Механика: расчёты скорости, сил, давления, работы и энергии

Равномерное движение: путь, время, скорость и средняя скорость

Зачем это нужно в механике

В механике почти любые дальнейшие расчёты (силы, работа, мощность, энергия, КПД) опираются на описание движения: как далеко переместилось тело, за какое время и с какой скоростью. Эта статья вводит базовые величины кинематики:

путь

время

скорость при равномерном движении

средняя скорость при любом движении

Основные величины и единицы

Путь

Путь — это длина траектории, пройденная телом.

В СИ путь измеряют в метрах (м).

Часто используют километры (км): .

Важно различать:

путь — сколько “намотали” по траектории

перемещение — вектор от начальной точки к конечной (в этой статье дальше работаем именно с путём)

Время

Время — длительность движения.

В СИ время измеряют в секундах (с).

Также используют минуты и часы: , .

Скорость

Скорость в школьной механике часто понимают как модуль скорости (просто “насколько быстро”).

В СИ скорость измеряют в .

В быту часто используют .

Полезное преобразование:

Здесь число появляется из-за того, что и .

Равномерное движение

Определение

Равномерное движение — это движение, при котором за любые равные промежутки времени тело проходит равные пути.

Примеры (приближённо равномерные):

конвейерная лента

эскалатор

автомобиль с круиз-контролем по ровной дороге

Формула скорости при равномерном движении

Если движение равномерное, скорость постоянна, и выполняется:

Расшифровка величин:

— скорость (например, в )

— путь (например, в м)

— время (например, в с)

Смысл формулы: скорость показывает, какой путь приходится на единицу времени.

Две обратные формулы

Из формулы можно выразить путь и время:

— путь

— скорость

— время

— время

— путь

— скорость

Эти три формулы — один и тот же “треугольник связи” между , , .

Средняя скорость

Зачем нужна средняя скорость

В реальности скорость часто меняется: разгон, торможение, остановки, пробки. Тогда формулу нельзя называть “скоростью движения в каждый момент”, но можно использовать для средней скорости.

Определение средней скорости

Средняя скорость — это отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени:

Расшифровка:

— средняя скорость

— общий путь за весь участок движения

— общее время (включая остановки, если они были)

Типичная ошибка

Средняя скорость не обязана равняться среднему арифметическому скоростей.

Нельзя автоматически писать .

Так можно делать только в специальных ситуациях (например, если времена движения на каждом участке одинаковы).

Как аккуратно решать задачи

Алгоритм для равномерного движения

Выписать, что дано: , , .

Привести единицы к СИ (м, с, м/с), если требуется.

Выбрать нужную формулу: , или .

Подставить числа и проверить здравый смысл ответа.

Алгоритм для средней скорости (несколько участков)

Найти общий путь: .

Найти общее время: (включая стоянки).

Посчитать .

Примеры

Пример равномерного движения

Тело прошло за . Найти скорость.

Здесь:

числитель — пройденный путь в метрах

знаменатель — время в секундах

результат означает “5 метров за каждую секунду”

Пример средней скорости

Автомобиль ехал со скоростью , затем стоял , затем ехал ещё со скоростью . Найти среднюю скорость за всё время.

Найдём путь по участкам:

-

стоянка:

-

Общий путь: .

Общее время: .

Ключевой момент: стоянка увеличила , поэтому средняя скорость уменьшилась.

График движения при равномерной скорости

Если движение равномерное, зависимость пути от времени — прямая линия: .

!Сравнение графика s(t) при равномерном и неравномерном движении

Что запомнить

При равномерном движении скорость постоянна и .

Эти же связи можно переписать как и .

Средняя скорость за весь маршрут: .

Средняя скорость учитывает остановки и не обязана равняться среднему арифметическому скоростей.

Короткие справочные ссылки

Международная система единиц (СИ)

Скорость (физика)

Масса, плотность и объём: связи величин и расчёты

Как эта тема связана с предыдущей

В предыдущей статье мы учились описывать движение через путь , время и скорость . Но в механике движение почти всегда вызывается силами, а силы зависят от массы тела. Дальше по курсу мы будем считать силу тяжести, давление, работу и энергию — и там постоянно встречаются масса , плотность и объём .

Эта статья даёт базовые связи между этими величинами и учит аккуратно делать расчёты.

Три ключевые величины

Масса

Масса — величина, которая показывает, сколько вещества в теле (в школьной механике также тесно связана с инертностью тела).

Единица СИ: килограмм (кг).

Часто встречаются граммы (г): .

Важно: масса не равна весу. Вес — это сила, а масса — нет. Сила тяжести и вес будут в отдельной теме.

