Математика для 5 класса

Натуральные числа и сравнение величин

Зачем это нужно

Натуральные числа — это основа почти всей школьной математики: мы считаем предметы, измеряем длину и массу, сравниваем результаты и делаем выводы. В этой теме ты научишься:

понимать, что такое натуральные числа и как они устроены;

правильно читать и записывать большие числа;

сравнивать числа и величины (длины, массы, время) и записывать сравнение с помощью знаков.

Натуральные числа

Натуральные числа — это числа, которыми считают предметы:

Важно помнить:

Натуральные числа начинаются с .

Число обычно не относят к натуральным в курсе 5 класса (его выделяют отдельно).

Как устроено натуральное число

Любое натуральное число записывают с помощью цифр .

Разряд и значение цифры

Одна и та же цифра может означать разное, в зависимости от места в числе.

Пример: в числе цифра означает пять сотен, а цифра — семь единиц.

Разряды (слева направо становятся “крупнее”):

| Разряд | Пример в числе 4 507 | Что означает | |---|---:|---| | Единицы | 7 | 7 единиц | | Десятки | 0 | 0 десятков | | Сотни | 5 | 5 сотен | | Тысячи | 4 | 4 тысячи |

Как читать большие числа

Чтобы удобно читать число, цифры справа налево делят на группы по три (это называют классами):

класс единиц (единицы, десятки, сотни)

класс тысяч

класс миллионов

Пример: читают так: двенадцать миллионов триста сорок пять тысяч шестьсот семьдесят восемь.

Числовой луч и порядок чисел

Представь луч, на котором отмечены числа. Чем правее точка, тем больше число.

!Числовой луч помогает понять, какое число больше: правее — больше

Отсюда следует правило:

из двух разных натуральных чисел больше то, которое стоит правее на числовом луче.

Сравнение натуральных чисел

Для сравнения используют знаки:

— “больше”

— “меньше”

— “равно”

Запись читают так: “ больше ”. Здесь и — это любые числа.

Способы сравнения чисел

#### Способ 1. По количеству цифр Если в одном числе цифр больше, то это число больше.

Примеры:

больше, чем , потому что в первом числе 4 цифры, а во втором 3.

#### Способ 2. По разрядам слева направо Если цифр поровну, сравнивают цифры слева направо.

Пример: сравним и .

Сравниваем десятки тысяч: и — равны.

Сравниваем тысячи: и — равны.

Сравниваем сотни: и . Так как , значит .

#### Важная осторожность про нули Ноль в середине числа “держит место разряда”.

Пример: и — это разные числа.

— “четыре тысячи пятьдесят”

— “четыреста пять”

И верно сравнение: .

Сравнение величин

Величина — это то, что можно измерить: длина, масса, время, объём.

Чтобы сравнить величины, нужно:

Убедиться, что величины одного вида (например, обе — длины).

Привести их к одним и тем же единицам измерения.

Сравнить получившиеся числа.

Длина

Часто используют:

- -

Пример: что больше — или ?

-

, значит .

Масса

Часто используют:

-

Пример: и :

-

, значит .

Время

Часто используют:

- -

Пример: что меньше — или ?

-

, значит .

Итоги

Натуральные числа: — числа для счёта.

Значение цифры зависит от её разряда.

Сравнивать числа можно по количеству цифр или по разрядам слева направо.

Сравнивая величины, сначала приводят их к одинаковым единицам измерения.

Сложение, вычитание, умножение и деление

Как эта тема связана с предыдущей

В прошлой теме ты научился работать с натуральными числами и сравнивать их: понимать разряды, читать большие числа, определять, какое число больше или меньше. Теперь мы будем выполнять с натуральными числами основные действия:

сложение;

вычитание;

умножение;

деление.

Эти действия помогают решать почти все задачи 5 класса: находить общую стоимость, расстояние, время, массу, количество предметов, а также проверять вычисления сравнением.

Сложение

Сложение — действие, которое отвечает на вопрос: сколько получится, если объединить два количества.

Пример: .

