Как эта тема связана с предыдущими статьями

Раньше мы изучали функции и их графики, решали тригонометрические уравнения и неравенства, а затем ввели производную как инструмент для исследования поведения функции.

Интеграл — это естественное продолжение темы производной:

производная отвечает на вопрос как быстро меняется величина сейчас;

интеграл отвечает на вопрос сколько накопилось за промежуток.

Пример связи:

если — скорость, то интеграл от по времени даёт путь;

если — график, то определённый интеграл помогает находить площади под графиком.

Для справки можно посмотреть определения: Интеграл, Первообразная.

Первообразная: обратная идея к производной

Определение первообразной

Функция называется первообразной для функции на некотором промежутке, если для всех из этого промежутка выполняется равенство:

Разберём обозначения:

— функция, которую мы ищем;

— её производная (как в теме про производную);

— заданная функция.

То есть первообразная — это функция, производная которой равна исходной.

Почему первообразных бесконечно много

Если — первообразная для , то функция тоже будет первообразной для .

Здесь — любое число (константа). Это верно, потому что производная константы равна нулю, значит:

Именно поэтому ответ при нахождении первообразной всегда содержит плюс константа.

Неопределённый интеграл

Что означает запись

Неопределённым интегралом называют множество всех первообразных функции . Это записывают так:

Пояснение символов:

знак читают как интеграл;

— подынтегральная функция;

означает, что интегрирование идёт по переменной ;

— одна из первообразных;

— произвольная константа.

Важно понимать смысл: запись не даёт одно число, а задаёт семейство функций.

Базовые правила (без доказательств)

Если — число, а и имеют первообразные, то:

- -

Эти правила похожи на правила производной суммы и умножения на число.

Таблица простых интегралов

В школьных задачах чаще всего достаточно нескольких базовых формул.

| Подынтегральная функция | Неопределённый интеграл | |---|---| | | | | (где ) | | | | | | | |

Пояснение к формуле со степенью:

— показатель степени;

— новый показатель степени после интегрирования;

деление на компенсирует то, что при дифференцировании появляется множитель .

Отдельный важный случай, который обычно учат отдельно:

Здесь:

— функция, не определённая при ;

— натуральный логарифм модуля ;

модуль нужен, чтобы выражение работало и при отрицательных .

Определённый интеграл как площадь

Идея через разбиение и суммы

Пусть дан график функции и отрезок по оси от до , где . Если на этом промежутке , то площадь фигуры под графиком можно понять так:

Разобьём отрезок на много маленьких частей.

На каждой части возьмём прямоугольник ширины .

Высоту прямоугольника возьмём примерно равной значению функции на этой части.

Сложим площади прямоугольников.

Чем мельче разбиение, тем точнее сумма приближает истинную площадь.

Предел таких сумм и приводит к определённому интегралу.

!Площадь под графиком как предел сумм площадей прямоугольников

Определение и запись

Определённый интеграл записывают так:

Здесь:

— нижний предел интегрирования (левая граница по );

— верхний предел интегрирования (правая граница по );

— функция;

— переменная интегрирования.

Геометрический смысл в простейшем случае:

если на выполняется , то равен площади под графиком.

Если функция где-то отрицательна, интеграл считает ориентированную площадь:

участки выше оси дают вклад со знаком плюс;

участки ниже оси — со знаком минус.

Поэтому, когда в задаче прямо сказано найдите площадь, нужно аккуратно учитывать знак функции.

Связь определённого интеграла и первообразной

Ключевая связь между производной и интегралом выражается формулой Ньютона–Лейбница (частный вид основной теоремы анализа).

Если — первообразная для , то:

Пояснение:

— значение первообразной в правой границе;

— значение первообразной в левой границе;

разность даёт число, равное определённому интегралу.

Эта формула превращает задачу про площадь или накопление в задачу на нахождение первообразной.

Как решать типовые задачи

Вычисление определённого интеграла

Алгоритм:

Найти первообразную для функции .

Подставить пределы: вычислить .

Пример структуры вычисления без перегрузки:

если нужно найти ,

то первообразная для равна , потому что ,

значит ответ равен .

Здесь число — это ориентированная площадь под графиком на отрезке .

Площадь фигуры между графиком и осью

Если на отрезке функция неотрицательна, площадь равна:

Если функция меняет знак, то площадь фигуры как геометрическая величина чаще всего ищут так:

разбивают отрезок на части, где знак постоянен;

на участках, где , берут интеграл с минусом, чтобы площадь стала положительной.