Объём

Объём — сколько пространства занимает тело.

Единица СИ: кубический метр ().

В быту часто используют литры (л) и кубические сантиметры ().

Полезные переходы:

Здесь слева объём куба .

Ещё одна связка:

Плотность

Плотность (читается ро) — это масса, приходящаяся на единицу объёма. Проще: насколько “тяжёлое” вещество при одинаковом объёме.

Единица СИ: .

Например, у воды плотность примерно : куб воды объёмом имеет массу около .

> Плотность показывает, сколько массы содержится в каждом “кубике” объёма.

Главная формула связи

Определение плотности записывают так:

Где:

— плотность вещества

— масса тела

— объём тела

Смысл: мы делим массу на объём и получаем, сколько массы приходится на единицу объёма.

Из этой формулы можно выразить и другие величины.

Как найти массу

Где:

— масса

— плотность

— объём

Смысл: если известно, какая плотность у вещества и какой объём у тела, то массу получаем умножением.

Как найти объём

Где:

— объём

— масса

— плотность

Смысл: если известны масса и плотность, то объём — это “сколько объёма приходится на данную массу”.

!Шпаргалка, как быстро выбирать нужную формулу

Единицы измерения и типовые ошибки

Почему важно приводить единицы

Если подставить в формулу массу в граммах, а объём в литрах, получится число, но его единицы будут не СИ. Иногда это нормально (например, ), но нужно понимать, в каких единицах вы считаете.

Для задач по механике чаще всего удобно приводить к СИ:

в кг

в

в

Быстрые преобразования, которые часто нужны

(потому что и граммы, и сантиметры “переводятся” сразу по трём измерениям объёма)

- -

Типичная ошибка: переводить в как будто это длина. Для объёма степень важна: раз , то

Как находить объём по геометрии

Иногда масса известна по весам, а объём нужно вычислить по размерам (линейкой) и форме.

Ниже — самые частые формы.

Прямоугольный параллелепипед (коробка, брусок)

Где:

— объём

, , — длина, ширина и высота (в метрах)

Куб

Где:

— объём

— длина ребра

Цилиндр (например, круглый стержень)

Где:

— объём

— площадь основания

— высота

— радиус основания

-

Если тело сложной формы, объём часто находят методом вытеснения жидкости (мерным цилиндром). Это будет особенно полезно, когда мы перейдём к теме давления жидкости и силы Архимеда.

Примеры расчётов

Пример: найти плотность по массе и объёму

Металлический образец имеет массу и объём . Найти плотность.

1) Приведём к удобным единицам. Можно считать в :

2) Если нужно в СИ, используем переход :

Смысл: в каждом кубическом сантиметре этого вещества около грамма массы.

Пример: найти массу по плотности и объёму

Есть вода объёмом . Найти массу. Возьмём плотность воды .

1) Переведём литры в кубические метры:

2) Считаем массу:

Смысл: 3 литра воды имеют массу примерно 3 кг.

Пример: найти объём по массе и плотности

Кусок вещества массой имеет плотность . Найти объём.

Если перевести в литры (так иногда нагляднее):

Что важно запомнить перед следующими темами

Плотность по определению: .

Три взаимосвязанные формулы: , , .

Следите за единицами: объём часто надо переводить в , а масса — в кг.

Эти величины понадобятся дальше для:

- силы тяжести (через массу) - давления (через силу и площадь, а сила часто зависит от массы) - давления жидкости и силы Архимеда (через плотность) - работы и энергии (через массу)

Короткие справочные ссылки

Масса

Плотность

Объ%C3%AB%D0%BC

Международная система единиц

Силы в механике: тяжесть, вес, трение и упругость

Как эта тема связана с предыдущими

В прошлых статьях мы научились считать скорость и среднюю скорость, а также работать с массой, плотностью и объёмом. Следующий шаг в механике — понять, почему тело начинает двигаться, замедляется или удерживается на месте. Ответ почти всегда один: на тело действуют силы.

Эта статья вводит четыре базовые силы школьной механики:

сила тяжести

вес тела

сила трения

сила упругости

Дальше они напрямую понадобятся для тем давления, работы, мощности, энергии и КПД.

Что такое сила

Сила — это физическая величина, которая описывает действие одного тела на другое и может изменять скорость движения или деформировать тело.

Сила — величина векторная: у неё есть модуль (число) и направление.

Единица силы

Единица силы в СИ — ньютон (Н).

Чтобы понимать смысл единицы, используют запись второго закона Ньютона:

Здесь:

— сила (в ньютонах)

— масса тела (в килограммах)

— ускорение (в )

Если тело массой получает ускорение , то сила равна .