Как называют части при сложении

Запись читают так: к числу прибавили число и получили .

и — слагаемые (то, что складывают);

— сумма (результат).

Полезные свойства сложения

Эти правила помогают считать быстрее.

Переместительное свойство: от перестановки слагаемых сумма не меняется.

- Пример: .

Сочетательное свойство: если складываем несколько чисел, можно сначала сложить любые два.

- Пример: .

Приём “удобные слагаемые”

Иногда выгодно собрать круглое число.

Пример: .

удобно сначала сделать 50: ;

значит, к 27 «отдали» 2, осталось 25;

получаем .

!Сложение как движение вправо по числовому лучу

Вычитание

Вычитание — действие, которое отвечает на вопрос: сколько останется, если убрать часть или на сколько одно число больше другого.

Пример: .

Как называют части при вычитании

Запись читают так: из числа вычли число и получили .

— уменьшаемое (из него вычитают);

— вычитаемое (то, что вычитают);

— разность (результат).

Важная связь со сложением (проверка)

Если верно , то обязательно верно и .

Пример: если , то проверка: .

Вычитание “с переходом через разряд”

Иногда в разряде не хватает единиц, чтобы вычесть.

Пример: .

из 2 единиц нельзя вычесть 8, поэтому “занимаем” десяток;

но десятков 0, значит сначала “занимаем” у сотен;

такие примеры удобно считать в столбик.

Главная идея: ноль в записи числа “держит место разряда”, и при вычитании это важно (как и при сравнении чисел в прошлой теме).

!Вычитание как движение влево по числовому лучу

Умножение

Умножение — это удобный способ записать повторяющееся сложение одинаковых чисел.

Пример: означает, что число 4 взяли 3 раза:

.

Знак читают как “умножить”.

Как называют части при умножении

Запись .

и — множители;

— произведение.

Свойства умножения

Переместительное: .

- Пример: .

Сочетательное: .

Распределительное относительно сложения: можно умножать по частям.

- Пример: .

Умножение на 10, 100, 1000

Для натуральных чисел это особенно удобно.

умножить на 10 — приписать один ноль: ;

умножить на 100 — приписать два нуля: ;

умножить на 1000 — приписать три нуля: .

Это работает потому, что каждый следующий разряд в 10 раз больше предыдущего.

!Умножение как подсчёт клеток в прямоугольнике

Деление

Деление — действие, которое отвечает на два близких вопроса:

поровну: сколько будет у каждого, если разделить на равные части;

по сколько раз: сколько раз одно число “содержится” в другом.

Пример: .

Как называют части при делении

Запись .

— делимое;

— делитель;

— частное.

Связь деления с умножением (проверка)

Если верно , то обязательно верно .

Пример: если , то проверка: .

Деление с остатком

Иногда делимое не делится нацело.

Пример: .

— это максимум, который не превышает 17;

остаётся .

Тогда говорят: (остаток 2).

Важно:

остаток всегда меньше делителя;

проверка: (здесь 17 — делимое, 5 — делитель, 3 — частное, 2 — остаток).

Порядок выполнения действий

Когда в выражении несколько действий, важно выполнять их в правильном порядке.

Правило:

сначала действия в скобках;

затем умножение и деление (слева направо);

затем сложение и вычитание (слева направо).

Пример: .

сначала умножение: ;

затем вычитание: .

Если поставить скобки , результат изменится, потому что сначала выполнится вычитание.

Как оценивать результат, чтобы находить ошибки

Полезный школьный навык — быстро понимать, “похоже ли” число на правильное.

При сложении результат должен быть больше каждого слагаемого.

При вычитании разность должна быть меньше уменьшаемого.

При умножении на число больше 1 результат становится больше.

При делении на число больше 1 результат становится меньше делимого.

Также помогает округление.

Пример: , значит точный ответ должен быть около 600.

Итоги

Сложение объединяет количества, вычитание находит “сколько осталось” или “на сколько больше”.

Умножение — это повторяющееся сложение, деление — обратное действие к умножению.

