Математика с нуля для 10–11 класса (СПО)

База: числа, выражения, уравнения и неравенства

Зачем нужна эта база

В 10–11 классе и в СПО математика часто выглядит как набор «правил и формул». На самом деле почти всё строится на четырёх кирпичах:

числа и действия с ними

алгебраические выражения и преобразования

уравнения (когда ищем значение неизвестного)

неравенства (когда ищем диапазон значений)

Эта статья — стартовая. Дальше на этих идеях будут держаться функции, графики, тригонометрия, производная и элементы статистики.

Числа и их «миры»

В математике удобно разделять числа на наборы (множества). Это помогает понимать, какие действия допустимы и какие ответы возможны.

| Название | Обозначение | Что это | Пример | |---|---|---|---| | Натуральные | | числа для счёта | | | Целые | | натуральные, ноль и отрицательные | | | Рациональные | | дроби вида | | | Вещественные | | все числа на числовой прямой | |

Пояснение к записи :

— целое число (числитель)

— целое число (знаменатель), при этом (на ноль делить нельзя)

Числовая прямая и порядок

На числовой прямой левее — меньше, правее — больше. Это лежит в основе сравнения и неравенств.

!Числовая прямая показывает, как сравнивать числа по расположению

Модуль

Модуль числа — это расстояние от числа до нуля.

Строчная формула читается как «модуль »:

— число

вертикальные черты означают модуль

Примеры:

- - -

Важно: модуль всегда неотрицательный.

Действия с числами и приоритет операций

Базовые правила

Сложение и умножение переставлять можно: ,

У умножения есть распределительное свойство:

Деление на ноль запрещено

Порядок действий

Если в выражении нет скобок, то сначала выполняют:

степени и корни

умножение и деление (слева направо)

сложение и вычитание (слева направо)

Пример (без подробных преобразований в одну строку):

в сначала умножение , потом сложение

Алгебраические выражения

Выражение — это запись из чисел, букв и знаков действий.

Примеры:

- - -

Здесь буквы (, ) называют переменными — они могут принимать разные значения.

Подстановка значения

Если дано выражение и сказано, что , то мы заменяем на и считаем.

Смысл записи :

— переменная

знак означает «равно»

— значение переменной

Упрощение выражений

Главная цель — сделать выражение короче и удобнее, но не менять его смысл.

Типичные приёмы:

раскрытие скобок:

вынесение общего множителя:

приведение подобных:

Подобные слагаемые — это такие, у которых одинаковая «буквенная часть». Например, и подобные, а и — нет.

Уравнения

Уравнение — это равенство, где нужно найти значение переменной.

Пример: .

— левая часть

— правая часть

нужно найти , при котором равенство верно

Основной принцип решения

Можно делать одно и то же действие с обеими частями уравнения — равенство сохранится.

Например, из можно вычесть с обеих сторон:

Пояснение к формуле:

— это (умножение)

и — добавили и убрали одно и то же число

справа сделали то же самое, чтобы равенство осталось верным

Дальше получится , затем делим обе части на и получаем .

Проверка корня

Корень уравнения — это значение переменной, при котором уравнение верно.

Проверка делается подстановкой: если после подстановки получается верное числовое равенство, то ответ подходит.

Частые ошибки

деление на выражение, которое может быть нулём (например, «сократить на », не уточнив, что )

потеря знака минус при переносе

неверное раскрытие скобок: это

Неравенства

Неравенство сравнивает выражения знаком , , , .

Пример: .

означает «больше или равно»

задача — найти все , при которых это верно

Правило, которое важно помнить

Если умножить или разделить обе части неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Пример:

Если разделить обе части на , получим (знак поменялся на ).

Пояснение:

— отрицательное число

из-за этого направление сравнения меняется

Запись ответа: интервалы

Решения неравенств часто записывают в виде промежутков.

Примеры обозначений:

означает, что больше 3

в интервале это

Смысл записи :

круглая скобка у 3 означает, что 3 не входит

— «сколько угодно большое число», это не число, поэтому всегда круглая скобка

Для запись будет — квадратная скобка означает, что 3 входит.

Короткое резюме

Числа бывают разных типов:

Выражения упрощают по правилам действий и свойствам (скобки, подобные, вынесение множителя)

Уравнение решают, выполняя одинаковые действия с обеими частями и проверяя ответ

В неравенствах при делении/умножении на отрицательное число знак меняется

В следующих темах мы будем применять всё это к функциям и их графикам: там выражения становятся формулами, уравнения — точками пересечения, а неравенства — областями на координатной плоскости.

Функции и графики: свойства и преобразования

Как это связано с прошлой темой

В прошлой статье мы разобрали числа, выражения, уравнения и неравенства. Теперь делаем следующий шаг:

выражение с переменной превращается в формулу функции (например, )

уравнение вида на графике выглядит как точки пересечения

неравенство вида на графике выглядит как область, где один график выше другого

Функции и графики — это язык, на котором дальше будут объясняться производная, тригонометрия, экономические задачи и статистические модели.

Что такое функция

Функция — это правило, которое каждому допустимому значению ставит в соответствие ровно одно значение .

Чаще всего пишут так: .

Разберём запись :

— аргумент (вход, то что мы выбираем)

— имя функции (правило)

— значение функции при данном (выход)

— другое обозначение выхода, то есть

Пример: .

