Квадратные уравнения: основы и методы решения

Понятие квадратного уравнения и его виды

Что такое уравнение

Уравнение — это равенство, в котором есть неизвестное число (обычно его обозначают буквой ). Решить уравнение — значит найти все значения , при которых равенство становится верным.

Определение квадратного уравнения

Квадратное уравнение — это уравнение, в котором неизвестное встречается во второй степени, и при этом коэффициент при не равен нулю.

Стандартная (общая) форма квадратного уравнения:

Разберём, что означает каждая часть:

— неизвестное число, которое мы ищем.

— квадрат неизвестного (то есть ). Именно из-за степени 2 уравнение называется квадратным.

, , — числа, которые называются коэффициентами.

Условие обязательно: если , выражение исчезает, и уравнение уже не квадратное.

Правая часть равна нулю (то есть = 0), потому что так удобнее применять основные методы решения, которые будут в следующих темах курса.

Пример квадратного уравнения:

Здесь , , .

> Форму называют общей формой квадратного уравнения. Википедия: Квадратное уравнение

Почему квадратные уравнения важны

Квадратные уравнения встречаются в задачах, где есть:

площадь и геометрические зависимости;

движение (например, когда расстояние зависит от времени нелинейно);

оптимизация (поиск максимума/минимума в прикладных задачах);

графики параболы (связь алгебры и геометрии).

В следующих статьях курса мы разберём методы решения и научимся понимать, сколько решений может быть у квадратного уравнения и как их находить.

Виды квадратных уравнений

Квадратные уравнения обычно классифицируют по значениям коэффициентов , , .

Полное квадратное уравнение

Полное квадратное уравнение — это такое, где присутствуют все три слагаемых, то есть , и :

Пример:

Неполное квадратное уравнение

Неполное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором отсутствует либо линейный член (), либо свободный член (), либо отсутствуют оба.

#### Вид (когда )

Пример:

Здесь нет слагаемого с (линейного члена).

#### Вид (когда )

Пример:

Здесь нет свободного члена, то есть числа без .

#### Вид (когда и )

Пример:

Это тоже квадратное уравнение (потому что ), но очень простого вида.

Приведённое квадратное уравнение

Приведённое квадратное уравнение — это квадратное уравнение, у которого коэффициент при равен 1, то есть :

Пример:

Приведённая форма удобна тем, что многие формулы и рассуждения становятся короче. Если дано уравнение с , его часто можно сделать приведённым, разделив обе части на (если ).

Как связаны виды уравнений и количество решений

Важно понимать, что у квадратного уравнения может быть:

два разных решения;

одно решение (двукратный корень);

ни одного решения среди действительных чисел.

Это связано с тем, как график функции пересекает ось .

!Три случая расположения параболы относительно оси x, показывающие возможное число корней

В следующих темах курса мы научимся определять число решений и находить сами решения с помощью дискриминанта, формул корней и других методов.

Краткое резюме

Квадратное уравнение имеет вид , где .

, , — коэффициенты: при , при и свободный член.

Уравнения бывают:

- полные (все коэффициенты , , ненулевые), - неполные (отсутствует , или , или оба), - приведённые (когда ).

Следующая логичная цель — научиться решать квадратные уравнения и понимать, сколько решений они имеют.

Дискриминант и число корней

Зачем нужен дискриминант

В прошлой статье мы разобрали, что квадратное уравнение имеет вид , где , и что у него может быть два решения, одно решение или ни одного решения (среди действительных чисел).

Дискриминант — это число, которое помогает заранее определить, сколько действительных корней (решений) имеет квадратное уравнение, не подбирая наугад.

Определение дискриминанта

Для квадратного уравнения

дискриминант обозначают буквой и вычисляют по формуле:

Разберём, что означает каждая часть:

— это квадрат коэффициента (то есть ).

— произведение числа , коэффициента при и свободного члена .

получается как разность и .

Важно: дискриминант считается только по коэффициентам , , . То есть сначала нужно привести уравнение к виду и аккуратно определить значения коэффициентов.