Проверяй вычитание сложением, а деление — умножением.

Соблюдай порядок действий: скобки, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Полезные источники

Арифметика — Википедия

Порядок выполнения арифметических действий — Википедия

Делимость чисел и простые числа

Как эта тема связана с предыдущими

Раньше ты научился сравнивать натуральные числа и выполнять действия , , , , а также деление с остатком. Теперь мы разберём делимость — это помогает:

быстро понимать, делится ли число на другое без остатка;

находить делители и кратные;

разлагать числа на простые множители;

аккуратно выполнять вычисления и проверять ответы.

Делители и кратные

Делится ли число на другое

Говорят, что число делится на число , если при делении получается целое число и остаток равен нулю.

Удобная запись: .

символ читают как делит;

запись означает: является делителем .

Пример: , потому что и остатка нет.

Если число не делится нацело, пишут .

Делитель

Делитель числа — это натуральное число, на которое данное число делится без остатка.

Пример: делители числа 12:

1

2

3

4

6

12

Проверка: каждое из этих чисел делит 12 без остатка.

Кратное

Кратное числа — это число, которое получается при умножении данного числа на натуральное.

Пример: кратные числа 5:

- - -

Значит, 10 и 15 кратны 5.

Деление с остатком и делимость

Вспомним важную запись деления с остатком:

Здесь:

— делимое (то, что делим)

— делитель (на что делим)

— частное (сколько раз делитель поместился)

— остаток (что осталось)

Главное правило:

остаток всегда меньше делителя, то есть

Делимость — это частный случай, когда остаток равен нулю:

число делится на тогда и только тогда, когда в равенстве выше получилось

Пример: .

подходит , потому что

остаток

получаем , значит 29 не делится на 5.

Признаки делимости

Признаки делимости помогают не выполнять деление полностью.

Делимость на 2

Число делится на 2, если его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8.

Примеры:

246 делится на 2

135 не делится на 2

Делимость на 5

Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.

Примеры:

230 делится на 5

237 не делится на 5

Делимость на 10

Число делится на 10, если оно оканчивается на 0.

Пример: 4 120 делится на 10.

Делимость на 3

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Пример: 312.

сумма цифр:

6 делится на 3, значит 312 делится на 3

Делимость на 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Пример: 4 059.

сумма цифр:

18 делится на 9, значит 4 059 делится на 9

Делимость на 4

Число делится на 4, если число, составленное из двух последних цифр, делится на 4.

Пример: 1 236.

последние две цифры: 36

36 делится на 4, значит 1 236 делится на 4

Делимость на 6

Число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3.

Пример: 174.

на 2 делится, потому что оканчивается на 4

на 3 делится, потому что , а 12 делится на 3

значит 174 делится на 6

Простые и составные числа

Простое число

Простое число — это натуральное число больше 1, у которого ровно два делителя:

1

само это число

Примеры простых чисел:

2

3

5

7

11

Важно:

число 1 не является простым, потому что у него только один делитель (1)

Составное число

Составное число — это натуральное число больше 1, у которого делителей больше двух.

Пример: 12 — составное, потому что делители: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Разложение на простые множители

Любое составное число можно представить как произведение простых чисел. Это называется разложением на простые множители.

Пример: разложим 60.

(2 — простое число)

(2 — простое число)

(3 и 5 — простые числа)

Значит:

-

Такое разложение удобно, потому что сразу видно, на какие простые числа делится 60.

!Дерево разложения показывает шаги, как получить произведение простых чисел.

Как быстро находить простые числа

Чтобы искать простые числа до какого-то числа, используют идею решета Эратосфена: вычёркивают все числа, которые делятся на 2, потом на 3, потом на 5 и так далее. Невычёркнутые числа остаются простыми.

Эта идея полезна, чтобы понимать:

составные числа «обнаруживаются» по делимости;

простые числа — это те, которые не имеют делителей, кроме 1 и себя.

Итоги

означает: делит без остатка.

Делимость связана с делением с остатком: делится нацело, если остаток равен 0.

Признаки делимости помогают быстро проверять делимость на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10.