если , то

если , то

Область определения и множество значений

У функции есть два ключевых «набора» значений.

Область определения — все , для которых правило имеет смысл

Множество значений — все возможные значения , которые реально получаются

Примеры ограничений (почему иногда нельзя брать любые ):

деление на ноль запрещено, поэтому в нельзя

квадратный корень из отрицательного числа (в вещественных числах) не определён, поэтому в нужно

График функции

График функции — это все точки плоскости с координатами , где .

Разбор точки :

— координата по горизонтали

— координата по вертикали

!Координатная плоскость и примеры точек

Как построить график «вручную»

Идея простая: выбрать несколько значений , посчитать , нанести точки, соединить плавно (если это уместно).

Пример: .

берём , получаем (точка )

берём , получаем (точка )

через две точки проходит прямая, значит график — прямая линия

Основные типы функций (самые нужные в школе и СПО)

| Функция | Формула | Как выглядит график | Важное ограничение | |---|---|---|---| | Линейная | | прямая | определена при всех | | Квадратичная | | парабола | определена при всех | | Модуль | | «галочка» | определена при всех | | Обратная пропорциональность | | две ветви | | | Корень | | начинается в | |

Пояснение к формуле :

— коэффициент наклона (как быстро растёт/убывает)

— значение при (пересечение с осью )

Как извлекать информацию из графика

Пересечения с осями

пересечение с осью находится при

пересечение с осью находится при , то есть решаем уравнение

Пример: .

с : при получаем

с : при получаем , откуда

Пояснение к :

— дробь, потому что прямая может пересекать ось не в целой точке

Где функция больше/меньше нуля

там, где график выше оси

там, где график ниже оси

Это напрямую связывает неравенства из прошлой темы с картинкой на плоскости.

Возрастание и убывание

Функция:

возрастает, если при увеличении значения в целом идут вверх

убывает, если при увеличении значения в целом идут вниз

Важно: «в целом» означает на некотором промежутке, например на .

Чётность и нечётность

Эти свойства удобны, потому что позволяют понимать симметрию графика.

функция чётная, если для всех допустимых

функция нечётная, если для всех допустимых

Пояснение к :

это значение функции, куда вместо аргумента подставили число

Геометрический смысл:

чётная функция симметрична относительно оси

нечётная функция симметрична относительно начала координат

Примеры:

— чётная, потому что

— нечётная, потому что

Преобразования графиков: самый полезный инструмент

Обычно новый график получают из известного с помощью сдвигов, растяжений и отражений.

Пусть есть базовая функция .

Сдвиги

1) Сдвиг вправо/влево:

— число

если , график сдвигается вправо на

если , график сдвигается влево на

Почему так: чтобы получить то же значение , теперь нужно взять аргумент на больше.

2) Сдвиг вверх/вниз:

— число

если , график поднимается вверх на

если , опускается вниз на

Растяжение и сжатие

1) Вертикальное растяжение/сжатие:

— число

если , график растягивается по вертикали

если , график сжимается по вертикали

если , дополнительно происходит отражение относительно оси

2) Горизонтальное растяжение/сжатие:

— число

если , график сжимается по горизонтали

если , график растягивается по горизонтали

Это правило часто путают: множитель стоит внутри аргумента, поэтому эффект обратный привычному.

Отражения

относительно оси :

относительно оси :

Пояснение:

минус перед меняет знак всех значений

минус внутри аргумента меняет местами правую и левую части графика

Модуль как преобразование

1)

все участки, которые были ниже оси , «поднимаются» вверх (становятся положительными)

2)

правая часть графика (при ) отражается влево и становится левой частью

!Сдвиги параболы вправо и вверх

Как графики помогают решать уравнения и неравенства

Уравнение как пересечение

Уравнение означает: найти все , при которых значения функций равны.

На графике это означает: найти точки пересечения графиков и , а затем взять их -координаты.

Пример смысла (без громоздких вычислений):

уравнение — это пересечение параболы и прямой

Неравенство как «выше/ниже»

Неравенство означает:

найти все , где график расположен не ниже графика

Это особенно полезно, когда выражения сложные, а график можно понять по преобразованиям.

Короткое резюме

функция связывает аргумент и значение по правилу

график — это множество точек , где

область определения отвечает на вопрос «какие можно подставлять»

по графику можно видеть нули, знаки, возрастание/убывание, симметрии

преобразования , , , , , быстро строят новые графики из известных

уравнения — это пересечения графиков, неравенства — области «выше/ниже»

Полезные источники (по желанию)

Википедия: Функция (математика))

Википедия: Декартова система координат

Khan Academy: Функции

Тригонометрия: формулы и решение уравнений

Как это продолжает тему функций и графиков

В прошлой статье мы обсуждали функции как правило и учились читать их графики. Тригонометрия — это следующий важный набор функций:

- - -

Они описывают периодические процессы: колебания, вращение, волны, переменный ток. А в задачах 10–11 класса чаще всего нужно:

знать основные тригонометрические формулы

уметь решать простейшие тригонометрические уравнения

понимать графики , , и преобразования графиков (как в прошлой теме)

Углы: градусы и радианы

Угол можно измерять в градусах и радианах.

— это развернутый угол (половина полного оборота)

полный оборот —

В тригонометрии почти всегда используют радианы.