> Подробнее о термине и его смысле: Википедия: Дискриминант

Как дискриминант связан с числом корней

Существует три случая.

Случай

Если , у квадратного уравнения два различных действительных корня.

Интуитивный смысл: график функции (парабола) пересекает ось в двух разных точках.

Случай

Если , у квадратного уравнения один действительный корень, но он считается двукратным.

Это означает, что парабола касается оси в одной точке.

Случай

Если , у квадратного уравнения нет действительных корней.

Геометрически: парабола не пересекает ось .

!Иллюстрация трёх случаев: два корня, один корень, нет действительных корней

Примеры: считаем дискриминант и делаем вывод

Пример с двумя корнями

Уравнение:

Здесь , , .

Считаем дискриминант:

Так как , у уравнения два различных действительных корня.

Пример с одним (двукратным) корнем

Уравнение:

Здесь , , .

Так как , у уравнения один действительный корень (двукратный).

Пример без действительных корней

Уравнение:

Здесь , , .

Так как , действительных решений нет.

Типичные ошибки при использовании дискриминанта

Ошибка со знаками: забывают, что если отрицательное, то всё равно положительное.

Неверно определяют , , : например, не приводят уравнение к виду .

Путают выводы: важно запомнить соответствие , , .

Что дальше

Дискриминант отвечает на вопрос сколько действительных корней у квадратного уравнения. Следующий шаг в курсе — научиться находить сами корни по формуле (через ) и разбирать специальные случаи.

> Дополнительная справка по квадратным уравнениям: Википедия: Квадратное уравнение

Методы решения: разложение на множители и формула

В предыдущих статьях мы разобрали, что квадратное уравнение имеет вид (где ), и научились по дискриминанту понимать, сколько у уравнения действительных корней.

Теперь перейдём к главному: как находить корни. В базовом курсе чаще всего достаточно двух методов:

разложение на множители;

формула корней (через дискриминант).

Метод разложения на множители

Идея метода: переписать левую часть так, чтобы она была произведением выражений, и применить правило нулевого произведения.

Правило нулевого произведения

Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю:

Здесь и — любые выражения (например, , , ).

Самый быстрый случай: вынести общий множитель

Часто квадратное уравнение можно упростить, вынеся общий множитель.

#### Вид (когда )

Например:

Вынесем за скобки: .

По правилу нулевого произведения:

- ; - .

#### Вид (когда и )

Например:

Так как , делим на 7 и получаем , значит .

Разложение трёхчлена на множители

Если удаётся представить

в виде произведения двух линейных скобок, то уравнение решается очень быстро.

#### Приведённый случай

Если , то иногда можно подобрать числа и так, чтобы:

;

.

Тогда

Пример:

Здесь , . Подходят и , потому что:

;

.

Значит:

и

#### Что делать, если разложить не получается

Разложение на множители удобно, но оно не всегда находится быстро (или вообще находится только с дробями). Тогда используют универсальный метод — формулу корней.

> Разложение на множители как приём алгебры: Разложение на множители

Метод формулы корней (через дискриминант)

Этот метод подходит для любого квадратного уравнения в общем виде:

Шаг 1. Найти дискриминант

Пояснение частей формулы:

— квадрат коэффициента (число умножается само на себя);

— произведение чисел , и ;

— разность и .

Шаг 2. Сделать вывод по и найти корни

Если , корни (действительные) находятся по формуле:

Пояснение частей формулы:

— число, противоположное коэффициенту ;

знак означает два варианта: один раз берём , второй раз берём ;

— квадратный корень из дискриминанта (существует среди действительных чисел, только если );

— удвоенный коэффициент при .

Если , то действительных корней нет (это мы уже обсуждали в теме про дискриминант).

Пример: два корня

Решим уравнение:

Определяем коэффициенты: , , .

Считаем дискриминант:

Подставляем в формулу:

Получаем два корня:

;

.