Простые числа имеют ровно два делителя, составные — больше двух.

Составное число можно разложить на произведение простых множителей.

Полезные источники

Делимость

Простое число

Решето Эратосфена

Обыкновенные дроби и смешанные числа

Как эта тема связана с предыдущими

В прошлых темах ты работал с натуральными числами: сравнивал их, выполнял действия , , , , узнавал про делимость и простые множители. Дроби продолжают эту линию: они помогают записывать числа, которые возникают при делении, когда не получается целое число, и удобно описывать часть от целого.

Что такое обыкновенная дробь

Обыкновенная дробь показывает, какая часть целого взята.

Запись дроби выглядит так: .

Здесь:

— числитель (сколько частей взяли)

— знаменатель (на сколько равных частей разделили целое)

Важно:

, потому что делить на ноль нельзя

в 5 классе обычно рассматривают дроби, где и — натуральные числа

!Иллюстрация смысла числителя и знаменателя на примере «кусочков пиццы»

Правильные и неправильные дроби

Правильная дробь

Дробь называют правильной, если числитель меньше знаменателя: . Тогда дробь меньше 1.

Пример: — правильная дробь.

Неправильная дробь

Дробь называют неправильной, если числитель больше или равен знаменателю: . Тогда дробь не меньше 1.

Примеры:

— больше 1

-

Равные дроби

Иногда одну и ту же часть можно записать по-разному. Такие дроби называют равными.

Пример: .

Почему так бывает:

если разделить целое на 2 части и взять 1 часть, получится половина

если разделить то же целое на 4 части и взять 2 части, это снова половина

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель умножить (или разделить) на одно и то же натуральное число, значение дроби не изменится:

Здесь:

— числитель исходной дроби

— знаменатель исходной дроби

— натуральное число, на которое мы умножаем и числитель, и знаменатель

Это свойство опирается на уже знакомые идеи умножения и деления.

Сокращение дробей

Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же число больше 1.

Пример: сократим .

Заметим, что 6 и 8 делятся на 2.

Делим числитель и знаменатель на 2: .

Как понять, на что можно делить:

полезно применять признаки делимости (на 2, 3, 5, 9 и другие) из предыдущей темы

Важно:

дробь считается несократимой, если у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме 1

Как сравнивать дроби

Если знаменатели равны

Больше та дробь, у которой больше числитель.

Пример: , потому что .

Если числители равны

Больше та дробь, у которой меньше знаменатель (потому что частей меньше, а значит каждая часть больше).

Пример: .

Если и числители, и знаменатели разные

Часто сравнивают так: приводят дроби к общему знаменателю (то есть делают знаменатели одинаковыми).

Пример: сравнить и .

Общий знаменатель можно взять 12 (он делится и на 3, и на 4).

Приводим к знаменателю 12: и .

Сравниваем: , значит .

Смешанные числа

Смешанное число — это запись числа, в которой есть целая часть и дробная часть.

Пример: читают как две целых и одна пятая.

Смысл:

-

число 2 показывает, сколько целых взяли

дробь показывает, какую часть от ещё одного целого добавили

!Иллюстрация смешанного числа как «2 целых и ещё кусочек»

Как перевести неправильную дробь в смешанное число

Нужно разделить числитель на знаменатель.

Пример: переведём .

Делим 17 на 5: получаем (остаток 2).

Целая часть — это 3.

Дробная часть — (остаток в числитель, знаменатель тот же).

Ответ: .

Проверка через запись деления с остатком из прошлой темы:

Здесь:

17 — исходный числитель

5 — знаменатель

3 — целая часть

2 — числитель дробной части

Как перевести смешанное число в неправильную дробь

Нужно:

умножить целую часть на знаменатель

прибавить числитель

результат записать в числитель, а знаменатель оставить тем же

Пример: переведём в неправильную дробь.

умножаем:

прибавляем числитель:

получаем

То есть .

Дробь как результат деления

Обыкновенная дробь напрямую связана с делением:

запись можно понимать как результат деления

Пример: — это то же самое, что 3 поделить на 4 равные части.