> В этом курсе мы часто будем решать задачи без явного ускорения, но понимание того, что сила может менять движение, важно всегда.

Сила тяжести

Определение

Сила тяжести — это сила, с которой Земля притягивает тело.

Вблизи поверхности Земли её модуль считают по формуле:

Где:

— модуль силы тяжести (Н)

— масса тела (кг)

— ускорение свободного падения (примерно , часто округляют до )

Направление силы тяжести: вертикально вниз, к центру Земли.

Важное различие: масса и сила тяжести

масса измеряется в кг и показывает “сколько вещества”

сила тяжести измеряется в Н и показывает “как сильно Земля тянет тело”

Вес тела

Почему вес — не то же самое, что сила тяжести

Вес тела — это сила, с которой тело действует на опору или подвес из-за притяжения Земли.

Ключевое:

сила тяжести действует на тело

вес — это сила, с которой тело действует на опору или подвес

Поэтому вес может меняться, даже если масса постоянна.

Когда вес равен силе тяжести

Если тело покоится на горизонтальной опоре и нет вертикального ускорения, то обычно:

Здесь:

— модуль веса (Н)

— масса (кг)

— ускорение свободного падения ()

Когда вес не равен силе тяжести

Если есть ускорение вверх или вниз (лифт, разгон, торможение), вес меняется.

Пример смысла без формул:

лифт ускоряется вверх — вес увеличивается (кажется, что “прижало”)

лифт ускоряется вниз — вес уменьшается (ощущение “легкости”)

В предельном случае свободного падения опоры нет, и вес равен нулю: это называют невесомостью.

Реакция опоры и её связь с весом

Опора действует на тело силой реакции опоры (обычно перпендикулярно поверхности). Тело, в свою очередь, давит на опору — это и есть проявление веса.

Во многих простых задачах (покой или равномерное движение по горизонтали) модули сил совпадают: , но важно понимать, что это разные силы, действующие на разные тела.

!Схема, показывающая разницу между силой тяжести, реакцией опоры и весом

Сила трения

Сила трения возникает при соприкосновении поверхностей и направлена так, чтобы препятствовать относительному движению (или попытке движения).

Два основных вида трения

трение покоя: тело ещё не скользит, но его “пытаются сдвинуть”

трение скольжения: тело уже скользит по поверхности

Направление силы трения

Сила трения направлена вдоль поверхности против направления движения (или против направления, в котором тело могло бы начать скользить).

Модуль силы трения скольжения

Часто в задачах используют приближение:

Где:

— модуль силы трения (Н)

— коэффициент трения (без единиц), зависит от материалов и состояния поверхностей

— модуль реакции опоры (Н)

Смысл формулы: чем сильнее прижато тело к поверхности (больше ), тем больше сила трения.

Трение покоя: что важно помнить

Для трения покоя обычно говорят так:

сила трения покоя подстраивается под ситуацию и может меняться

но есть максимум, после которого тело начинает скользить

Идея важнее формул: пока брусок не сдвинулся, трение может быть равно по модулю прикладываемой силе и “держать” тело.

Сила упругости

Если тело деформируют (растягивают, сжимают), оно стремится вернуть прежнюю форму. Это описывает сила упругости.

Закон Гука для пружины

Для пружины в пределах упругих деформаций используют:

Где:

— модуль силы упругости (Н)

— жёсткость пружины (), показывает “насколько трудно растягивать”

— удлинение или сжатие (м), то есть насколько изменили длину относительно исходной

Направление силы упругости: всегда противоположно деформации.

Пример смысла:

пружину растянули вправо — сила упругости тянет влево

пружину сжали — сила упругости “толкает” наружу

!Иллюстрация закона Гука и направления силы упругости

Как применять силы в задачах

Универсальный приём: диаграмма сил

Чтобы не путаться, полезно всегда делать короткий алгоритм.

Выберите тело, движение которого рассматриваете.

Нарисуйте его упрощённо.

Отметьте все силы, действующие на это тело стрелками.

Подпишите силы: , , , и другие, если есть.

Выберите оси и решайте задачу, используя связи из условия.

Самые частые сочетания сил

брусок на столе: вниз и вверх, при движении добавится

груз на пружине: вниз и вверх (или наоборот, в зависимости от схемы)

Что запомнить

Сила измеряется в ньютонах и имеет направление.

Сила тяжести у поверхности Земли: .

Вес — это сила действия тела на опору или подвес; он не всегда равен .

Сила трения направлена против движения; для скольжения часто используют .

Сила упругости для пружины: и направлена против деформации.