Площадь между двумя графиками

Если на отрезке выполняется , то площадь области между графиками равна:

Смысл формулы простой: на каждом расстояние по вертикали между графиками равно , а интеграл суммирует эти расстояния по всему отрезку.

Простые приложения интеграла

Путь по известной скорости

Если — скорость (например, в м/с) в момент времени , то пройденный путь на промежутке от до выражают интегралом:

Пояснение:

— путь (метры);

— время (секунды);

показывает, что суммирование идёт по времени.

Это продолжение физического смысла производной из прошлой темы: там было , а здесь мы фактически восстанавливаем по .

Накопление по скорости изменения

Во многих задачах есть величина, которая меняется со скоростью . Тогда интеграл от по промежутку даёт общий прирост величины. Это общий принцип: интеграл — инструмент накопления.

Типичные ошибки

Забывать константу в неопределённом интеграле.

Путать степенную формулу и случай : для нельзя писать , нужен .

Считать, что определённый интеграл всегда равен площади: если функция ниже оси , интеграл будет отрицательным.

Ошибаться в подстановке пределов: нужно считать именно , а не наоборот.

Что важно запомнить

Первообразная для означает .

Неопределённый интеграл — это все первообразные, то есть .

Определённый интеграл выражает накопление на отрезке и в простейшем случае равен площади под графиком.

Формула Ньютона–Лейбница: .

Интеграл применяется к площадям, пути по скорости и другим задачам на накопление.

Стереометрия: прямые, плоскости, многогранники

Зачем нужна стереометрия и как она связана с остальным курсом

Стереометрия изучает геометрию в пространстве: прямые и плоскости, их взаимное расположение, а также объёмные фигуры (многогранники и тела вращения).

Связь с уже пройденными темами курса:

В теме функций и графиков мы работали с координатами на плоскости; в стереометрии эти идеи продолжаются в виде координат и векторов в пространстве.

В теме производной мы учились находить наибольшие и наименьшие значения; в стереометрии часто оптимизируют площади и объёмы (например, объём коробки при фиксированной площади поверхности).

В теме интеграла появлялась площадь под графиком; в пространстве похожие идеи приводят к объёму, но в школе объёмы многогранников обычно находят по готовым формулам.

Для справки: Стереометрия, Многогранник.

Основные объекты стереометрии

В пространстве рассматривают три базовых объекта:

Точка

Прямая

Плоскость

Плоскость можно представлять как «бесконечный лист бумаги», прямая как «бесконечно длинную нить», а точка как «метку без размеров».

!Точка, прямая и плоскость как базовые объекты

Как задают плоскость и прямую в пространстве

Как задать плоскость

Чтобы однозначно задать плоскость, достаточно одного из наборов условий:

трёх точек, не лежащих на одной прямой

прямой и точки, не лежащей на этой прямой

двух пересекающихся прямых

двух параллельных прямых

Смысл этих формулировок: плоскость должна быть определена без возможности «повернуть» её иначе, сохранив условия.

Как задать прямую

Прямую однозначно задают:

две различные точки

Это похоже на планиметрию: через две точки проходит ровно одна прямая.

Взаимное расположение прямых и плоскостей

Две прямые в пространстве

Две прямые в пространстве могут:

пересекаться

быть параллельными

быть скрещивающимися

Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны, потому что не лежат в одной плоскости. Это ключевое отличие пространства от плоскости.

!Скрещивающиеся прямые

Прямая и плоскость

Прямая и плоскость могут:

пересекаться (в одной точке)

быть параллельными (не иметь общих точек)

прямая может лежать в плоскости

Если прямая пересекает плоскость, то точка пересечения единственная.

Две плоскости

Две плоскости могут:

пересекаться (по прямой)

быть параллельными

совпадать

Важно: пересечение двух непараллельных плоскостей всегда является прямой.

Перпендикулярность и углы в пространстве

Перпендикуляр к плоскости

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой в этой плоскости, проходящей через точку пересечения.

На практике используют удобный признак:

если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью определяют не «на глаз», а строго:

берут проекцию прямой на плоскость

угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её проекцией

Этот угол всегда лежит в пределах от до .