Итоги

Обыкновенная дробь показывает часть целого: — сколько частей взяли, — на сколько частей разделили.

Дроби могут быть правильными () и неправильными ().

Равные дроби получают умножением или делением числителя и знаменателя на одно и то же число.

Сокращение дроби связано с делимостью: числитель и знаменатель делят на общий делитель.

Неправильную дробь можно перевести в смешанное число делением с остатком и обратно.

Полезные источники

Дробь (математика)

Обыкновенная дробь

Смешанное число

Десятичные дроби и округление

Как эта тема связана с предыдущими

Раньше ты изучил обыкновенные дроби и смешанные числа, а также деление с остатком. Десятичные дроби — это ещё один способ записывать части целого, особенно удобный, когда целое делят на 10, 100, 1000 равных частей. Округление помогает быстро получать приближённые ответы и проверять вычисления.

Что такое десятичная дробь

Десятичная дробь — это число, в записи которого есть целая часть и дробная часть, отделённые запятой.

Примеры:

читают как три целых семь десятых

читают как ноль целых двадцать пять сотых

Запятая показывает границу между:

целой частью (слева)

дробной частью (справа)

Разряды после запятой

После запятой разряды уменьшаются в 10 раз на каждом шаге.

| Разряд | Как называется цифра в этом разряде | Какую часть единицы это означает | |---|---|---| | 1-й знак после запятой | десятые | | | 2-й знак после запятой | сотые | | | 3-й знак после запятой | тысячные | |

Пример: число .

5 — целая часть (пять целых)

2 — десятые (две десятых)

0 — сотые (ноль сотых)

3 — тысячные (три тысячных)

!Схема разрядов в десятичной дроби

Связь десятичной дроби с обыкновенной

Если знаменатель обыкновенной дроби — 10, 100, 1000 и так далее, её удобно записать десятичной.

Пример 1:

— это 7 частей из 10 равных частей

десятичная запись: (7 стоит в разряде десятых)

Пример 2:

— это 25 частей из 100 равных частей

десятичная запись: (2 — десятые, 5 — сотые)

Обратно тоже можно: десятичную дробь можно представить как обыкновенную.

Пример:

-

Здесь 25 — это число, полученное из цифр после запятой, а 100 — потому что после запятой две цифры, то есть это сотые.

Нули в десятичных дробях

Ноль слева от запятой

Запись означает, что целых нет, есть только дробная часть.

Ноль справа в конце дробной части

Записи и обозначают одно и то же число.

Причина: цифра 0 в конце показывает, что сотых ноль, значение числа не меняется.

Сравнение десятичных дробей

Сравнивать десятичные дроби удобно так же, как натуральные числа: по разрядам слева направо.

Правило сравнения:

Сравни целые части.

Если целые части равны, сравни десятые.

Если равны десятые — сравни сотые, потом тысячные и так далее.

Важно: если в одном числе меньше знаков после запятой, можно дописать нули справа.

Пример: сравним и .

Целые части равны (2 и 2).

Сравним десятые: у десятые — 7, у десятые — 6.

Так как , то .

Пример с дописыванием нулей: и равны.

Десятичные дроби в задачах про величины

Десятичные дроби часто встречаются в измерениях и деньгах.

Примеры:

м — это 1 метр и ещё половина метра

12,30 руб. — это 12 рублей 30 копеек

Когда сравниваешь величины, сначала приводи к одним единицам (это правило ты уже использовал в теме про сравнение величин), а потом сравни числа.

Округление чисел

Округление — это замена числа близким к нему числом, чтобы считать и оценивать проще.

Округлять можно:

до целых (единиц)

до десятых

до сотых

Как округлять

Чтобы округлить до выбранного разряда, смотри на следующую цифру справа.

Правило:

если следующая цифра 0, 1, 2, 3 или 4 — оставляем как есть

если следующая цифра 5, 6, 7, 8 или 9 — увеличиваем последнюю оставленную цифру на 1

Примеры округления

Округлим до десятых.