Справочные ссылки

Сила (физика)

Сила тяжести

Вес

Трение

Закон Гука

Давление твёрдых тел и гидростатическое давление жидкости

Как эта тема связана с предыдущими

В прошлой статье мы ввели силы: силу тяжести , вес , реакцию опоры , трение и упругость. Теперь добавим ещё одну ключевую величину механики — давление.

Давление связывает силу и площадь, на которую эта сила действует. Это понадобится дальше для:

давления столба жидкости и силы Архимеда

работы и мощности (когда сила действует при перемещении)

анализа простых механизмов, где важно распределение нагрузки

Давление твёрдых тел

Что такое давление

Давление показывает, насколько “сильно” сила действует на поверхность.

Главная идея:

одна и та же сила может давать разный эффект, если площадь опоры разная

чем меньше площадь контакта, тем больше давление

Формула давления

Если сила действует перпендикулярно поверхности (то есть “давит”), давление определяют так:

Где:

— давление

— сила давления (обычно это вес тела или сила, с которой тело нажимает на опору)

— площадь поверхности соприкосновения (опоры)

Важно понимать смысл каждой величины:

измеряется в ньютонах (Н). Часто в задачах .

измеряется в квадратных метрах ().

измеряется в паскалях (Па).

Единицы давления

Паскаль — это давление, создаваемое силой 1 Н на площади 1 :

Из-за того, что паскаль довольно маленькая единица, часто используют кратные:

| Единица | Обозначение | Связь | |---|---|---| | паскаль | Па | | | килопаскаль | кПа | | | мегапаскаль | МПа | |

Что брать за силу в задачах

В простых школьных задачах про давление твёрдого тела на опору обычно берут:

Где:

— масса тела (кг)

— ускорение свободного падения (, часто берут )

Это приближение верно, если тело спокойно стоит на горизонтальной опоре и нет вертикального ускорения.

Почему площадь так важна

Если силу оставить той же, а площадь уменьшить, то по формуле давление увеличится.

Примеры из жизни:

острый нож режет лучше, потому что площадь контакта мала

лыжи “спасают” от проваливания в снег, потому что площадь опоры велика

!Схема зависимости давления от площади опоры при одинаковой силе

Алгоритм решения задач на давление твёрдых тел

Определите силу давления (часто ).

Найдите площадь соприкосновения .

Приведите единицы к СИ: в Н, в .

Посчитайте .

Типичные ошибки

Подставлять площадь в без перевода в .

Брать за массу (кг) вместо силы (Н).

Забывать, что в формуле сила должна быть направлена перпендикулярно поверхности (сила трения, например, давления не создаёт).

Давление жидкости

Почему у жидкости есть давление

Жидкость имеет массу, значит на неё действует сила тяжести. Внутри жидкости нижние слои испытывают действие веса верхних слоёв — поэтому давление увеличивается с глубиной.

Гидростатическое давление

Гидростатическое давление — это давление жидкости в состоянии покоя, вызванное весом столба жидкости.

Для жидкости плотности на глубине (от поверхности вниз) используют формулу:

Где:

— гидростатическое давление (Па)

— плотность жидкости ()

— ускорение свободного падения ()

— глубина (м)

Смысл формулы можно прочитать так:

чем плотнее жидкость (больше ), тем сильнее она “давит”

чем глубже точка (больше ), тем больше сверху “столб” жидкости

!Вывод формулы гидростатического давления через вес столба жидкости

Полное давление: если сверху есть атмосферное

Во многих реальных ситуациях сверху на жидкость действует ещё и давление воздуха (например, атмосферное). Тогда абсолютное (полное) давление в точке:

Где:

— давление в точке жидкости

— давление на поверхности жидкости (часто атмосферное)

— добавка из-за столба жидкости

Если задача спрашивает “на сколько увеличилось давление на глубине по сравнению с поверхностью”, то обычно считают именно .

Важное свойство: давление зависит от глубины, а не от формы сосуда

Для жидкости в покое (при одной и той же и одинаковом ):

давление одинаково в любых точках на одной глубине

форма сосуда не влияет на давление в точке

Это часто кажется неожиданным, но напрямую следует из формулы .

Как связаны давление и сила в жидкости

Если жидкость давит на площадку площади и давление в этой точке равно , то модуль силы давления:

Где:

— сила (Н)

— давление (Па)

— площадь (м)

Эта связь особенно важна, когда мы будем считать:

силу давления жидкости на дно и стенки

выталкивающую силу (силу Архимеда), которая возникает из-за разности давлений сверху и снизу

Что запомнить

Давление твёрдого тела: . При меньшей площади опоры давление больше.

Единица давления: .

Гидростатическое давление жидкости: (растёт с глубиной и плотностью).