Пример: один (двукратный) корень

, , .

Когда , знак фактически не даёт двух разных ответов, потому что .

> Формула корней и дискриминант описаны в статье: Квадратное уравнение

Как выбрать метод на практике

Обычно действуют так:

Привести уравнение к виду и упростить (если есть дроби, можно умножить на общий знаменатель).

Если легко выносится общий множитель или видно очевидное разложение на скобки, решить через множители.

Иначе считать и решать по формуле.

!Схема помогает быстро решить, какой метод выбрать

Типичные ошибки

Неверно выписывают коэффициенты , , (особенно знаки при и ).

Забывают, что в формуле знаменатель — это весь .

Теряют один из корней, потому что не учитывают оба варианта .

При разложении на множители не применяют правило нулевого произведения (пытаются «сократить скобку», что делать нельзя).

Краткое резюме

Если удалось получить произведение, например , применяем правило нулевого произведения и быстро находим корни.

Универсальный способ для любого квадратного уравнения: дискриминант и формула .

Знак заранее подсказывает, сколько будет действительных корней: два, один или ни одного.

Теорема Виета и обратная теорема

В прошлых темах курса мы научились:

приводить квадратное уравнение к виду ;

по дискриминанту определять число корней;

находить корни по формуле или через разложение на множители.

Теорема Виета даёт ещё один мощный инструмент: она связывает коэффициенты квадратного уравнения с суммой и произведением его корней. Это помогает быстрее решать многие уравнения, особенно когда корни целые или простые дроби.

Формулировка теоремы Виета

Рассмотрим квадратное уравнение в общей форме:

Здесь:

— коэффициент при ;

— коэффициент при ;

— свободный член.

Если уравнение имеет корни и (действительные или комплексные), то выполняются равенства:

Пояснение каждой части:

— сумма двух корней;

знак минус в важен: берём коэффициент , меняем знак и делим на ;

— произведение корней;

означает: свободный член делим на коэффициент .

> Источник: Теорема Виета

Частный случай: приведённое квадратное уравнение

Если уравнение приведённое, то есть :

формулы упрощаются:

Упрощение происходит потому, что деление на превращается в деление на 1.

Как применять теорему Виета для решения уравнений

Теорема Виета не заменяет формулу корней во всех случаях, но часто позволяет решать быстрее.

Ситуация, когда метод особенно удобен

уравнение приведённое ();

ожидаются целые корни или простые дроби;

нужно быстро проверить, подходит ли разложение на множители.

Пример: решить уравнение подбором по Виету

Решим:

Это приведённое уравнение, значит:

сумма корней равна : здесь , поэтому ;

произведение корней равно : здесь , поэтому .

Остаётся найти два числа, которые:

в сумме дают 5;

в произведении дают 6.

Подходят и . Значит, корни: , .

Проверка подстановкой (коротко): при и левая часть становится 0.

Пример: уравнение не приведено

Решим:

По Виету:

Пробуем дроби. Если корни и , то:

сумма ;

произведение .

Значит, корни действительно , .

Обратная теорема Виета

Обратная теорема говорит, что формулы Виета работают не только как следствие из уравнения, но и как способ собрать уравнение или подтвердить корни.

Формулировка

Для уравнения

если два числа и удовлетворяют условиям:

то числа и являются корнями этого уравнения.

Смысл: чтобы доказать, что найденные числа — корни, не обязательно подставлять их в уравнение по отдельности; достаточно проверить сумму и произведение.

Как составить квадратное уравнение по корням

Если известны корни и , то можно составить уравнение.

Шаги для приведённого уравнения

Если хотим уравнение с , то оно имеет вид:

Пояснение знаков:

коэффициент при равен , потому что в приведённом случае , значит ;

свободный член равен произведению , потому что .

Пример: составить уравнение по корням

Пусть корни: , .

Сумма: .

Произведение: .