Связь между градусами и радианами:

Пояснение:

— число градусов

— число примерно

знак означает, что это один и тот же угол, только в разных единицах

Отсюда формулы перевода:

Пояснение к первой формуле:

— угол в радианах

— угол в градусах

— коэффициент перевода (потому что соответствует )

Единичная окружность: где живут и

Главная картинка тригонометрии — единичная окружность.

Единичная окружность — это окружность радиуса с центром в начале координат.

!Единичная окружность: точка на окружности имеет координаты (cos x, sin x)

Если точка на единичной окружности соответствует углу , то:

Пояснение:

— координаты точки

— координата по оси (горизонталь)

— координата по оси (вертикаль)

Отсюда сразу видно важное:

- -

Потому что на окружности радиуса координаты не могут быть больше по модулю.

Тригонометрические функции

Синус и косинус

— показывает вертикальную координату точки на единичной окружности

— показывает горизонтальную координату точки на единичной окружности

Обе функции определены при любых .

Тангенс

Тангенс выражают через синус и косинус:

Пояснение:

— значение тангенса

— значение синуса того же угла

— значение косинуса того же угла

дробь означает деление, поэтому важно, чтобы знаменатель не был нулём

Значит, не определён, если .

На единичной окружности при:

Пояснение:

— угол

— пол-оборота

— любое целое число ()

Основные значения (таблица, которую полезно выучить)

Чаще всего в задачах встречаются углы , , , , .

| | | | | | | |---|---:|---:|---:|---:|---:| | | | | | | | | | | | | | |

Пояснение:

и — числа, квадрат которых равен и

дроби вроде — нормальная форма записи точных значений

Базовые тригонометрические формулы (тождества)

Тождество — это равенство, верное при всех допустимых .

Основное тождество

Пояснение:

означает (квадрат значения синуса)

означает

сумма квадратов равна из-за единичной окружности:

Связь тангенса с синусом и косинусом

Это уже было выше: формула одновременно и определение, и способ преобразований.

Чётность и нечётность (симметрия, как в теме про функции)

Пояснение:

— угол, повернутый в противоположную сторону

синус меняет знак (функция нечётная)

косинус знак не меняет (функция чётная)

Периодичность

Пояснение:

— полный оборот

после полного оборота точка на окружности возвращается туда же

Графики , , и их свойства

!Графики синуса и косинуса помогают видеть период и ключевые точки

Что полезно помнить (связь с темой про функции и графики):

у и значения всегда между и

период у них (график повторяется каждые )

у есть разрывы там, где

Как применять преобразования графиков

Как и раньше, удобно рассматривать базовую функцию и делать преобразования.

Пример для синуса:

Пояснение:

— растяжение по вертикали (амплитуда равна )

— влияет на период: чем больше , тем чаще повторяется график

— сдвиг вверх или вниз

Период синуса в этой записи:

Пояснение:

— длина одного полного повторения по оси

— период обычного

деление на отражает горизонтальное сжатие/растяжение (аналогично теме про )

Решение простейших тригонометрических уравнений

Тригонометрическое уравнение — это уравнение, где неизвестная стоит внутри , , .

Главная идея такая же, как в теме про уравнения:

найти все , при которых равенство верно

записать ответ аккуратно (обычно получается бесконечно много решений)

Уравнение

Если не лежит в диапазоне , решений нет.

Если решения есть, то обычно находят два угла на одном периоде и затем добавляют полный оборот.

Общая запись решений часто выглядит так:

Пояснение:

и — найденные решения на одном круге (например, на )

— добавляем любое целое число полных оборотов

означает, что — целое число

Уравнение

Идея та же: найти решения на одном периоде и добавить .

Уравнение

У тангенса период меньше:

Пояснение:

— пол-оборота

тангенс повторяется каждые

Поэтому решения часто записывают так:

Пояснение:

— один любой угол, где

— прибавляем целое число периодов

Уравнения, которые сводятся к простейшим

Часто тригонометрическое уравнение сначала преобразуют по формулам, а затем решают как простейшее.

Пример: используем основное тождество

Решим уравнение:

Шаги:

Переносим вправо:

Пояснение:

сделали одинаковое действие с обеими частями уравнения (как в базовой теме)

Делим обе части на :

Из квадратов получаем два случая:

Пояснение:

если , то

Дальше каждое из двух простейших уравнений решают по единичной окружности.

Пример: уравнение на отрезке

Решим:

На единичной окружности достигается в двух точках за один оборот:

Пояснение:

— это

— это

на отрезке других решений нет

Если бы нужен был ответ для всех , дописали бы к каждому корню.

Короткий алгоритм решения тригонометрических уравнений

Упростить уравнение: раскрыть скобки, перенести, привести подобное.

Учесть область допустимых значений, если есть деление (например, для важно ).

Свести к базовому виду , или .

Найти решения на одном периоде (обычно по единичной окружности).

Записать общий ответ с или отобрать корни на нужном промежутке.