На одной глубине давление одинаково и не зависит от формы сосуда.

Сила давления при известном давлении: .

Справочные ссылки

Давление

Гидростатическое давление

Паскаль (единица измерения))

Сила Архимеда: условия плавания тел и расчёт выталкивания

Как эта тема связана с давлением

В прошлой статье мы разобрали гидростатическое давление жидкости: , а также связь силы и давления: . Теперь используем эти идеи, чтобы понять, почему в жидкости (и газе) на тело действует выталкивающая сила.

Ключевая мысль: давление в жидкости растёт с глубиной, поэтому на нижнюю часть тела жидкость давит сильнее, чем на верхнюю. Разность этих давлений даёт направленную вверх силу.

!Разность давлений сверху и снизу создаёт выталкивающую силу

Что такое сила Архимеда

Сила Архимеда (её также называют выталкивающей силой) — это сила со стороны жидкости или газа, направленная вверх, которая действует на погружённое тело.

Эта сила возникает из-за распределения давления в жидкости: снизу давление больше, сверху меньше.

Закон Архимеда и формула для расчёта

Закон Архимеда: выталкивающая сила равна весу вытесненной жидкости (или газа).

Формула:

Разберём каждый символ:

— сила Архимеда, измеряется в ньютонах (Н)

— плотность жидкости (или газа), измеряется в

— ускорение свободного падения, измеряется в (часто берут или округляют до )

— объём вытесненной жидкости, измеряется в

Важно: — это не обязательно объём всего тела.

Если тело погружено полностью, то .

Если тело плавает и погружено частично, то равен объёму погружённой части.

Как находить объём вытесненной жидкости

Обычно используют один из подходов:

По геометрии погружённой части (например, у бруска или цилиндра)

По измерению вытеснения (например, по изменению уровня в мензурке)

Напоминание о единицах из темы про объём:

- -

Условия плавания тел

С телом в жидкости обычно происходят три ситуации: тело тонет, плавает внутри жидкости, или всплывает и плавает на поверхности.

Какие силы сравнивают

В простейших задачах сравнивают:

силу тяжести (для тела):

силу Архимеда:

Дальше всё определяется тем, какая сила больше.

Тело тонет

Тело тонет (опускается вниз), если выталкивающая сила меньше силы тяжести:

Частый удобный критерий для полностью погружённого тела:

если , то тело тонет

Здесь — плотность материала тела, — плотность жидкости.

Нейтральная плавучесть

Тело может находиться в толще жидкости, не всплывая и не тоня, если силы уравновешены:

Для полностью погружённого тела это обычно означает:

-

Тело всплывает и плавает

Если выталкивающая сила больше силы тяжести,

то тело получает результирующую силу вверх и всплывает.

Когда тело установилось и плавает на поверхности, оно находится в равновесии, и снова выполняется:

Но при плавании на поверхности важный момент такой: становится ровно таким, чтобы обеспечить равенство . Поэтому плавающее тело погружено только частично.

Доля погружённого объёма для плавающего тела

Если тело плавает и часть его над водой, удобно выразить равновесие через плотности.

Пусть — полный объём тела, а — погружённый объём. Тогда .

Запишем равновесие:

А массу выразим через плотность тела и его объём: .

Тогда:

Сокращаем на и получаем:

Что означает эта формула:

левая часть — какая доля объёма тела находится в жидкости

правая часть — отношение плотности тела к плотности жидкости

Следствие: чем меньше плотность тела по сравнению с плотностью жидкости, тем меньшая часть тела погружена.

Видимый вес в жидкости

Иногда спрашивают, что покажут весы, если тело подвешено и погружено в жидкость.

Тогда на тело действуют две силы:

вниз сила тяжести

вверх сила Архимеда

Если тело покоится, сила натяжения подвеса (или показание динамометра) равна видимому весу:

Смысл: в жидкости тело как будто становится легче, потому что часть нагрузки “берёт на себя” выталкивающая сила.

Как решать задачи на силу Архимеда

Определите, что требуется найти: , , условие плавания, долю погружения или видимый вес.

Найдите плотность среды (или используйте данную).

Определите вытесненный объём .

- Полное погружение: . - Плавание: .

Посчитайте .

Если нужно понять поведение тела, сравните и .

Примеры

Пример: сила Архимеда при полном погружении

Металлический шар объёмом полностью погрузили в воду. Найти силу Архимеда. Возьмём , .

Так как шар погружён полностью, .

Это значит: вода выталкивает шар вверх силой 2 Н.

Пример: доля погружения плавающего тела

Деревянный брусок плотности плавает в воде . Найти долю объёма бруска, находящуюся в воде.