До десятых — значит, оставляем одну цифру после запятой: 7.

Следующая цифра (сотые) — 3.

Так как , получаем .

Округлим до десятых.

Оставляем десятые: 7.

Следующая цифра — 8.

Так как , увеличиваем 7 на 1, получаем .

Округлим до целых.

До целых — значит, оставляем 19.

Следующая цифра (десятые) — 9.

Так как , получаем 20.

Зачем нужно округление

Округление полезно в двух частых ситуациях.

Чтобы оценить результат и заметить ошибку.

Чтобы записать измерение, когда точность не важна.

Пример оценки: .

округлим до целых:

значит точный ответ должен быть около 61

Итоги

Десятичная дробь записывает части целого через разряды: десятые, сотые, тысячные.

Записи с нулём справа (например, и ) обозначают одно и то же число.

Сравнивают десятичные дроби по разрядам, при необходимости дописывая нули справа.

Округление выполняют по следующей цифре: 0–4 не меняет, 5–9 увеличивает.

Полезные источники

Десятичная дробь

Округление

Геометрические фигуры, периметр и площадь

Как эта тема связана с предыдущими

Раньше ты работал с натуральными числами, действиями , , , , дробями и десятичными дробями, а также учился сравнивать величины и переводить единицы измерения. В геометрии эти навыки нужны постоянно:

длины сторон складывают, чтобы найти периметр;

умножение помогает находить площадь прямоугольника;

десятичные дроби встречаются в измерениях (например, м);

сравнение и перевод единиц нужны, чтобы правильно записывать ответ.

Геометрические фигуры и их элементы

Геометрические фигуры — это объекты, которые мы изучаем по форме и размерам.

Точка, отрезок, луч

Точка — это «место» на плоскости, у неё нет длины.

Отрезок — часть прямой между двумя точками. У отрезка есть длина.

Луч — начинается в одной точке и продолжается бесконечно в одну сторону.

!Точка, отрезок и луч

Угол

Угол образуют два луча с общим началом.

общее начало лучей — вершина угла;

лучи — стороны угла.

Многоугольники

Многоугольник — фигура, составленная из отрезков, которые образуют замкнутую ломаную.

У многоугольника есть:

стороны (отрезки);

вершины (точки соединения сторон);

углы.

Треугольник

Треугольник — многоугольник с тремя сторонами.

Прямоугольник

Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые (по ). У него:

противоположные стороны равны;

обычно стороны называют: одна длина , другая длина .

Квадрат

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Периметр

Периметр — это сумма длин всех сторон фигуры.

Периметр обозначают буквой .

Единицы измерения периметра

Периметр — это длина, поэтому его измеряют в единицах длины:

мм, см, дм, м, км.

Как находить периметр

#### Периметр многоугольника Нужно сложить длины всех его сторон.

Пример: если у треугольника стороны 3 см, 5 см и 6 см, то

Здесь:

— периметр;

числа 3, 5, 6 — длины сторон в сантиметрах.

#### Периметр прямоугольника У прямоугольника две стороны длины и две стороны длины , поэтому

Здесь:

— периметр прямоугольника;

— длина одной стороны;

— длина другой стороны;

— сумма двух разных сторон;

означает, что таких пар сторон две.

!Прямоугольник со сторонами a и b и формулой периметра

#### Периметр квадрата У квадрата все 4 стороны равны , поэтому

Здесь:

— периметр квадрата;

— длина стороны;

означает «взять четыре раза».

Площадь

Площадь показывает, какую часть плоскости занимает фигура.

Площадь обозначают буквой .

Единицы измерения площади

Площадь измеряют в квадратных единицах:

(квадратный сантиметр)

(квадратный метр)

(квадратный километр)

Важно: — это площадь квадрата со стороной 1 м.

Как понимать площадь через «клетки»

Если фигура нарисована на клетчатой бумаге, можно:

считать, сколько клеток она занимает;

если клетка — это , то число клеток и будет площадью в .