!Определение угла между прямой и плоскостью через проекцию

Угол между плоскостями

Две плоскости пересекаются по прямой. Чтобы определить угол между плоскостями:

в каждой плоскости проводят прямую, перпендикулярную линии их пересечения

угол между этими прямыми и считают углом между плоскостями

Так получается корректное определение, не зависящее от того, где именно «смотреть» на плоскости.

Расстояния в стереометрии

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Здесь важно:

перпендикуляр означает угол

длина перпендикуляра — это обычная длина отрезка

Расстояние между параллельными плоскостями

Если плоскости параллельны, расстояние между ними равно длине любого перпендикуляра, проведённого из одной плоскости к другой.

Расстояние между параллельными прямыми

Расстояние между параллельными прямыми определяют как длину отрезка, перпендикулярного обеим прямым и соединяющего их.

Многогранники: основные понятия

Многогранник — это тело, ограниченное конечным числом многоугольников.

Элементы многогранника:

грани (многоугольники, ограничивающие тело)

рёбра (отрезки пересечения граней)

вершины (точки, где сходятся рёбра)

Формула Эйлера для выпуклых многогранников

Для выпуклого многогранника выполняется формула:

Где:

— число вершин

— число рёбер

— число граней

число — постоянный результат для всех выпуклых многогранников

Эта формула полезна как проверка: если вы посчитали рёбра или грани и сомневаетесь, формула часто сразу показывает ошибку.

Призмы и параллелепипеды

Призма

Призма — многогранник, у которого:

две грани являются равными и параллельными многоугольниками (это основания)

остальные грани — параллелограммы (это боковые грани)

Если боковые рёбра перпендикулярны основанию, призма называется прямой.

Объём призмы

Объём прямой (и вообще любой) призмы вычисляют по формуле:

Где:

— объём (сколько «места» занимает тело)

— площадь основания (площадь многоугольника-основания)

— высота призмы (расстояние между плоскостями оснований)

Смысл формулы: объём равен «площадь слоя» «толщина слоя».

Параллелепипед

Параллелепипед — это призма, основанием которой является параллелограмм.

Частные случаи:

прямоугольный параллелепипед: все грани — прямоугольники

куб: все рёбра равны, все грани — квадраты

Для прямоугольного параллелепипеда с рёбрами , , :

Где , , — длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины и попарно перпендикулярных.

Пирамиды

Определение пирамиды

Пирамида — многогранник, у которого:

одна грань — многоугольник (это основание)

остальные грани — треугольники, сходящиеся в одной вершине (это боковые грани)

Высота пирамиды — перпендикуляр из вершины пирамиды на плоскость основания.

Объём пирамиды

Объём пирамиды вычисляют так:

Где:

— объём пирамиды

— площадь основания

— высота пирамиды

множитель показывает, что при одинаковых и пирамида занимает треть объёма соответствующей призмы

Этот факт полезно запомнить именно как сравнение с призмой.

Сечения многогранников: как научиться «видеть» задачу

Сечение — это фигура, которая получается при пересечении многогранника плоскостью.

Практические правила для построения сечений:

плоскость сечения пересекает грань по прямой

чтобы построить эту прямую на грани, достаточно найти две точки пересечения плоскости с ребрами этой грани

затем точки соединяют отрезком, и так получают сторону сечения на данной грани

Типичная стратегия в задачах:

Отметить данные точки и линии на многограннике.

Понять, какие грани обязательно пересекает плоскость сечения.

На каждой из этих граней найти две точки сечения.

Соединить точки в правильном порядке, получив многоугольник сечения.

!Пример сечения куба плоскостью

Что важно запомнить

В пространстве прямые могут быть не только пересекающимися или параллельными, но и скрещивающимися.

Перпендикулярность к плоскости удобно проверять через перпендикулярность двум пересекающимся прямым в плоскости.

Угол между прямой и плоскостью определяют через проекцию прямой на плоскость.

Объёмы базовых многогранников:

- призма: - пирамида:

При построении сечений главное правило: на каждой грани линия сечения — это прямая, которую находят по двум точкам.

Тела вращения и объёмы: цилиндр, конус, шар

Как тема связана с предыдущими статьями курса

В статье про стереометрию мы разобрали базовые пространственные объекты, многогранники и формулы объёмов призмы и пирамиды. Теперь переходим к телам, у которых поверхность криволинейная: цилиндр, конус, шар.

Связи с остальными темами курса:

С темой интеграла: объём можно понимать как «сумму» площадей тонких слоёв, а в продвинутом виде объёмы тел вращения действительно выводят интегралом.