Используем формулу доли погружения:

Значит, примерно 60% объёма бруска находится в воде, а 40% — над водой.

Типичные ошибки

Подставлять в формулу объём тела, даже если тело погружено частично.

Путать (плотность жидкости) и (плотность тела).

Не переводить объём в (например, литры или оставлять без перевода).

Делать вывод “тело плавает, значит ” в состоянии установившегося плавания. Для плавающего в равновесии тела верно .

Что запомнить

Выталкивающая сила появляется из-за того, что давление в жидкости растёт с глубиной.

Закон Архимеда: .

Условие поведения тела (в простых задачах): сравнивают и .

Для плавающего тела в равновесии: , а доля погружения .

Видимый вес в жидкости: .

Справочные ссылки

Закон Архимеда

Выталкивающая сила

Гидростатическое давление

Работа, мощность, кинетическая и потенциальная энергия

Как эта тема связана с предыдущими

Ранее мы научились:

описывать движение через путь , время , скорость

находить массу, плотность и объём

рассчитывать силы: , трение , упругость

работать с давлением и силой Архимеда

Теперь переходим к величинам, которые описывают сколько воздействия совершает сила при перемещении и как быстро это происходит. Это базовые понятия для задач про механизмы, КПД и преобразование энергии.

Механическая работа

Что называют работой

Работа показывает, сколько энергии передаёт сила телу (или сколько энергии сила забирает), когда тело перемещается.

Ключевая мысль:

сила без перемещения работу не совершает

перемещение без силы (в идеальной модели) тоже не даёт работы

Формула работы для постоянной силы

Если на тело действует сила , и тело перемещается на расстояние в направлении, образующем угол с силой, то работа равна:

Где:

— работа (в джоулях)

— модуль силы (в ньютонах)

— модуль перемещения (в метрах)

— угол между направлением силы и направлением перемещения

Чаще всего в школьных задачах встречаются два простых случая.

Два главных частных случая

Сила направлена вдоль движения (, ):

Сила направлена против движения (, ):

Так появляется знак:

— сила помогает движению и передаёт телу энергию

— сила мешает движению и забирает механическую энергию (типичный пример — трение)

Когда работа равна нулю

Работа в типичных ситуациях:

нет перемещения ()

сила перпендикулярна перемещению (, )

Классический пример перпендикулярности: равномерное движение по окружности, где сила направлена к центру, а мгновенное перемещение — по касательной.

Единицы работы

Единица работы в СИ — джоуль (Дж).

Смысл: если сила перемещает тело на в своём направлении, она совершает работу .

!Иллюстрация смысла формулы A = F s cos(alpha): работает только составляющая силы вдоль перемещения

Мощность

Что такое мощность

Мощность показывает, как быстро совершается работа, то есть работа за единицу времени.

Если за время совершена работа , то средняя мощность:

Где:

— мощность (в ваттах)

— работа (в джоулях)

— время (в секундах)

Единицы мощности

Единица мощности в СИ — ватт (Вт):

Смысл: мощность означает, что каждую секунду совершается работа .

Связь мощности со скоростью (частый случай)

Если сила направлена вдоль движения, то за малое время тело проходит путь . Тогда:

Здесь:

— сила вдоль движения

— скорость

Это очень полезно в задачах про транспорт и подъём грузов: при той же силе большая скорость означает большую мощность.

Кинетическая энергия

Смысл кинетической энергии

Кинетическая энергия — это энергия движения. Чем больше масса и скорость, тем больше энергия.

Формула:

Где:

— кинетическая энергия (Дж)

— масса (кг)

— скорость (м/с)

Важно: скорость входит как , поэтому увеличение скорости в 2 раза увеличивает кинетическую энергию в 4 раза.

Связь работы и изменения кинетической энергии

В школьной механике часто используют идею:

работа результирующей силы идёт на изменение кинетической энергии

Короткая запись этой идеи:

Где:

— кинетическая энергия в начале

— кинетическая энергия в конце

Практический смысл:

если суммарная работа положительна, скорость обычно увеличивается

если суммарная работа отрицательна (например, из-за трения), скорость уменьшается

Потенциальная энергия

Общая идея

Потенциальная энергия — это энергия, связанная с положением тела или с деформацией (то есть с тем, как тело расположено в поле сил или насколько оно растянуто/сжато).

В школьных задачах чаще всего встречаются два вида: гравитационная и упругая.