!Площадь как подсчёт клеток

Площадь прямоугольника

Если стороны прямоугольника равны и , то

Здесь:

— площадь;

и — длины сторон (в одних и тех же единицах, например в см);

— произведение чисел и .

Почему это работает: прямоугольник можно «заполнить» квадратами , и их количество получается как «рядов по », то есть умножение.

Площадь квадрата

У квадрата сторона , значит он прямоугольник, у которого . Тогда

Здесь:

— площадь квадрата;

— сторона квадрата;

читают как «а в квадрате» и понимают как .

Перевод единиц площади

С переводом площади важно помнить: при переходе от метров к сантиметрам меняется не в 100 раз, а в раз, потому что площадь двумерная.

-

значит,

Как не ошибаться в задачах

Полезные привычки (они опираются на прошлые темы про вычисления и сравнение величин):

Все длины приводи к одним единицам перед тем, как складывать или умножать.

Проверяй «похожесть» ответа:

1. периметр прямоугольника должен быть больше любой его стороны; 2. площадь прямоугольника должна быть больше, чем и , если и .

Если числа десятичные, можно прикинуть округлением (например, ).

Итоги

Периметр — сумма длин сторон, измеряется в мм, см, м и т.д.

Площадь — «сколько места занимает фигура», измеряется в , и т.д.

Прямоугольник: и .

Квадрат: и .

Перед вычислениями важно приводить величины к одним единицам.

Полезные источники

Многоугольник

Периметр

Площадь

Прямоугольник

Квадрат

Текстовые задачи, диаграммы и таблицы

Как эта тема связана с предыдущими

В прошлых темах ты научился:

сравнивать натуральные числа и величины;

выполнять действия , , , и соблюдать порядок действий;

работать с обыкновенными и десятичными дробями;

находить периметр и площадь.

Теперь эти умения мы будем применять в текстовых задачах — задачах, где математика спрятана в описании ситуации. Чтобы не запутаться, часто используют таблицы и диаграммы: они помогают увидеть данные, связи и быстрее выбрать нужные действия.

Что такое текстовая задача

Текстовая задача — это задача, где дано описание ситуации словами, а решить нужно с помощью вычислений.

В текстовой задаче обычно есть:

дано (известные числа и условия);

вопрос (что нужно найти);

связи между величинами (например, “цена, количество, стоимость”).

Главная трудность текстовых задач: нужно перевести слова в математический план.

Универсальный план решения текстовой задачи

Этим планом удобно пользоваться почти всегда.

Прочитай задачу 1–2 раза и скажи вслух, о чём она.

Выпиши данные числа и подпиши, что они означают (см, кг, руб., шт.).

Определи, что нужно найти, и в каких единицах должен быть ответ.

Выясни, какие действия подходят:

- если “стало вместе”, “всего” — часто сложение; - если “на сколько больше/меньше”, “осталось” — часто вычитание; - если “по … одинаково”, “несколько раз” — умножение; - если “поровну”, “в … раз меньше”, “разделили” — деление.

Составь выражение или несколько выражений по шагам.

Сделай проверку:

- оценкой (округлением) или рассуждением “похоже ли на правду”; - обратным действием (как ты делал в теме про проверку вычислений).

!Алгоритм решения текстовой задачи

Ключевые “сюжеты” задач и как их распознавать

Цена, количество, стоимость

Если известны цена и количество, стоимость находят умножением:

-

Здесь:

цена — сколько стоит 1 предмет (например, 12 руб. за тетрадь);

количество — сколько предметов купили;

стоимость — сколько заплатили всего.

Если известна стоимость и цена, количество находят делением:

-

Если известны стоимость и количество, цену находят делением:

-

Важно: перед вычислением проверь единицы (рубли, штуки) и подумай, должен ли ответ быть целым.

Движение: скорость, время, расстояние

В 5 классе часто решают задачи на путь с простой связью:

-

Здесь:

скорость — сколько проходит за 1 час или за 1 минуту (например, км/ч);

время — сколько длилось движение (например, ч);

расстояние — сколько прошли или проехали (например, км).