Короткое резюме

и удобно понимать через единичную окружность:

всегда верно тождество

и не определён там, где

и имеют период , а — период

тригонометрические уравнения обычно решают так: сводят к простейшим и записывают все решения через добавление периода

Полезные источники (по желанию)

[Википедия: Тригонометрические функции

Википедия: Радиан

Википедия: Единичная окружность

Степени, корни, логарифмы и показательные функции

Как эта тема связана с предыдущими

В теме про выражения, уравнения и неравенства мы учились преобразовывать записи и аккуратно работать с ограничениями вроде деления на ноль. В теме про функции и графики мы научились видеть смысл формулы как зависимости и понимать преобразования графиков.

Теперь добавляем четыре инструмента, которые постоянно встречаются в 10–11 классе и в СПО:

степени (быстрое умножение одинаковых множителей и удобный язык для больших/малых чисел)

корни (обратная операция к возведению в степень)

логарифмы (обратная операция к показательной функции)

показательная функция и логарифмическая функция (важные типы функций с характерными графиками)

Степени

Что означает степень

Запись означает: число умножается само на себя раз.

Пояснение к записи:

— основание степени (какое число повторяем)

— показатель степени (сколько раз повторяем умножение)

— знак умножения

фигурная подпись говорит, что множителей ровно

Пример: .

Основные свойства степеней

Эти правила работают, когда выражения определены (например, нельзя делить на ноль).

| Правило | Формула | Как читать | Важно помнить | |---|---|---|---| | Умножение степеней с одинаковым основанием | | показатели складываются | основание одинаковое | | Деление степеней с одинаковым основанием | | показатели вычитаются | | | Степень степени | | показатели перемножаются | скобки важны | | Степень произведения | | степень «распределяется» | удобно при разложении | | Нулевая степень | | любое ненулевое в нулевой — 1 | | | Отрицательная степень | | перенос в знаменатель | |

Пояснение к формуле :

— дробь, то есть деление

— числитель

— знаменатель

условие нужно, потому что на ноль делить нельзя

Типичная ошибка: путать и .

(минус входит в основание, потому что в скобках)

(сначала степень, потом минус)

Корни

Квадратный корень

Квадратный корень из — это неотрицательное число, квадрат которого равен .

Пояснение:

— знак квадратного корня

— число под корнем

— результат (какое число ищем)

означает, что берём именно неотрицательный корень

— квадрат числа , то есть

Пример: , а не , потому что квадратный корень по определению неотрицательный.

Когда корень имеет смысл (в вещественных числах)

определён, если

выражение вида определено, если , то есть

Это напрямую связывает корни с темой про область определения функции.

Свойства корней

Если и , то:

-

при

Важно: эти правила безопаснее применять, когда подкоренные выражения неотрицательны.

Степень с дробным показателем

Корни удобно записывать через дробные степени.

Пояснение:

— натуральное число (обычно )

— корень -й степени

И более общий вариант:

Пояснение:

— числитель дроби (какую степень берём)

— знаменатель (какой корень берём)

Практический смысл: — это “сначала квадрат, потом кубический корень” или “сначала кубический корень, потом квадрат”.

Показательная функция

Определение

Показательная функция — это функция вида .

Пояснение:

— значение функции

— аргумент

— основание (фиксированное число)

Обычно рассматривают и :

нужно, чтобы степенная запись была корректной для любых вещественных

, потому что — слишком “плоский” случай

Основные свойства

Если , то :

определена при всех

всегда положительна:

возрастает: чем больше , тем больше

Если , то :

тоже определена при всех

всегда положительна

убывает

Опорные точки (удобны для построения):

при : , значит точка всегда на графике

при : , значит точка тоже на графике

!Сравнение возрастающей и убывающей показательных функций и их опорных точек

Как решают простейшие показательные уравнения

Пример идеи: решить .

слева основание

справа число можно представить как степень двойки:

Тогда получаем , а значит .

Важно: если основания одинаковые и положительные (и не равны 1), то равенство степеней означает равенство показателей.

Логарифмы

Определение логарифма

Логарифм отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить данное число.

Пояснение:

читается как “логарифм числа по основанию ”

— основание логарифма

— число, логарифм которого берём

— результат (показатель степени)

Условия существования (в вещественных числах):

(основание положительное)

(иначе функция вырождается)

(логарифм берём только от положительного числа)

Пример: , потому что .

Основные свойства логарифмов

Все формулы ниже предполагают, что выражения определены (в частности, аргументы логарифмов положительны).

| Свойство | Формула | Смысл | |---|---|---| | Логарифм произведения | | произведение превращается в сумму | | Логарифм частного | | деление превращается в разность | | Логарифм степени | | степень “выносится” множителем | | Переход к новому основанию | | можно поменять основание |

Пояснение к формуле :

— число в степени

коэффициент появляется потому, что степень внутри логарифма превращается в умножение снаружи

Полезные частные случаи:

, потому что

, потому что

Логарифмическая функция и её связь с показательной

Если взять функцию и “поменять местами” вход и выход, получится обратная функция:

и — взаимно обратные

Отсюда два важных следствия:

их графики симметричны относительно прямой

логарифм определён только при (потому что всегда)

!Показательная и логарифмическая функции как взаимно обратные, симметрия относительно y=x

Как решают простейшие логарифмические уравнения

Пример: решить .