С темой функций и графиков: вращение плоской фигуры вокруг оси можно представлять как геометрическую «операцию», похожую на преобразования, только уже в 3D.

Для справки: Цилиндр, Конус, Сфера.

Что такое тело вращения

Тело вращения получают так: берут плоскую фигуру и вращают её вокруг прямой (оси). При вращении каждая точка фигуры описывает окружность, и из этого «набора окружностей» получается объёмное тело.

Примеры:

прямоугольник, вращаемый вокруг одной из своих сторон, даёт цилиндр;

прямоугольный треугольник, вращаемый вокруг катета, даёт конус;

полуокружность, вращаемая вокруг диаметра, даёт шар.

!Как плоские фигуры при вращении образуют цилиндр, конус и шар

Цилиндр

Определение и элементы

В школьной геометрии чаще всего рассматривают прямой круговой цилиндр.

Его удобно понимать так:

есть два равных круга в параллельных плоскостях, это основания;

расстояние между плоскостями оснований — высота.

Основные величины:

— радиус основания (радиус круга);

— высота цилиндра.

Объём цилиндра

Формула объёма:

Пояснение каждого элемента:

— объём (сколько «места» занимает тело);

— число примерно , появляется из формулы площади круга;

— радиус основания;

— квадрат радиуса, потому что площадь круга пропорциональна квадрату размера;

— площадь основания (площадь круга);

— высота;

произведение «площадь основания высота» работает так же, как у призмы: берём одинаковые слои по всей высоте.

Площадь поверхности цилиндра

Площадь круга основания:

Площадь боковой поверхности (если «развернуть» боковую поверхность в прямоугольник):

Пояснение:

— длина окружности основания;

умножаем на , получаем площадь прямоугольника «длина окружности высота».

Полная площадь поверхности (два основания и боковая часть):

Частые ошибки в задачах на цилиндр

Путать радиус и диаметр : если дан диаметр, то .

Забывать, что полная площадь включает два основания.

Смешивать единицы измерения: например, в сантиметрах, а в метрах.

Конус

Определение и элементы

Прямой круговой конус можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг катета.

Элементы:

основание — круг радиуса ;

высота — перпендикуляр от вершины к плоскости основания, длина ;

образующая — отрезок от вершины к точке окружности основания по боковой поверхности (для прямого конуса она одинаковая для всех таких отрезков).

В прямом конусе , , связаны прямоугольным треугольником:

Пояснение:

— гипотенуза;

и — катеты;

формула следует из теоремы Пифагора.

!Элементы прямого конуса и связь r, h, l

Объём конуса

Формула объёма:

Пояснение каждого элемента:

— площадь основания;

— высота;

множитель показывает, что при одинаковых и конус занимает треть объёма цилиндра с тем же основанием и высотой.

Эту «треть» полезно помнить как факт: она аналогична формуле объёма пирамиды из темы многогранников.

Площадь поверхности конуса

Площадь основания:

Площадь боковой поверхности:

Пояснение:

— радиус основания;

— образующая;

множитель появляется из геометрии развертки: боковая поверхность конуса разворачивается в сектор круга.

Полная площадь:

Частые ошибки в задачах на конус

Подставлять высоту вместо образующей в формулу боковой площади.

Забывать проверять, что конус именно прямой (иначе формулы с в таком виде не применяют).

Шар и сфера

Что называют шаром, а что сферой

Сфера — это поверхность: множество точек на расстоянии от центра.

Шар — это тело: все точки, расстояние которых до центра не больше .

В школьных задачах часто говорят «шар», но используют формулы и для площади поверхности (сферы), и для объёма (шара).

Площадь поверхности сферы

Формула площади сферы радиуса :

Пояснение:

— площадь поверхности;

— радиус;

квадрат означает, что площадь растёт как «размер в квадрате»;

коэффициент — геометрический факт (в школе его обычно принимают без вывода).

Объём шара

Формула объёма шара радиуса :

Пояснение:

— объём;

показывает, что объём растёт как «размер в кубе»;

коэффициент — стандартный результат; на более продвинутом уровне его выводят через интеграл или сравнение с другими телами.

!Разница между сферой и шаром и роль радиуса

Частые ошибки в задачах на шар

Путать формулы: для площади поверхности , для объёма .

Брать равным диаметру.