Подставляем в шаблон:

Сравнение формул (удобная памятка)

| Вид уравнения | Сумма корней | Произведение корней | |---|---:|---:| | | | | | | | |

!Схема показывает, как из коэффициентов быстро получить сумму и произведение корней

Типичные ошибки

Пропускают минус в формуле суммы: сумма равна именно .

Путают коэффициенты: перед применением Виета важно привести уравнение к виду .

Пытаются подбирать корни, когда уравнение заведомо даёт неудобные числа: в таких случаях быстрее использовать дискриминант и формулу корней.

Краткое резюме

Теорема Виета связывает корни и коэффициенты: и .

Для приведённого уравнения формулы упрощаются: , .

Обратная теорема позволяет подтвердить найденные корни и составлять квадратные уравнения по известным корням.

> Дополнительно: Квадратное уравнение

Приведение к квадратному: замены и рациональные приемы

В предыдущих темах курса мы научились решать квадратные уравнения вида с помощью разложения на множители, формулы корней и теоремы Виета.

На практике часто встречаются уравнения, которые не выглядят квадратными, но их можно свести к квадратному с помощью:

замены переменной (когда одно и то же выражение повторяется);

рациональных приёмов (убрать дроби, корни и привести к привычному виду).

Главная идея: получить уравнение вида относительно новой переменной , решить его, а затем вернуться к исходной переменной .

!Схема шагов приведения уравнения к квадратному

Когда уравнение удобно сводить к квадратному

Обычно это возможно, если:

в уравнении есть степени вида , и число (то есть всё выражается через );

встречаются или так, что можно ввести или ;

встречаются дроби с в знаменателе (после умножения на общий знаменатель получается квадратное);

встречаются выражения или (после умножения на или получаются квадратные формы).

Замена переменной: общий алгоритм

Найти повторяющееся выражение и обозначить его новой буквой .

Переписать уравнение через , чтобы получилось квадратное .

Решить квадратное относительно (любым способом из предыдущих тем).

Вернуться к и решить уравнение, получившееся после обратной замены.

Проверить ограничения (если они появлялись из-за знаменателей, корней, возведения в квадрат).

Важно понимать смысл записи или :

если , то при действительных ;

если , то требуется и тогда .

Биквадратные уравнения: замена

Как выглядит биквадратное уравнение

Биквадратное уравнение содержит только степени , и число:

Здесь:

стоит при ;

стоит при ;

свободный член.

Делаем замену . Тогда , и уравнение становится квадратным относительно :

После нахождения возвращаемся к из уравнения :

если , то действительных решений у нет;

если , то .

Пример

Решим уравнение:

Замена: . Тогда .

Получаем квадратное:

Здесь:

коэффициент при равен ;

коэффициент при равен ;

свободный член равен .

Разложим на множители:

Отсюда или .

Возвращаемся к :

;

.

Ответ: .

> Термин и примеры: Биквадратное уравнение

Замены вида : «квадратное по корню»

Иногда уравнение содержит и , и , но так, что всё выражается через .

Пример типичной формы:

Поскольку , удобно ввести . Тогда:

условие существования корня: ;

значит ;

и .

Пример

Замена: , тогда .

Получаем квадратное:

Разложим:

Отсюда или .

Учитываем ограничение , поэтому не подходит.

Возвращаемся к :

Ответ: .

Приём с выражением : сведение к квадратному без дискриминанта

Если в уравнении встречаются и , часто появляется квадрат выражения .

Ключевая формула (её важно понимать):

Здесь:

получается как ;

получается как ;

число появляется как сумма двух одинаковых произведений .

Отсюда следует удобное преобразование:

Пример

Решим:

Сразу фиксируем ограничение: , иначе дробь не определена.

Переносим и применяем формулу:

Обозначим . Тогда получаем:

Отсюда или .

Возвращаемся к .

Если , умножим на (это разрешено, потому что ):

Переносим всё влево:

Это квадратное уравнение по .

Если , аналогично получаем:

Дальше каждое из этих квадратных уравнений решается методами из предыдущих тем.