По определению логарифма это означает:

Пояснение:

основание логарифма

результат логарифма становится показателем степени у основания

получаем

И обязательная проверка области допустимых значений:

в требуется ; число подходит

Короткое резюме

степень — это повторяющееся умножение, а свойства степеней позволяют упрощать выражения

корень — обратная операция к степени; в вещественных числах важно требование “под корнем неотрицательно”

дробные степени связывают степени и корни:

показательная функция определена при всех , всегда положительна и монотонна (возрастает при , убывает при )

логарифм определён как обратная операция к показательной: , при условиях , ,

Полезные источники (по желанию)

Википедия: Возведение в степень

Википедия: Корень (математика))

Википедия: Логарифм

Википедия: Показательная функция

Начала анализа: предел, производная и применение

Как эта тема продолжает курс

Раньше мы научились:

работать с выражениями, уравнениями и неравенствами

понимать функции как зависимость

читать графики и делать преобразования графиков

использовать тригонометрические и показательные/логарифмические функции

Теперь добавляем идеи математического анализа. Они отвечают на два главных вопроса:

что происходит с функцией очень близко к точке (это предел)

с какой скоростью функция меняется в точке (это производная)

Эти инструменты позволяют:

исследовать графики (где растёт/убывает, где максимум/минимум)

строить касательные

решать прикладные задачи на скорость и оптимизацию

Предел: как описать «подходим к точке»

Интуиция предела

Иногда в точке функция не определена или считать неудобно, но мы можем понять, к какому числу стремится , когда становится очень близким к .

Запись:

Пояснение каждого элемента:

— знак предела (читают: «предел»)

— « стремится к », то есть приближается к

— значения функции при таких

— число, к которому стремятся значения функции

Важно: в выражении обычно подразумевается, что приближается, но не обязан быть равным .

Пример, где в точке считать нельзя, но предел есть

Рассмотрим функцию:

Пояснение элементов формулы:

— числитель (выражение сверху)

— знаменатель (выражение снизу)

дробь означает деление, поэтому при функция не определена (деление на ноль)

Но если разложить числитель:

Пояснение:

это формула разности квадратов

— общий множитель, который сокращается (но только при )

Тогда при :

Теперь предел считать легко:

Смысл результата: хотя в точке дробь не определена, значения функции рядом с 1 становятся всё ближе к 2.

Связь предела и непрерывности (простая версия)

Функция обычно называется непрерывной в точке , если:

она определена в (существует )

и выполняется

Интуитивно: на графике около точки нет «разрыва», и можно рисовать без отрыва карандаша.

!Иллюстрация: функция может иметь предел в точке, даже если в самой точке не определена

Производная: скорость изменения функции в точке

Средняя скорость изменения (секущая)

Пусть есть функция . Возьмём две точки по аргументу: и .

Запишем изменение функции:

— значение в первой точке

— значение во второй точке

— насколько изменилось значение функции

Тогда средняя скорость изменения на отрезке от до :

Пояснение каждого элемента:

— шаг по аргументу (на сколько сдвинулись вправо или влево)

дробь означает «изменение по делим на изменение по »

геометрически это угловой коэффициент секущей (прямой через две точки графика)

Мгновенная скорость изменения (касательная) и определение производной

Если сделать шаг всё меньше и меньше, секущая «поворачивается» и стремится стать касательной.

Производная функции в точке — это предел средних скоростей изменения при :

Пояснение каждого элемента:

— производная (читают: «эф штрих от икс»)

— шаг стремится к нулю

дробь внутри предела — средняя скорость изменения

предел означает, к какому числу стремится эта скорость, когда точки сливаются

Если этот предел существует, говорят, что функция дифференцируема в точке .

!Иллюстрация перехода от секущей к касательной и смысла производной

Геометрический и прикладной смысл

Геометрически — наклон касательной к графику в точке .

В задачах про движение, если — путь (координата) в момент времени , то — мгновенная скорость.

Как находить производные: базовые правила

На практике производные считают по правилам. Они экономят время по сравнению с определением через предел.

Правила (самые нужные)

| Что дифференцируем | Формула | Пояснение элементов | |---|---|---| | Константа | | — число, не зависит от | | | | рост аргумента на 1 даёт рост функции на 1 | | Степень | | — показатель степени (обычно целый) | | Сумма | | производная распределяется по сложению | | Умножение на число | | число выносится |

Этих правил достаточно, чтобы уверенно работать с многочленами.

Производные тригонометрических функций (минимум)

Часто нужны ещё две формулы:

Пояснение:

штрих означает производную по

минус в важен: косинус убывает в начале около нуля

Пример вычисления производной многочлена

Пусть:

Пояснение:

— квадратичный член

— линейный член

— константа

Тогда:

Считаем по правилам:

- - -

Итог:

Касательная к графику

Если известны:

точка касания

значение функции

производная

то уравнение касательной:

Пояснение каждого элемента:

— координата на касательной

— вертикальная координата точки касания

— наклон (как быстро растёт/убывает касательная)

— насколько мы отошли по горизонтали от точки касания

Применение производной: рост, убывание, экстремумы

Как знак производной связан с поведением функции

Идея проста:

если , то функция в этой области возрастает

если , то функция в этой области убывает

если , возможна «горизонтальная касательная» (часто кандидат на максимум/минимум)

Критические точки

Чаще всего в школьных задачах рассматривают точки, где:

, или

производная не существует (например, у в точке )

Такие точки называют критическими.

Как находить максимум/минимум на промежутке (алгоритм)

Для функции на промежутке (например, на ) обычно делают так:

Находят по правилам.