Составные тела и стратегия решения задач

Во многих задачах встречаются не «чистые» тела, а комбинации.

Полезные приёмы:

Если тело составное, объёмы складывают: .

Если есть отверстие или вырез, объём вычитают: .

Если дан объём и нужно найти размер, часто получается уравнение, например .

Отдельно следите за единицами:

площадь измеряют в квадратных единицах, например ;

объём измеряют в кубических единицах, например ;

если длины даны в разных единицах, их нужно привести к одной системе до подстановки.

Что важно запомнить

Цилиндр: , , .

Конус: , , для прямого конуса .

Сфера и шар: , .

В задачах на составные тела объёмы и площади обычно находят сложением и вычитанием, аккуратно следя за тем, что именно требуется: площадь поверхности или объём.

Вероятность и элементы статистики: модели и расчёты

Как тема связана с предыдущими разделами курса

Вероятность и статистика дополняют алгебру, анализ и геометрию, потому что учат работать с неопределённостью и данными.

Из темы функций и графиков берём умение читать графики и понимать, что площадь под кривой может означать долю случаев.

Из темы интеграла берём идею площади как накопления (в старших классах это связывают с распределениями вероятностей).

Из темы производной берём аккуратность в моделировании: важно понимать, как меняются величины и какие параметры влияют на результат.

Для справки можно посмотреть определения: Теория вероятностей, Математическая статистика.

Модель случайного эксперимента

Случайный эксперимент, исходы и события

Случайный эксперимент — действие, результат которого заранее точно неизвестен, но возможные результаты можно перечислить.

Исход — один конкретный результат эксперимента.

Множество исходов обычно обозначают .

Событие — набор исходов, который нас интересует.

Пример: бросаем игральный кубик.

.

Событие = выпало чётное означает .

Вероятность как число от 0 до 1

Вероятность события обозначают .

означает невозможно.

означает произойдёт обязательно.

Классическая вероятность (равновозможные исходы)

Если все исходы равновозможны (например, честный кубик), используют формулу:

Где:

— вероятность события .

— число благоприятных исходов (исходов, входящих в событие ).

— общее число исходов в .

Пример: событие = выпало число больше 4.

благоприятные исходы: , значит ;

всего исходов ;

тогда .

Основные операции над событиями

Объединение и пересечение

— событие произошло или (или оба сразу).

— событие произошли и , и одновременно.

!Диаграмма Венна помогает увидеть разницу между объединением и пересечением событий

Противоположное событие

Противоположное событие обозначают : это событие не произошло.

Формула:

Здесь:

— вероятность, что событие не случится.

— вероятность достоверного события.

Правила сложения и умножения вероятностей

Правило сложения

Для любых событий и :

Пояснение каждого элемента:

складывает вероятности, но пересечение при этом учитывается дважды.

поэтому вычитают .

Частный случай: если события несовместимы (не могут произойти вместе), то и , значит

Условная вероятность

Иногда вероятность события зависит от того, что уже известно другое событие.

Условная вероятность читается как вероятность при условии, что произошло:

Здесь важно:

, иначе деление невозможно.

— вероятность, что случились оба события.

Независимость событий

События и называются независимыми, если наступление одного не меняет вероятность другого.

Формула независимости:

Пояснение:

точка — умножение.

это правило удобно помнить для последовательных действий: вероятность обоих событий равна произведению вероятностей каждого.

!Дерево вероятностей показывает правило умножения и помогает не потерять исходы

Комбинаторика как инструмент для вероятности

Когда исходы связаны с выбором объектов, часто нужно посчитать количество вариантов.

Перестановки, размещения, сочетания

| Что считаем | Важен порядок? | Повторы? | Типичная формула | |---|---|---|---| | Перестановки элементов | да | нет | | | Размещения из по | да | нет | | | Сочетания из по | нет | нет | |

Пояснение обозначений:

— сколько всего объектов.

— сколько выбираем.

— факториал, например .

Важно: в вероятностных задачах часто делают так:

= общее число равновозможных исходов.

= число исходов, которые подходят условию.

затем .

Случайная величина и её характеристики

Что такое случайная величина

Случайная величина — число, которое получается в результате эксперимента.

Пример: — число орлов при двух бросках монеты.

может быть равен , или .

Справка: Случайная величина.

Математическое ожидание

Математическое ожидание — это среднее значение, к которому стремится результат при большом числе повторений.