Как и в задачах на величины раньше, сначала приводи к одним единицам (например, всё в минутах или всё в часах).

Периметр и площадь в задачах

Если задача про ограждение участка, рамку или ленту по краю — это обычно периметр (сумма сторон).

Если задача про “сколько нужно плитки/краски/травы на поверхность” — это обычно площадь.

Ты уже знаешь:

для прямоугольника , где и — длины его сторон;

для прямоугольника .

Как делать короткую запись и схему

Короткая запись

Короткая запись помогает не держать всё в голове.

Пример (без решения):

Тетради — 6 шт. по 12 руб.

Альбомы — 3 шт. по 25 руб.

Всего заплатили — ? руб.

После такой записи легче увидеть, что нужно два раза умножить и потом сложить.

Схема-отрезок (полоска)

Схема-отрезок помогает, когда в задаче сравнивают части: “больше на…”, “меньше на…”, “осталось”.

!Схема-отрезок для задач на увеличение и уменьшение

Таблицы в задачах

Таблица — удобный способ хранить и сравнивать данные: что относится к чему.

Как читать таблицу

Всегда уточняй:

что означает каждая строка;

что означает каждый столбец;

в каких единицах записаны числа.

Типичная “трёхколоночная” таблица

Особенно полезна в задачах “цена–количество–стоимость”, “скорость–время–расстояние”.

Пример структуры:

| Величина | 1-й объект | 2-й объект | |---|---:|---:| | Цена (руб.) | 12 | 25 | | Количество (шт.) | 6 | 3 | | Стоимость (руб.) | ? | ? |

Дальше ты заполняешь неизвестные клетки по смыслу задачи.

Важная проверка по таблице

Если ты нашёл значение в одной клетке, спроси себя:

“Это число должно быть больше или меньше исходных?”

“Подходят ли единицы?”

Например, стоимость обычно больше цены, если предметов больше одного.

Диаграммы в задачах

Диаграмма — это рисунок, который показывает данные наглядно. В 5 классе чаще всего встречаются:

столбчатая диаграмма (удобно сравнивать);

круговая диаграмма (удобно показывать части от целого).

Столбчатая диаграмма

У неё есть:

ось (или шкала) с числами;

столбцы, высота которых показывает значение.

Как решать задачи по столбчатой диаграмме:

Проверь, что показывает шкала (например, шаг 5 или шаг 10).

Считай значение каждого столбца.

Делай нужные действия: сложение для “всего”, вычитание для “на сколько больше”.

!Пример столбчатой диаграммы и чтения значений

Круговая диаграмма

Круговая диаграмма показывает, как целое поделено на части.

Чтобы решать задачи по ней, важно понимать:

весь круг — это “всё” (например, весь класс или весь бюджет);

сектор — часть целого (например, сколько учеников выбрало кружок).

Иногда дают проценты. В 5 классе можно решать и без формул, если числа “удобные”.

Пример рассуждения:

если сектор — половина круга, то это от целого;

если сектор — четверть круга, то это от целого.

Связь с прошлой темой про дроби: круговая диаграмма — это визуальная “доля” (обыкновенная дробь) от целого.

Типичные ошибки и как их избегать

Не те единицы.

- Например, смешали метры и сантиметры. - Решение: приводи к одним единицам до вычислений.

Перепутали “на сколько” и “во сколько раз”.

- “На сколько больше” — вычитание. - “Во сколько раз больше” — деление.

Сложили там, где нужно умножить.

- “Купили 6 тетрадей по 12 руб.” — это не .

Не проверили правдоподобие ответа.

- Быстрая оценка округлением (из темы про округление) часто спасает.

Итоги

Текстовая задача решается легче, если делать короткую запись, таблицу или схему.

Таблицы помогают не путать величины и единицы.

Столбчатые диаграммы удобны для сравнения, круговые — для частей от целого.

Всегда проверяй: единицы, смысл действий и “похожесть” ответа.

Полезные источники

Таблица

Диаграмма

Столбчатая диаграмма

Круговая диаграмма