Решают уравнение и получают кандидатов внутри промежутка.

Добавляют концы промежутка и (если промежуток закрытый).

Сравнивают значения во всех найденных точках.

Самое большое значение — максимум, самое маленькое — минимум.

Почему это работает на интуитивном уровне:

внутри промежутка «пик» или «яма» обычно появляется там, где рост сменяется убыванием или наоборот

на концах промежутка тоже может быть максимум или минимум, потому что дальше функция не рассматривается

Короткий пример смысла (без громоздких вычислений)

Если меняет знак:

с плюса на минус, то был рост, потом стал спад — в середине максимум

с минуса на плюс, то был спад, потом рост — в середине минимум

Производная в прикладных задачах: скорость

Если — путь (или координата) в зависимости от времени , то:

средняя скорость на интервале равна

мгновенная скорость в момент равна

Здесь важно понимать, что запись полностью повторяет определение производной, только переменная называется .

Короткое резюме

предел описывает, к чему стремятся значения функции около точки

производная — предел средних скоростей изменения при ; это наклон касательной и «мгновенная скорость изменения»

по знаку производной понимают, где функция возрастает/убывает

через производную находят кандидатов на максимум/минимум и строят касательные

Полезные источники (по желанию)

Википедия: Предел (математика)

Википедия: Производная

Википедия: Дифференциальное исчисление

Планиметрия и стереометрия: фигуры, площади, объёмы

Как эта тема связана с алгеброй и функциями

В прошлых темах мы работали с выражениями, уравнениями, функциями и графиками. Геометрия использует те же инструменты, только «объекты» другие:

длины, площади и объёмы выражаются формулами (это те же выражения)

многие задачи решаются через уравнения (например, найти радиус по площади)

при изменении размеров фигур мы видим «степенной эффект»: площадь растёт как квадрат масштаба, а объём — как куб (связь с темой про степени)

Дальше в анализе производная часто применяется к геометрическим моделям (оптимизация площади/объёма), поэтому базовые формулы здесь особенно важны.

Основные понятия и единицы измерения

Что измеряем

Длина — измеряет «как далеко» (отрезок, ребро), обычно в метрах, сантиметрах.

Площадь — измеряет «сколько места на плоскости» (пол, лист), в квадратных единицах: , .

Объём — измеряет «сколько места в пространстве» (коробка, бак), в кубических единицах: , .

Почему важно не путать единицы

Если длину увеличить в 2 раза, то:

площадь увеличится в раза

объём увеличится в раз

Это часто объясняет «почему ответ слишком большой/маленький».

Планиметрия

Планиметрия изучает фигуры на плоскости: треугольники, четырёхугольники, окружности.

Периметр

Периметр — сумма длин всех сторон.

Пример для прямоугольника со сторонами и :

Пояснение к формуле:

— периметр

и — длины сторон

— сумма двух соседних сторон

умножение на учитывает, что каждая из сторон встречается дважды

Площадь простых фигур

#### Прямоугольник

Пояснение:

— площадь

— длина

— ширина

произведение означает «сколько единичных квадратов укладывается по сетке на »

#### Параллелограмм

Пояснение:

— основание (сторона, которую выбрали «внизу»)

— высота, опущенная на это основание (перпендикулярное расстояние)

точка в записи — умножение

#### Треугольник

Пояснение:

— выбранное основание треугольника

— высота к этому основанию

означает, что площадь треугольника ровно в 2 раза меньше площади параллелограмма с теми же основанием и высотой

!Иллюстрация, почему площадь треугольника равна половине a·h

#### Трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (их называют основаниями).

Пояснение:

и — длины оснований (параллельных сторон)

— высота (расстояние между основаниями по перпендикуляру)

— среднее арифметическое оснований

умножаем среднюю «ширину» на высоту

Окружность и круг

Окружность — граница (линия).

Круг — всё внутри окружности.

Если — радиус, то:

Пояснение:

— длина окружности

— число примерно

— радиус (расстояние от центра до окружности)

множитель показывает «сколько радиусов» укладывается по длине окружности

Площадь круга:

Пояснение:

— площадь круга

означает (радиус в квадрате)

площадь растёт пропорционально квадрату радиуса

Теорема Пифагора (для прямоугольного треугольника)

Прямоугольный треугольник — треугольник с углом .

Если катеты и , а гипотенуза , то:

Пояснение:

и — катеты (стороны, образующие прямой угол)

— гипотенуза (сторона напротив прямого угла)

квадрат означает площадь квадрата со стороной (аналогично для и )

Эта формула часто превращает геометрию в алгебру: можно найти неизвестную сторону, решив уравнение.

Стереометрия

Стереометрия изучает фигуры в пространстве: призмы, пирамиды, цилиндры, конусы, шары.

Базовые идеи

Объём отвечает на вопрос «сколько помещается внутри».

Площадь поверхности отвечает на вопрос «сколько материала нужно, чтобы обклеить/обшить снаружи».

Призма и прямоугольный параллелепипед

Призма — многогранник, у которого есть две равные параллельные грани (основания), а боковые грани соединяют их.

Объём призмы:

Пояснение:

— объём

— площадь основания

— высота (расстояние между основаниями)

умножение означает «берём слой площади основания и повторяем по высоте»

Прямоугольный параллелепипед (обычная «коробка») имеет рёбра , , .