Для дискретной случайной величины, которая принимает значения с вероятностями :

Пояснение каждого элемента:

— возможное значение случайной величины.

— вероятность получить именно .

сумма — это взвешенное среднее: значения с большей вероятностью влияют сильнее.

Справка: Математическое ожидание.

Дисперсия и стандартное отклонение

Дисперсия показывает разброс значений относительно среднего.

Для школьного уровня достаточно понимать смысл:

чем больше дисперсия, тем менее стабильны результаты.

Стандартное обозначение дисперсии случайной величины :

А стандартное отклонение равно .

измеряется в тех же единицах, что и сама величина .

корень нужен, чтобы вернуться от квадратов отклонений к обычным отклонениям.

Справка: Дисперсия случайной величины.

Важные школьные модели распределений

Биномиальная модель (успех/неуспех)

Если эксперимент повторяют раз, и каждый раз есть два исхода:

успех с вероятностью ,

неуспех с вероятностью ,

то число успехов часто описывают биномиальным распределением.

Вероятность ровно успехов:

Пояснение каждого элемента:

— вероятность того, что успех случится ровно раз.

— сколько способов выбрать, в каких именно испытаниях был успех.

— вероятность конкретной последовательности, где успех случился раз.

— вероятность неуспеха в остальных испытаниях.

Справка: Биномиальное распределение.

Полезный факт для этой модели:

Здесь:

— число испытаний.

— вероятность успеха в одном испытании.

Смысл: ожидаемое число успехов равно число попыток умножить на долю успеха.

Нормальное распределение как модель ошибок и измерений

Во многих задачах про измерения (рост людей, погрешности приборов) встречается нормальное распределение.

Его основные параметры:

— среднее значение (центр распределения).

— стандартное отклонение (характерный масштаб разброса).

!Нормальная кривая показывает, как среднее и стандартное отклонение задают форму распределения

Справка: Нормальное распределение.

Элементы статистики: как описывать данные

Выборка и частота

Если мы измерили значения у группы объектов, получаем выборку.

Частота значения или интервала — сколько раз оно встретилось.

Относительная частота — доля: частота, делённая на объём выборки.

Идея связи со вероятностью:

при большом числе наблюдений относительная частота обычно стабилизируется и становится близка к вероятности (это общий смысл закона больших чисел).

Справка: Закон больших чисел.

Среднее, медиана, мода

| Характеристика | Что означает | Когда особенно полезна | |---|---|---| | Среднее арифметическое | сумма значений, делённая на их число | когда нет сильных выбросов | | Медиана | значение посередине после упорядочивания | когда есть выбросы | | Мода | самое частое значение | для категорий и повторяющихся величин |

Если выборка состоит из чисел , то среднее:

Пояснение:

— среднее по выборке.

— отдельные наблюдения.

— объём выборки.

Размах и разброс

Размах = максимальное значение минус минимальное.

Для более точной оценки разброса используют дисперсию и стандартное отклонение.

Важно: две выборки могут иметь одинаковое среднее, но очень разный разброс.

Гистограмма и интерпретация

Гистограмма помогает увидеть распределение данных по интервалам.

При чтении гистограммы полезно спрашивать себя:

где основной пик (примерный центр данных);

есть ли хвосты и выбросы;

симметрично ли распределение.

Типичная схема решения задач на вероятность и статистику

Чётко описать эксперимент и множество исходов .

Записать событие словами и как набор исходов (если это возможно).

Выбрать метод:

классическая вероятность при равновозможности;

правило сложения для ;

условная вероятность ;

независимость и умножение;

комбинаторика для подсчёта случаев;

биномиальная модель для повторяющихся испытаний.

Проверить ответ на здравый смысл:

вероятность должна быть от 0 до 1;

оценка должна соответствовать симметрии (если она есть).

Типичные ошибки

Смешивать события (или) и (и).

Забывать вычитать пересечение в формуле .

Путать независимость и несовместимость:

независимые события могут происходить вместе;

несовместимые события вместе не происходят.

Применять вместо правильной формулы с .

В статистике делать выводы по слишком маленькой выборке и игнорировать разброс.

Что важно запомнить

Классическая вероятность: при равновозможных исходах.

Противоположное событие: .

Сложение: .

Условная вероятность: .

Независимость: .

Для повторяющихся испытаний часто подходит биномиальная модель и факт .

В статистике важны меры центра (среднее, медиана) и меры разброса (размах, стандартное отклонение).