Рациональные приёмы: убрать дроби и не потерять смысл

Рациональные уравнения часто содержат дроби с переменной в знаменателе. Типичный приём: умножить обе части на общий знаменатель, чтобы получить многочлен.

Ключевое правило безопасности:

перед умножением нужно выписать, при каких знаменатели не равны нулю;

после решения нужно исключить значения, которые делают исходное выражение неопределённым.

Пример: уравнение с дробями сводится к квадратному

Решим:

Ограничения: и .

Общий знаменатель: .

Умножим обе части на :

Здесь:

;

;

.

Упростим левую часть:

Переносим всё в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного:

Дальше решаем квадратное (например, по формуле корней).

В конце проверяем, что найденные корни не равны и .

> Определение и примеры: Рациональное уравнение

Типичные ошибки при приведении к квадратному

Делают замену, но забывают ограничения (например, без условия ).

Умножают на выражение, которое может быть равно нулю, и не выписывают запретные значения (например, умножение на при наличии ).

После получения значений не делают обратную замену до конца (останавливаются на ).

Теряют решения или получают лишние, если в процессе было возведение в квадрат или иные неравносильные преобразования.

Краткое резюме

Многие уравнения можно решить через квадратное, если найти удачную замену: , , .

Рациональные приёмы (умножение на общий знаменатель) помогают убрать дроби и получить многочлен, часто квадратный.

После любых преобразований с ограничениями нужно делать проверку: исключать запрещённые значения и учитывать условия существования корней и дробей.

Квадратные неравенства и метод интервалов

К этому моменту курса вы уже умеете находить корни квадратных уравнений (через дискриминант, разложение на множители и теорему Виета) и приводить более сложные выражения к квадратному виду. Эти навыки напрямую используются при решении квадратных неравенств.

Квадратное неравенство отвечает на вопрос: при каких значениях выражение положительно, отрицательно, неотрицательно или неположительно.

Что такое квадратное неравенство

Квадратным неравенством называют неравенство вида

где:

— переменная;

, , — числа (коэффициенты);

важно условие , иначе выражение перестаёт быть квадратным.

Решить неравенство — значит найти все значения , при которых оно верно. Ответ обычно записывают как промежутки (интервалы) на числовой прямой.

Главная идея: знак квадратичной функции

Выражение можно рассматривать как функцию . Её график — парабола.

Ключевой факт:

точки, где , — это корни соответствующего квадратного уравнения ;

на промежутках между корнями (и вне их) знак не меняется;

знак зависит от коэффициента и от того, где находится относительно корней.

Поэтому решение квадратного неравенства обычно сводится к двум шагам:

Найти корни уравнения .

Определить, где выражение положительно/отрицательно, с помощью метода интервалов.

Метод интервалов для квадратичного выражения

Метод интервалов — универсальный способ решать неравенства вида произведения факторов или вообще многочленов по их нулям.

> Справка: Метод интервалов

Алгоритм

Рассмотрим неравенство , где символ — это один из знаков .

Привести выражение к одной стороне, чтобы справа был .

Решить уравнение и найти его корни и .

Отметить корни на числовой прямой и разбить прямую на интервалы.

Определить знак выражения на каждом интервале.

Выбрать те интервалы, где знак соответствует неравенству.

Правильно включить или не включить точки и :

если знак строгий ( или ), корни не включаются;

если знак нестрогий ( или ), корни включаются, потому что при неравенство выполняется.

!Схема метода интервалов: корни делят прямую на интервалы, на которых знак постоянен

Как быстро понять знаки без подстановок

Для квадратного трёхчлена, у которого есть два различных корня , знаки можно определить по правилу:

если (ветви параболы вверх), то:

- на и ; - на ;

если (ветви вниз), то наоборот:

- на и ; - на .

Почему так происходит:

множитель задаёт «общий переворот» знака (если , то всё меняется на противоположное);

около корней график пересекает ось , и знак меняется при переходе через корень (для корня кратности 1).