Объём:

Пояснение:

, , — длины рёбер по трём направлениям

произведение показывает, сколько единичных кубиков поместится внутри

Площадь поверхности:

Пояснение:

, , — площади трёх разных типов граней

сумма учитывает по одной грани каждого типа

множитель появляется потому, что у каждой такой грани есть «пара» напротив

!Помогает увидеть, откуда берётся формула 2(ab+bc+ac)

Цилиндр

Цилиндр можно понимать как «круг, вытянутый вверх».

Объём цилиндра:

Пояснение:

— объём

— площадь основания (круга)

— радиус основания

— высота цилиндра

Пирамида и конус

Пирамида — фигура с многоугольным основанием и вершиной, соединённой с основанием боковыми гранями.

Объём пирамиды:

Пояснение:

— площадь основания

— высота (перпендикуляр от вершины к плоскости основания)

множитель — ключевое отличие от призмы: пирамида «занимает треть» объёма призмы с тем же основанием и высотой

Конус — частный случай пирамиды с круглым основанием.

Объём конуса:

Пояснение:

— площадь круглого основания

— высота

— как у пирамиды

Шар

Шар — все точки в пространстве, находящиеся не дальше радиуса от центра.

Объём шара:

Пояснение:

— объём

— радиус

означает (куб радиуса)

коэффициент — постоянный множитель, который возникает из геометрии шара

Площадь поверхности шара:

Пояснение:

— площадь поверхности

— квадрат радиуса

множитель — постоянная для всех шаров

Типовые приёмы решения геометрических задач

Всегда записывайте, что дано и что нужно найти: это снижает шанс перепутать площадь и объём.

Следите за ограничениями: длины, площади, объёмы не могут быть отрицательными.

Приводите единицы: например, , значит .

Переводите в уравнение: если дана площадь круга , то радиус можно найти из как из обычного уравнения.

Короткое резюме

планиметрия: периметры и площади (прямоугольник, треугольник, трапеция, круг)

стереометрия: объёмы и площади поверхностей (призма, параллелепипед, цилиндр, пирамида, конус, шар)

масштабирование: длина , площадь , объём

геометрические формулы почти всегда можно использовать как уравнения и решать алгебраически

Полезные источники (по желанию)

Википедия: Площадь

Википедия: Теорема Пифагора

Википедия: Цилиндр

Википедия: Конус

Википедия: Шар

Вероятность, комбинаторика и основы статистики

Как эта тема связывает весь курс

Раньше мы работали с выражениями, уравнениями, функциями и графиками, а также с производной и геометрическими формулами. Вероятность и статистика продолжают ту же линию:

как в алгебре мы аккуратно работали с областью допустимых значений, так и здесь важно понимать, какие исходы возможны и какие невозможны

как в теме про функции мы учились читать график, так и в статистике мы учимся читать графики данных (столбики, гистограммы)

как производная отвечает за скорость изменения, так статистика отвечает за изменчивость данных (разброс)

Эта тема нужна для задач про качество продукции, риски, проценты, выборки, опросы, а также для понимания базовых идей анализа данных.

Комбинаторика: как правильно считать варианты

Комбинаторика отвечает на вопрос: сколько способов можно сделать выбор или составить набор.

Правило произведения и правило суммы

Правило произведения: если действие состоит из двух шагов, и

первый шаг можно сделать способами

после каждого из них второй шаг можно сделать способами

то всего способов .

Пояснение к записи :

и — количества вариантов на каждом шаге

знак означает умножение

Правило суммы: если нужно выбрать один вариант из двух непересекающихся наборов возможностей, и

в первом наборе вариантов

во втором наборе вариантов

то всего .

Пояснение:

важно, чтобы один и тот же вариант не считался дважды (наборы должны не пересекаться)

Факториал

Чтобы удобно записывать количество перестановок, используют факториал.

Пояснение каждого элемента:

— натуральное число

читают как «эн факториал»

многоточие означает, что произведение продолжается по порядку

Примеры:

- -

Перестановки: важен порядок

Перестановка — это способ упорядочить все разных объектов.

Количество перестановок:

Пояснение:

— число перестановок из объектов

— факториал, то есть произведение чисел от до

Пример смысла: сколько способов рассадить 5 разных студентов в ряд из 5 мест? Ответ .

Размещения: выбираем и упорядочиваем

Размещения из (без повторений) — это выбор объектов из , где порядок важен.

Пояснение каждого элемента:

— число размещений

— сколько всего объектов

— сколько выбираем

дробь означает деление

— факториал числа (сколько объектов не выбрали)

Интуиция: сначала считаем все упорядочивания , а затем «убираем» варианты, где учитывались лишние места.

Сочетания: выбираем без учёта порядка

Сочетания из (без повторений) — это выбор объектов из , где порядок не важен.

Пояснение каждого элемента:

— число сочетаний

«делит» на число перестановок внутри выбранной группы (потому что порядок не важен)

учитывает оставшиеся невыбранные объекты

Пример смысла: выбрать 3 человека из 10 в команду — это , потому что не важно, кто «первый».

!Шпаргалка: чем отличаются перестановки, размещения и сочетания

Вероятность: как измеряют случайность

Исход, опыт и событие

Случайный опыт — действие, результат которого заранее неизвестен точно (например, бросок кубика).