Потенциальная энергия в поле тяжести

Если тело массой находится на высоте над выбранным уровнем отсчёта, то потенциальная энергия:

Где:

— потенциальная энергия (Дж)

— масса (кг)

— ускорение свободного падения (обычно или берут )

— высота (м)

Важно про уровень отсчёта:

само значение зависит от того, где выбрали нулевой уровень

зато изменение энергии при подъёме или опускании зависит только от разницы высот

Если тело подняли на , то изменение потенциальной энергии:

Потенциальная энергия упругой деформации

Для пружины жёсткости , которую растянули или сжали на величину , потенциальная энергия упругости:

Где:

— энергия (Дж)

— жёсткость пружины (Н/м)

— удлинение или сжатие (м)

Квадрат означает, что в 2 раза большее растяжение даёт в 4 раза больше энергии.

!Два примера потенциальной энергии: гравитационная и упругая, и их связь с превращением в кинетическую

Закон сохранения энергии в простых задачах

Что сохраняется в идеальной модели

Если нет потерь (нет трения, сопротивления воздуха, деформаций с потерями), то механическая энергия сохраняется:

Это означает: энергия может переходить из потенциальной в кинетическую и обратно, но их сумма остаётся той же.

Что меняется при наличии трения

Сила трения обычно совершает отрицательную работу, и механическая энергия уменьшается: часть энергии переходит во внутреннюю энергию (нагрев).

В таких задачах часто удобно мыслить так:

работа трения по модулю равна тому, сколько механической энергии “потеряли”

Как аккуратно решать задачи по работе и энергии

Выписать, что дано, и привести единицы к СИ: в кг, в м/с, в м, силы в Н.

Решить, через что проще считать:

через работу: (если сила и путь понятны)

через энергию: , (если известны скорости и высоты)

Если есть время и спрашивают “как быстро”, перейти к мощности: или .

Проверить смысл ответа:

работа и энергия в джоулях

мощность в ваттах

знак работы: трение обычно даёт

Что запомнить

Работа: , а в простом случае вдоль движения .

Единица работы: .

Мощность: , а при движении вдоль силы .

Кинетическая энергия: .

Потенциальная энергия: , для пружины .

В идеале сохраняется сумма , а трение уменьшает механическую энергию.

Справочные ссылки

Механическая работа)

Мощность

Кинетическая энергия

Потенциальная энергия

Закон сохранения энергии

Рычаги, простые механизмы и КПД: выигрыш в силе и потери

Как эта тема связана с работой и энергией

В предыдущей статье мы ввели работу , мощность и энергии , . Теперь применим эти идеи к простым механизмам (рычаг, блоки, наклонная плоскость) и ответим на главный практический вопрос:

как получить выигрыш в силе (поднимать тяжелее, чем “можем руками”)

почему при этом обычно появляется проигрыш в расстоянии и потери

что такое КПД и как его считать

Ключевая мысль: простые механизмы не “создают” энергию. Они лишь перераспределяют, какой силой и на каком пути мы совершаем работу.

Простые механизмы: что это и зачем

Простой механизм — устройство, которое изменяет величину силы, её направление или и то и другое, чтобы удобнее выполнять работу.

Примеры:

рычаг (лом, ножницы)

блоки (подъёмный блок)

наклонная плоскость (пандус)

Общий принцип удобно формулировать так:

> Выигрыш в силе обычно достигается ценой увеличения пути (расстояния), на котором действует эта сила.

Рычаг

Плечо силы и момент силы

Рычаг — твёрдое тело, которое может вращаться вокруг опоры.

Чтобы описывать действие силы на рычаг, вводят плечо силы :

— это кратчайшее расстояние от точки опоры до линии действия силы

единица: метр (м)

Далее вводят момент силы :

Где:

— момент силы (Н·м)

— сила (Н)

— плечо силы (м)

Смысл: одна и та же сила может вращать рычаг сильнее, если приложить её дальше от опоры (увеличить ).

!Схема рычага и плеч сил

Условие равновесия рычага

Если рычаг не вращается (равновесие), моменты сил, вращающие в разные стороны, уравновешиваются:

Где:

— сила, приложенная к одному плечу (Н)

— её плечо (м)

— сила на другом плече (Н)

— её плечо (м)

Что это даёт в задачах:

если больше , то для равновесия может быть меньше

то есть рычаг даёт выигрыш в силе за счёт увеличения плеча

Выигрыш в силе у рычага

Пусть — сила, которую прикладываем мы (входная сила), а — сила, с которой рычаг действует на груз (выходная сила). Тогда из равновесия:

Величину часто называют механическим выигрышем (выигрышем в силе).

если , а , то выигрыш в силе

Почему появляется проигрыш в расстоянии

Когда рычаг поворачивается на один и тот же угол, точки на разных расстояниях от опоры проходят разные дуги:

дальняя точка проходит больший путь

ближняя точка — меньший

Это и означает: чтобы уменьшить силу, приходится “пройти” рукой больший путь.