Случаи по дискриминанту

Связь с темой дискриминанта () важна: он определяет, есть ли точки, где выражение равно нулю.

Если , есть два различных корня и , и числовая прямая делится на три интервала.

Если , есть один корень (двукратный). В этом случае знак не меняется при переходе через .

Если , действительных корней нет, и выражение всегда одного знака:

- при всегда ; - при всегда .

Примеры решения

Пример с двумя корнями

Решим неравенство:

Находим корни уравнения .

Разложим на множители:

Здесь и — множители, которые обращаются в ноль при и .

Отмечаем корни: и . Получаем интервалы , , .

Так как коэффициент при равен , выражение положительно вне корней и отрицательно между ними.

Ответ:

Точки и не включены, потому что знак строгий (), а при или получаем .

Пример с нестрогим знаком

Решим:

Решим уравнение .

Можно разложить:

Проверка коэффициентов:

произведение старших частей: ;

«перекрёстные» члены: ;

свободный член: .

Корни: , и .

Здесь , значит выражение между корнями и на самих корнях.

Ответ:

Квадратные скобки означают включение концов, потому что знак нестрогий ().

Пример без действительных корней

Решим:

Считаем дискриминант :

, значит ;

и , значит ;

поэтому .

Так как , действительных корней нет.

При выражение всегда положительно.

Ответ:

То есть неравенство верно при любом действительном .

Пример с двукратным корнем

Решим:

Заметим, что

Квадрат числа не может быть отрицательным: при любом .

Значит строгого неравенства решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Типичные ошибки

Неправильно включают корни в ответ: для и корни не включаются, для и — включаются.

Путают, где «плюс», а где «минус» при : для двух корней «плюс» снаружи, «минус» внутри.

Забывают рассмотреть случаи : иногда ответ — вся числовая прямая или пустое множество.

Не приводят выражение к виду «слева выражение, справа 0», из-за чего теряется логика метода интервалов.

Краткое резюме

Квадратное неравенство сводится к анализу знака выражения .

Сначала находят корни уравнения , затем применяют метод интервалов.

Дискриминант подсказывает, сколько корней и будет ли смена знака.

При знак выражения постоянен и зависит только от .

Далее эти же идеи будут полезны в задачах, где выражения приводятся к квадратным с помощью замен: после замены часто получается не только уравнение, но и неравенство, которое удобно решать тем же методом интервалов.

Текстовые и прикладные задачи на квадратные уравнения

В предыдущих темах курса вы научились решать квадратные уравнения (через дискриминант, формулу, разложение на множители и теорему Виета), а также сводить более сложные выражения к квадратному виду.

Теперь применим эти навыки к текстовым и прикладным задачам — когда нужно не просто решить готовое уравнение, а составить его по условию и правильно интерпретировать корни.

Что делает задачу «квадратной»

В прикладных задачах квадратное уравнение появляется, когда неизвестная величина входит:

в произведение (например, площадь прямоугольника );

в формулу движения, где есть квадрат времени (например, при равноускоренном движении);

в выражения вида (числа, стороны, отрезки);

в оптимизационные зависимости, где величина выражается как произведение двух линейных выражений.

Важно: корни уравнения — это математические кандидаты на ответ, но не каждый корень подходит по смыслу (например, длина не может быть отрицательной).

Универсальный алгоритм решения текстовой задачи

Ввести переменную и обязательно подписать, что она означает (длина, время, ширина, цена и т.д.).

Записать зависимости из условия словами, а затем формулами.

Получить уравнение и привести его к виду , где:

- — коэффициент при ; - — коэффициент при ; - — свободный член.

Решить уравнение удобным методом:

- разложение на множители; - формула корней , где ; - теорема Виета (если ожидаются простые корни).

Сделать отбор корней по смыслу: учесть ограничения (например, , , ).

Записать ответ в терминах задачи и при необходимости проверить подстановкой.

