Фермы: методы узлов и сечений, усилия в стержнях
Ферма — одна из самых удобных расчётных моделей в строительной механике: она позволяет находить усилия в стержнях в основном методами статики, без эпюр изгибающего момента, как в балках и рамах.
В прошлых статьях мы разобрали расчётные схемы, опоры и статическую определимость, а также внутренние усилия , , в балках и рамах. Теперь добавим ещё один базовый класс стержневых систем — плоские фермы — и два главных приёма их расчёта:
метод узлов (находим усилия, рассматривая равновесие узлов);
метод сечений (находим усилия сразу в нескольких стержнях, «разрезая» ферму).Справочно о том, что такое ферма как конструкция: Ферма (строительство))
!Общий вид расчётной схемы плоской фермы и основные элементы
Что мы считаем фермой в расчёте
В курсе строительной механики под расчётной фермой обычно понимают систему прямолинейных стержней, соединённых в узлах.
Основные допущения расчётной модели
Чтобы ферма считалась именно фермой (и считалась простыми методами), принимают допущения:
Нагрузки прикладываются в узлах (в точках соединения стержней).
Узлы идеализируют как шарнирные: узел передаёт силы, но не передаёт изгибающий момент.
Стержни работают как двухсиловые элементы: в стержне возникает только продольная сила (растяжение или сжатие), а поперечная сила и изгибающий момент в идеальной модели не рассматриваются.Почему это важно: если стержень нагружен только двумя силами по концам (в узлах), то эти силы должны быть коллинеарны оси стержня. Поэтому усилие в стержне направлено вдоль стержня и описывается одной величиной .
> Практическое следствие: если по схеме на стержень действует распределённая нагрузка «по длине» или приложена сила в середине стержня, то это уже не идеальная ферма — нужно менять модель (например, считать элемент как балку/рамный элемент или перестраивать раздачу нагрузок по узлам).
Статическая определимость плоской фермы (быстрый критерий)
Для плоской фермы важен вопрос: можно ли найти все усилия только из уравнений равновесия.
Обозначим:
— число узлов фермы;
— число стержней;
— число неизвестных реакций опор (например, шарнир даёт 2 реакции, каток — 1).Для простого счёта часто используют соотношение:
Почему именно так:
каждый узел в плоской задаче даёт два независимых уравнения равновесия по силам: и , всего потенциально уравнений;
неизвестные — это усилия в стержнях ( штук) плюс реакции опор ( штук).Удобно также вводить «избыток неизвестных» (оценку статической неопределимости по счёту):
Где:
— по числу неизвестных ферма может быть статически определимой (нужно ещё исключить механизм и «лишние» зависимости геометрии);
— ферма статически неопределима как минимум на (одной статики мало);
— связей/стержней недостаточно (часто это механизм).Важно: этот критерий — быстрый и популярный для учебных ферм, но он не заменяет проверку геометрической неизменяемости.
Знаковая конвенция для усилий в стержнях
Для фермы обычно достаточно одной договорённости:
— растяжение (стержень «тянет» узлы к себе);
— сжатие (стержень «толкает» узлы).Практический приём в методе узлов:
в неизвестном стержне на узле рисуют силу вдоль стержня, направленную от узла (как будто стержень растянут);
если в результате получается отрицательное значение, значит реальная работа стержня — сжатие.Подготовка к расчёту фермы: реакции опор
Почти любой расчёт фермы начинается одинаково:
Строим расчётную схему фермы (узлы, стержни, опоры).
Заменяем опоры реакциями и считаем их неизвестными.
Находим реакции как для одного жёсткого тела из уравнений равновесия плоской статики:Где:
— сумма проекций всех внешних сил на ось ;
— сумма проекций всех внешних сил на ось ;
— сумма моментов всех внешних сил относительно выбранной точки .Дальше реакции считаются известными, и мы переходим к усилиям в стержнях.
Метод узлов
Метод узлов: последовательно рассматривают равновесие отдельных узлов фермы, находя неизвестные усилия в стержнях.
Почему метод работает
В идеальной модели фермы в узле сходятся силы:
внешние нагрузки (если они приложены в узле);
реакции опор (если это опорный узел);
продольные усилия в стержнях, направленные вдоль осей этих стержней.Поскольку узел в равновесии, для него справедливо:
Это два уравнения. Значит удобнее всего выбирать узел, где не больше двух неизвестных стержневых усилий (иначе уравнений не хватит).
!Схема равновесия узла: силы вдоль стержней и внешняя нагрузка
Алгоритм расчёта методом узлов
Найдите реакции опор по уравнениям равновесия всей фермы.