Идеальный механизм и сохранение работы

Главный принцип (идеальная модель)

В идеальном механизме нет потерь (нет трения, нет деформаций с нагревом). Тогда:

совершённая нами работа равна полезной работе на грузе

То есть:

В задачах это часто читается так:

если мы выиграли в силе в раз, то проиграем в пути в раз

Потому что при (сила вдоль движения) равенство работ даёт:

Где:

и — сила и путь, которые “вложили” мы

и — сила и путь со стороны груза

Блоки (шкивы): неподвижный и подвижный

Неподвижный блок

Неподвижный блок меняет направление силы, но в идеале не даёт выигрыша в силе:

выигрыш в силе:

удобство: тянем вниз вместо подъёма вверх

Подвижный блок

Подвижный блок даёт выигрыш в силе (идеально — в 2 раза), потому что груз удерживают две ветви верёвки.

В идеальной модели:

выигрыш в силе:

проигрыш в пути: тянуть нужно в 2 раза больше длины верёвки

!Сравнение неподвижного и подвижного блока

Полиспаст (система блоков)

Если груз поддерживают несущих ветвей верёвки, то в идеале:

выигрыш в силе примерно

проигрыш в пути примерно

В задачах важно аккуратно считать именно несущие ветви, которые “держат” груз.

Наклонная плоскость

Почему по наклонной тянуть легче

Чтобы поднять груз на высоту , нужно увеличить его потенциальную энергию на (это полезная работа в идеале).

Если мы тянем груз по наклонной плоскости длиной силой , то в идеальной модели:

И при отсутствии потерь:

Отсюда:

Где:

— сила тяги вдоль плоскости (Н)

— масса груза (кг)

— ускорение свободного падения ()

— высота подъёма (м)

— длина наклонной плоскости (м)

Смысл формулы:

чем длиннее наклонная плоскость при той же высоте , тем меньше нужна сила

но путь становится больше: мы “платим расстоянием” за уменьшение силы

КПД: почему в реальности всегда хуже, чем в идеале

Определение КПД

Коэффициент полезного действия (КПД) показывает, какая доля затраченной энергии (работы) стала полезной.

Чаще всего используют:

Где:

— КПД (без единиц), часто выражают в процентах

— полезная работа (например, подъём груза: )

— работа, которую совершили мы или двигатель

Проценты:

КПД через мощность

Если процесс идёт равномерно (или речь о средних значениях), часто удобно считать:

Где:

— полезная мощность (Вт)

— затраченная мощность (Вт)

Почему КПД меньше 100%

Потери возникают из-за того, что часть работы уходит не на полезный результат:

трение в опорах, блоках, направляющих

трение скольжения груза (особенно на наклонной плоскости)

деформация верёвок, деталей, нагрев

сопротивление воздуха (обычно меньше, но иногда заметно)

Удобная связь:

Где — работа, “ушедшая” в нагрев и другие неполезные эффекты.

Следствие: чем больше трение, тем больше нужно тянуть/крутить, и тем ниже КПД.

!Схема смысла КПД и потерь

Как решать задачи про механизмы и КПД

Определите полезный результат (что считается полезной работой).

Запишите полезную работу.

- подъём груза: - перемещение с полезной силой: (если сила вдоль движения)

Запишите затраченную работу.

- если известны сила и путь приложения: - если даны мощности и время:

Если спрашивают КПД, используйте .

Если задача про рычаг в равновесии, используйте момент силы: .

Проверьте здравый смысл:

- при наличии трения (или меньше 100%) - выигрыш в силе обычно сопровождается проигрышем в пути

Краткая таблица-справка

| Механизм | Что даёт | Идеальный выигрыш в силе | Главная “плата” | |---|---|---:|---| | Рычаг | Изменяет силу через плечи | | Больший путь точки на большем плече | | Неподвижный блок | Меняет направление силы | | Нет выигрыша в силе | | Подвижный блок | Уменьшает нужную силу | | Нужно тянуть в 2 раза больше верёвки | | Наклонная плоскость | Уменьшает силу подъёма | | Длинный путь и потери на трение |

Что запомнить

Рычаг описывают через момент силы: .

Равновесие рычага: .

В идеальных механизмах работа сохраняется: .

Выигрыш в силе почти всегда означает проигрыш в расстоянии.

КПД: , и в реальности из-за потерь (главным образом трения).

Справочные ссылки

Рычаг

Момент силы

Блок (механика))

Наклонная плоскость

Коэффициент полезного действия