!Схема показывает путь от текста задачи к ответу и подчёркивает этап отбора корней

Пример из геометрии: площадь прямоугольника

Задача. Ширина прямоугольника на 3 м меньше длины, а площадь равна 40 м. Найдите стороны.

Пусть — ширина прямоугольника (в метрах). Тогда длина равна .

Площадь прямоугольника равна произведению сторон:

Здесь:

— ширина;

— длина;

произведение даёт площадь.

По условию .

Раскроем скобки и перенесём 40 влево:

Здесь , , .

Разложим на множители (если получается): нужно найти числа с произведением и суммой . Подходят и :

По правилу нулевого произведения или .

Отбор по смыслу: ширина не может быть отрицательной, значит .

Длина .

Ответ: ширина 5 м, длина 8 м.

Пример на движение: когда объект окажется на земле

Во многих задачах по физике высота выражается формулой вида

где:

— время;

— высота;

коэффициент при показывает, как влияет ускорение (часто получается отрицательным, если объект поднимается и затем падает).

Задача. Высота тела (в метрах) описывается формулой . Через сколько секунд тело окажется на земле?

Тело на земле, когда высота равна нулю: .

Составим уравнение:

Здесь:

— коэффициент при ;

— коэффициент при ;

— высота при .

Решаем по формуле через дискриминант.

Дискриминант:

Здесь:

— квадрат коэффициента ;

— произведение .

Подставим , , :

Корни:

Здесь:

— число, противоположное ;

— два варианта (плюс и минус);

— удвоенный коэффициент .

Получаем:

Отбор по смыслу: время должно быть . Из двух корней один окажется отрицательным (не подходит), второй положительным (и будет ответом). Для ответа обычно достаточно указать положительный корень:

Ответ: тело окажется на земле при секунд (берём только неотрицательный корень).

Пример на числа: произведение и разность

Задача. Найдите число, которое на 5 меньше другого, если их произведение равно 36.

Пусть меньшее число равно . Тогда большее равно .

По условию произведение равно 36:

Приведём к стандартному виду:

Здесь , , .

Разложим на множители: нужны числа с произведением и суммой . Подходят и :

Значит или .

В задаче не сказано, что числа должны быть положительными, поэтому подходят оба случая:

если , то второе число ;

если , то второе число .

Ответ: или .

Прикладная оптимизация: максимум/минимум через квадратный трёхчлен

Иногда квадратное выражение появляется как формула для величины, которую нужно сделать наибольшей или наименьшей.

Если величина выражается как

то график — парабола. Вершина параболы даёт точку максимума или минимума:

Здесь:

— значение , при котором достигается максимум или минимум;

и — коэффициенты из выражения .

Почему формула важна practically:

если , парабола направлена вверх и в вершине минимум;

если , парабола направлена вниз и в вершине максимум.

Задача. У прямоугольника периметр 20 м. При какой ширине площадь будет максимальной?

Пусть ширина (м), длина (м).

Периметр , значит

Площадь:

Здесь:

появляется как ;

появляется как .

Получили квадратный трёхчлен . Здесь , .

Так как , площадь имеет максимум в вершине:

Тогда .

Ответ: максимальная площадь при ширине 5 м (то есть это квадрат ).

Как не ошибиться с ответом: отбор корней

В текстовых задачах чаще всего ошибаются не в решении квадратного уравнения, а в интерпретации.

Если — длина/масса/время, обычно требуется или .

Если в задаче были дроби вида , то обязательно .

Если делали замену , то для действительных решений .

Если получились два корня, иногда оба подходят, иногда только один (или ни один).

> Полезная справка по методам решения квадратных уравнений: Квадратное уравнение

Краткое резюме

Текстовая задача решается через перевод условия в уравнение, часто вида .

Основные источники квадратности: произведение величин (площадь), движение с квадратом времени, разность/сумма и произведение чисел, оптимизация.

После нахождения корней всегда нужен отбор по смыслу (ограничения на время, длину, знаменатели и т.д.).

Для задач на максимум/минимум удобно использовать вершину параболы: .