Выберите узел, где:
- известны все внешние силы (включая реакции);
- неизвестных стержневых усилий не больше двух.
Составьте два уравнения равновесия узла: и .
Найдите усилия в неизвестных стержнях.
Перейдите к соседнему узлу, где благодаря найденным усилиям снова остаётся не больше двух неизвестных.
Повторяйте, пока не будут найдены усилия во всех стержнях.Техническая деталь: проекции силы стержня
Если стержень образует с осью угол , а усилие в стержне равно , то его проекции:
Здесь:
— проекция силы на ось ;
— проекция силы на ось ;
— угол между направлением стержня и положительным направлением оси .В простых фермах часто используют геометрию прямоугольных треугольников (например, «3–4–5»), чтобы получать и без калькулятора.
Нулевые стержни: как быстро упрощать ферму
В некоторых узлах можно определить, что усилие в отдельном стержне равно нулю, без расчёта всей фермы.
Ниже — два типовых правила для узла, в котором нет внешней нагрузки и нет реакции опоры.
Правило двух стержней
Если в узле сходятся два стержня и они не лежат на одной прямой, а внешних сил в узле нет, то оба усилия равны нулю.
Смысл: двум непараллельным силам нечем уравновеситься, кроме нуля.
Правило трёх стержней
Если в узле сходятся три стержня, причём два из них коллинеарны (лежат на одной прямой), и внешних сил в узле нет, то усилие в третьем (неколлинеарном) стержне равно нулю.
Смысл: две коллинеарные силы могут уравновеситься между собой, а «поперечному» стержню тогда нечего «держать».
> Эти правила особенно полезны для больших ферм: можно заранее исключить часть стержней из расчёта.
Метод сечений
Метод сечений используют, когда нужно быстро найти усилия в конкретных стержнях, не проходя узел за узлом через всю ферму.
Идея: ферму мысленно «разрезают» так, чтобы пересечь несколько стержней, затем рассматривают равновесие одной из частей.
Ключевое ограничение для плоской статики
Если рассматривать одну часть фермы как жёсткое тело, то у нас есть три уравнения равновесия:
Значит наиболее удобный разрез — тот, который пересекает не более трёх стержней с неизвестными усилиями.
!Метод сечений: разрез фермы и силы в пересечённых стержнях
Алгоритм расчёта методом сечений
Найдите реакции опор для всей фермы.
Проведите сечение, пересекающее нужные стержни (обычно до трёх неизвестных).
Выберите, какую часть рассматривать (левую или правую) — чаще ту, где меньше внешних нагрузок.
Замените пересечённые стержни неизвестными продольными силами , , , направленными вдоль соответствующих стержней.
Запишите уравнения равновесия для выбранной части:
- ,
- ,
- .
Удобный приём: чтобы найти одно усилие, берут момент относительно точки пересечения линий действия двух других неизвестных (тогда они «исчезают» из уравнения моментов).Как связать результат с темой балок и рам
Ферма принципиально отличается от балки и рамы тем, что в её идеальной модели стержни не изгибаются: основная искомая величина — продольная сила в каждом стержне.
Однако логика расчёта та же, что и раньше:
сначала реакции опор из равновесия всей системы;
затем внутренние усилия через равновесие части системы (узла или отсечённой части);
знак результата интерпретируется через принятую конвенцию (растяжение/сжатие).Типичные ошибки при расчёте ферм
Прикладывают распределённые нагрузки «по стержню» и продолжают считать как ферму (в идеальной ферме нагрузки должны приходить в узлы).
Путают направление сил в стержнях на узле (важно рисовать силы вдоль стержней и быть последовательным со знаками).
Берут метод узлов с узла, где три и более неизвестных, и получают «неразрешимую» систему (это ошибка выбора узла, а не «неправильная ферма»).
В методе сечений пересекают 4–5 неизвестных стержней и пытаются решить одной статикой (уравнений равновесия для одной части всего три).
Забывают проверить ферму по счёту , , и заранее понять, статически определима ли она.Итоги
В идеальной плоской ферме стержни работают на растяжение/сжатие, а основная искомая величина — продольная сила .
Реакции опор фермы находят как для одного жёсткого тела из , , .
Метод узлов: по два уравнения равновесия на узел, удобно начинать с узлов с двумя неизвестными.
Метод сечений: разрезают ферму и используют три уравнения равновесия для части; удобно пересекать до трёх неизвестных стержней.
Для учебных плоских ферм полезен быстрый критерий по счёту: .Дополнительные справочные материалы (англоязычные, но с хорошими иллюстрациями):
Method of joints
Method of sections