Исход — конкретный результат (например, выпало 4).

Событие — набор исходов, который нас интересует (например, «выпало чётное»).

Классическая вероятность

Если все исходы равновозможны, вероятность события считают так:

Пояснение каждого элемента:

— вероятность события

— число благоприятных исходов (которые подходят событию)

— число всех возможных исходов

дробь означает «часть от целого»

Важно:

всегда

означает «невозможно», означает «обязательно»

Дополнение (противоположное событие)

Событие «не » обозначают . Тогда:

Пояснение:

— это вероятность «произойдёт что-то из всех возможных исходов»

если событие занимает часть исходов, то оставшаяся часть — это

Пример смысла: если вероятность «попал в цель» 0.7, то «не попал» 0.3.

Сложение вероятностей

Если события и несовместимы (не могут произойти одновременно), то:

Пояснение:

читают как « или »

несовместимость означает: нет исходов, где выполняются оба события сразу

Пример смысла: на кубике события «выпало 1» и «выпало 2» несовместимы.

Умножение вероятностей и независимость

События и называют независимыми, если наступление одного не влияет на вероятность другого.

Для независимых событий:

Пояснение:

читают как « и »

точка — умножение

Типичный пример независимости: два броска монеты (если монета честная и броски не влияют друг на друга).

Условная вероятность (когда мы узнали дополнительную информацию)

Если известно, что событие уже произошло, вероятность события может измениться. Это условная вероятность:

Пояснение каждого элемента:

читают как «вероятность при условии »

— вероятность того, что случатся оба события

— вероятность условия (должна быть больше нуля)

Интуиция: мы как бы «сужаем мир» до случаев, где уже выполнено.

!Диаграмма Венна для понимания объединения и пересечения событий

Как комбинаторика помогает вероятности

Очень часто вероятность считают так:

Определяют, что считается «равновозможным исходом».

Считают число всех исходов комбинаторикой.

Считают число благоприятных исходов комбинаторикой.

Подставляют в формулу .

Пример смысла (без перегруза вычислениями):

если из колоды выбирают несколько карт, то «сколько способов выбрать» — это сочетания

если важен порядок (например, код из цифр без повторений), то это размещения

Основы статистики: как описывать данные

Статистика отвечает на вопрос: какое число «типичное» и насколько данные разбросаны.

Набор данных и выборка

Данные — это измерения или наблюдения (например, оценки, рост, время выполнения).

Выборка — часть объектов, по которым собрали данные (например, 30 студентов группы).

Важно: выводы о «всех» по выборке требуют осторожности, потому что выборка может быть нерепрезентативной.

Среднее арифметическое

Если есть числа , то среднее:

Пояснение каждого элемента:

— значения данных

— сколько значений всего

— среднее значение

Смысл: «сумму разделили поровну» на наблюдений.

Медиана и мода

Медиана — число посередине, если данные отсортировать.

- если нечётное — это ровно центральное значение - если чётное — обычно берут среднее двух центральных

Мода — значение, которое встречается чаще всего

Зачем они нужны:

среднее может сильно «съехать» из-за одного очень большого или очень маленького значения

медиана более устойчива к выбросам

Разброс: дисперсия и стандартное отклонение (базовая идея)

Когда среднее найдено, хочется понять, насколько значения «разлетаются» вокруг него.

Один из стандартных показателей — дисперсия (для простого знакомства можно использовать формулу для набора данных):

Пояснение:

— дисперсия

— отклонение значения от среднего

квадрат нужен, чтобы минусы не сокращали плюсы и чтобы сильные отклонения учитывались больше

деление на делает показатель «средним квадратом отклонений»

Стандартное отклонение:

Пояснение:

— стандартное отклонение

— квадратный корень из дисперсии

смысл: возвращаемся к тем же единицам измерения, что и исходные данные (например, «баллы», «см»)

Практическая интерпретация:

маленькое — значения близки друг к другу

большое — значения сильно отличаются

Как показывают данные на графиках

Чаще всего в школьной и прикладной статистике используют:

столбчатую диаграмму для категорий (например, сколько студентов выбрали специальность)

гистограмму для числовых интервалов (например, распределение оценок по диапазонам)

!Пример гистограммы: как выглядит распределение числовых данных

Частые ошибки и как их избегать

Путать «или» и «и».

- «или» чаще связано с , «и» — с .

Складывать вероятности событий, которые могут произойти одновременно.

- формула работает только для несовместимых.

Неправильно выбирать комбинаторическую модель.

- порядок важен: размещения/перестановки - порядок не важен: сочетания

Делать выводы по среднему, не глядя на разброс.

- одинаковое среднее возможно при очень разном «разлёте» значений.

Короткое резюме

комбинаторика считает количество способов: правила суммы и произведения, факториал, перестановки, размещения, сочетания

классическая вероятность: при равновозможных исходах

полезные правила: дополнение , сложение для несовместимых, умножение для независимых, условная вероятность

статистика описывает данные: среднее, медиана, мода, разброс (дисперсия и стандартное отклонение)

Полезные источники (по желанию)

Википедия: Комбинаторика

Википедия: Вероятность

Википедия: Условная вероятность

Википедия: Среднее арифметическое

Википедия: Дисперсия